數(shù)學(xué)知識(shí)抽象之我見

在以往的教學(xué)中，常常將數(shù)學(xué)知識(shí)抽象化的過程演變成“匆匆走過場，急忙奔結(jié)論”，這種做法體現(xiàn)了對“結(jié)果”過分重視，忽視了對“過程”的完美追求。

一位教師這樣教學(xué)“比”的概念:(1)由2杯果汁和3杯牛奶的份數(shù)關(guān)系引出:果汁與牛奶杯數(shù)的比是2比3，牛奶與果汁杯數(shù)的比是3比2。(2)由兩組路程、時(shí)間的數(shù)量求出速度，指出也可用比來表示路程和時(shí)間的關(guān)系，得出所走路程和時(shí)間的比。(3)提問學(xué)生兩個(gè)數(shù)的比可以表示什么?

剖析上述案例，存在以下弊端:(1)感知材料單薄。教師提供給學(xué)生的實(shí)例僅有兩個(gè)。(2)學(xué)生被動(dòng)參與學(xué)習(xí)。學(xué)生沒有自主探索的機(jī)會(huì)，缺乏對概念的真正的理解。(3)教師膚淺概括。教師讓學(xué)生觀察兩實(shí)例，生硬地告訴學(xué)生:兩個(gè)數(shù)的比實(shí)際上就表示兩個(gè)數(shù)相除。如何讓學(xué)生在對數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則、公式等知識(shí)的抽象過程中經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維與操作過程呢?應(yīng)從以下三方面努力:

第一、研究的樣本要全一些

概念、性質(zhì)、法則和公式的得出和推導(dǎo)過程實(shí)質(zhì)是學(xué)生經(jīng)歷不完全歸納法的過程。首先，教師應(yīng)該多為學(xué)生提供探究的樣本和材料，或是引導(dǎo)學(xué)生參與舉例和佐證，這樣，結(jié)論的出現(xiàn)才更順暢。可以這樣重構(gòu)比的感知材料:(1)由2杯果汁和3杯牛奶的份數(shù)關(guān)系引出:果汁與牛奶杯數(shù)的比是2比3，牛奶與果汁杯數(shù)的比是3比2。(2)已知兩組路程、時(shí)間的數(shù)量，讓學(xué)生求出速度，并指出也可用比來表示路程和時(shí)間的關(guān)系，得出所走路程和時(shí)間的比。(3)出示體育老師購買籃球和足球的數(shù)量和價(jià)錢，讓學(xué)生說說可求出什么，如何用比來表示總價(jià)和數(shù)量的關(guān)系呢?(4)由張阿姨3天內(nèi)加工校服的數(shù)量說說可求出什么，這里是否也有能用比來表示的關(guān)系呢?(5)讓學(xué)生舉例說說生活中還有哪些數(shù)量之間的關(guān)系也可用比來表示。用貼近學(xué)生生活的各類數(shù)量關(guān)系展示比的各種“面孔”，再利用精當(dāng)?shù)陌鍟?00÷15=900:15 350÷10=350:10啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟，至此，學(xué)生對“比表示兩個(gè)數(shù)相除”這一本質(zhì)屬性的理解也就水到渠成了!

第二、猜想和驗(yàn)證要多一些

學(xué)生在對數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象過程中離不開歸納。歸納是數(shù)學(xué)的基本思考方式，而歸納的起點(diǎn)是猜想。面對一個(gè)問題情境，首先應(yīng)當(dāng)對此情境進(jìn)行仔細(xì)觀察，通過對幾個(gè)具體案例的比較、試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)模式，許多的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是在這個(gè)過程中“閃現(xiàn)”出來的。此時(shí)，“歸納猜測”也就在問題解決者的頭腦中形成了，再通過形式化、符號(hào)化的數(shù)學(xué)表達(dá)，數(shù)學(xué)猜想也就完成了。再把已經(jīng)得到的數(shù)學(xué)歸納猜想回到問題情境中進(jìn)行檢驗(yàn)，只有通過檢驗(yàn)，歸納猜想才算有了初步的成果，其結(jié)果的正確性，需要數(shù)學(xué)的演繹推理進(jìn)行證明，這個(gè)過程屬于從特殊到一般的過程。

請看張齊華老師教學(xué)“運(yùn)算律”的過程給我們的有益啟示:課始，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了如下的知識(shí)發(fā)現(xiàn)和探究過程:(1)口算，猜測規(guī)律。出示三組口算題，根據(jù)每兩題得數(shù)相等的現(xiàn)象，讓學(xué)生說出六道題有什么規(guī)律?進(jìn)而發(fā)問:只有這三組算式得數(shù)相等嗎?以此引出猜測:任意兩個(gè)數(shù)相加，交換它們的位置，和都不變。(2)學(xué)生舉例驗(yàn)證。(在此過程中。張老師不斷啟發(fā)學(xué)生多舉例，還注意例子的全面性，即從一位數(shù)加一位數(shù)到兩位數(shù)相加、三位數(shù)相加、多位數(shù)相加，從整數(shù)相加到分?jǐn)?shù)相加甚至小數(shù)相加。)(3)引導(dǎo)歸納，得出加法交換律的結(jié)論。(4)類比聯(lián)想，指向乘法交換律。(5)反思、反疑結(jié)論，演繹推理證明(介紹數(shù)學(xué)家證明乘法交換律的方法)。從張老師的課可以看出，他并沒有急著進(jìn)行規(guī)律的抽象，他更關(guān)注的是學(xué)生是否經(jīng)歷了完整的枚舉歸納和推理的過程，更關(guān)注的是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯糠椒ā?/p>

第三、追問和推敲要深一些

對概念、規(guī)律、性質(zhì)的質(zhì)疑和追問，體現(xiàn)了科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯繎B(tài)度。這個(gè)結(jié)論正確嗎?有沒有特殊的例子?這些問題反映了人的一種反思意識(shí)，在實(shí)際教學(xué)中，反思問題往往容易為人們所疏忽。

我們應(yīng)該像張老師一樣，在加法交換律和乘法交換律的明確結(jié)論出來后，繼續(xù)激發(fā)學(xué)生的思維:研究這兩個(gè)規(guī)律，我們舉100個(gè)例子夠嗎?10個(gè)呢?舉1億個(gè)例子夠嗎?1億零1個(gè)呢?盡管學(xué)生憑借現(xiàn)有的水平證明不了，但這樣的啟發(fā)引導(dǎo)確實(shí)能增強(qiáng)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)證明的意識(shí)。

教學(xué)實(shí)踐證明:通過追問和推敲，有助于引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注結(jié)論的完整性，在商不變規(guī)律出來后，應(yīng)追問:可以同時(shí)乘或除以任意的數(shù)嗎?由此獲得“0除外”這一結(jié)論，從而加深對商不變規(guī)律的全面認(rèn)識(shí)。通過追問和推敲，學(xué)生的探究會(huì)繼續(xù)深入，在長方形的周長公式出來后，追問:長方形里有沒有特殊的?那么，正方形的周長計(jì)算公式呢?從而由求長方形周長公式推導(dǎo)出求正方形周長公式。通過追問和推敲，可以引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論在更多大范圍內(nèi)推廣，在乘法分配律抽象成字母式子后，追問:是不是僅僅適合兩個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)?通過追問和推敲，還能有效培養(yǎng)學(xué)生的類比思維，在比的基本性質(zhì)出來后，追問:你是否有似曾相識(shí)的感覺?由此你想到了以前學(xué)過的哪些規(guī)律?從而促使學(xué)生思維不斷深入，逐步完善知識(shí)的建構(gòu)。盡管時(shí)間用得多了一些，技能的形成慢了一些，但長此以往，或許學(xué)生可以自己提出新的問題，并主動(dòng)嘗試解決。

讓學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象化的過程中有更大的探究空間和更多的思考時(shí)間，學(xué)生的數(shù)學(xué)化進(jìn)程會(huì)更堅(jiān)實(shí)一些。這種數(shù)學(xué)化進(jìn)程也是學(xué)生在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程，它對于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高有著重要的意義，這也是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。

作者單位

江蘇省海門市育才小學(xué)

責(zé)任編輯:曹文