中學生數學理解困難的成因分析及教學對策

摘 要: 在數學學習中，理解占有非常重要的地位。然而，縱觀當前我國中學生的數學理解狀況，并不容樂觀。對中學生數學理解困難的形成根源進行分析并以此尋求和探討相應的教學策略對促進學生的數學理解是十分有幫助的。

關鍵詞: 中學生 數學理解困難 成因分析 數學策略

“教育的核心即學習”已成為當前世紀之交的一種共識。在新的教育革命——學習革命浪潮的沖擊下，如何更好地促進學生的學習進而促進學生的發展成為當今世界各國基礎教育改革的重大突破口。聯合國教科文組織報告《教育——財富蘊藏其中》明確指出教育應圍繞四種基本學習加以安排，即“學會認知，學會做事，學會共同生活，學會生存”。[1]其中“學會認知”闡釋為:即學會學習。它作為手段，即獲取理解的手段;作為目的，其基礎是樂于理解、認識和發現。[1]這說明理解既是學習的目的，又是學習的重要手段。因此，學習離不開理解。

在數學學習中，理解更不可或缺。正如詹姆斯·希伯特和托馬斯·P.卡彭特所言:“在數學教育理論與實踐中最被廣泛接受的一個想法就是學生應該要理解數學。”[3]由于學生的學習一般都是在教師的指導下進行的，因此數學教學過程應該圍繞促進學生的數學理解這一中心點來展開。我國最新頒布的《普通高中數學課程標準》明確指出:“教師應幫助學生理解和掌握數學基礎知識、基本技能。”[8]由于學生無論是后進生、中等生還是優生都或多或少地存在理解困難問題，因此，對中學生數學理解困難的形成根源進行分析探討并以此尋求相應的教學策略是十分必要的。

一、數學理解困難的界定

通俗地講，數學理解困難就是指學生在理解數學知識時產生了困難。從心理學角度而言，我們對“數學理解困難”作出如下界定:學生經過主觀努力，仍然不能夠依據自身已有的認知結構對數學新知識建構正確的意義，從而不能使其成為已有數學認知結構中的有機組成部分，以致在認識數學新知識的本質和規律過程中出現思維偏差或思維中斷。從數學教育的角度來看，數學理解困難就是指學生不能把握數學知識的本質內涵，以及它們之間的內在聯系。

二、數學理解困難的成因分析

1.學生的數學認知結構有缺陷。

建構主義理論認為，認知結構是理解的物質基礎。因此良好的數學認知結構有利于數學理解過程的順利進行，相反，不完善的數學認知結構就會阻礙學生的理解。學生數學認知結構的缺陷具體體現為以下幾個方面。

(1)缺乏必要的知識或經驗。

由于學生已有數學認知結構中缺乏與新知識相關的舊知識或經驗，使得他們無法提取可利用的知識或經驗來建立新舊知識的聯系，從而造成理解困難。比如一些學生不能很好地完成這樣一道題目:“在周長為定值的扇形中，半徑是多少時扇形面積最大?”有的學生將扇形面積表示成圓面積，有的學生將周長表示成兩半徑之和。這說明這些學生頭腦中缺乏有關扇形周長或面積的知識。

(2)數學認知結構中的相關知識模糊。

學生數學認知結構中是否有足夠清晰的、穩定的、起固定作用的數學知識是影響其理解的重要因素。如果學生頭腦中的數學知識不夠穩定、模糊不清，就容易產生理解困難。如一些學生回答這樣一道題目:“函數f(x)的定義域為[1，2]，則f(x2)的定義域為?搖?搖 ?搖?搖。”往往錯誤解答為[1，4]或[1，2]，這主要是由于他們對函數符號中自變量的認識模糊不清造成的。

(3)知識結構組織不良。

層次分明、聯系緊密的知識結構可以促進相關信息的激活與提取，相反，知識結構組織不良，知識間的聯系質量不高或是某種聯系建立得不夠完善在理解過程中就有可能阻礙知識的激活，從而導致理解困難。

(4)頭腦中存在著合理性錯誤觀念。

學生數學認知結構中的一些觀念一方面是進一步學習、理解的基礎或必經之路，但另一方面又含有錯誤的或不夠全面的成分，它們在一定程度上妨礙了新知識的理解。如學生頭腦中已有的“整體大于部分”的觀念對其理解“無窮集合與其無窮真子集等價”就是一種障礙。

2.產生錯誤或不完善的心理表象。

許多學生由于產生錯誤或不完善的心理表象而導致理解上的偏差，主要表現為以下兩種情況。

(1)受日常語言的影響產生錯誤表象。

學生在表征知識的過程中，不可避免地要用自己的語言進行轉換，以使其“內化”到認知結構中去。一些學生在語言轉換過程中由于受日常語言的影響，產生錯誤的表象。如學習“數列極限”的概念時，一些學生用自己的語言復述、轉換“數列極限”的概念時往往用“趨近”、“接近于”等日常語言來描述或受日常語言“極限”含有“不可超越”意義的影響從而造成理解偏差。

(2)受常規性圖形表象的影響。

這種現象的出現與平時教學和教材中的圖形的形狀及放置方式有關。由于課堂教學或教材中的例題往往只使用一種常規性的“標準型”圖形進行講述，久而久之，學生就對這種圖形形成了比較牢固的心理表象，通過這種表象學生容易把數學對象的非本質特征當成本質特征，或者當圖形的形狀、位置或放置方式有所改變時，他們仍會不自覺地利用原有圖形的表象，造成理解上的偏差。

3.建立錯誤或不恰當的聯系。

建立新舊知識之間的實質性聯系是數學理解的一個關鍵的、必不可少的過程。但是，在這種聯系過程中，有可能產生錯誤。從知識聯系的角度考察，主要有以下兩種錯誤。

(1)知識聯系僵化錯誤。

一些學生在學習數學概念、公式等時，往往孤立地、僵化地認識它們，不去建立知識內部及知識之間的聯系。如很多學生學習了三角函數公式，總是記不住，這是由于他們孤立地、形式地對待公式，未能將公式與單位圓、象限角聯系起來。許多學生對數學基本知識背得滾瓜爛熟，到運用時卻不知所措，這都是由于學生平時學習時忽視知識之間的聯系造成的。

(2)聯系不恰當錯誤。

嚴格說來，將知識孤立是不可能的。學生在學習知識時，都或多或少地將它與其它知識聯系起來，理解中產生的許多障礙就是由于不恰當的聯系造成的。比如學生在概念學習中，有時會將概念中的非本質特征作為概念的本質特征與其它概念進行聯系;有時還將概念的定義、性質、判定等混為一談。

4.思維定勢產生負面影響。

學習過程中，學生應用知識技能時的一定的心理準備狀態，教育心理學上稱之為思維定勢。[5]思維定勢決定了后繼心理活動的趨勢。在數學學習中，思維定勢表現為一種思維的慣性，即總是按照某種習慣的思維方式去考慮問題。思維定勢對理解的這種影響可以是正面的(促進)，也可以是負面的(阻礙)。當要學習的內容與先前的不是同類或是需要靈活變化的相似內容時，思維定勢就可能干擾后來知識的理解。

5.學生認知水平的限制。

皮亞杰認為，兒童認知發展一般要經歷四個階段:感知運動階段、前運算階段、具體運算階段、形成運算階段。根據這一理論，高中生已處于“形式運算”為主的認知發展階段。然而，從實際情況來看，雖然在處理抽象、復雜的數學問題和語言邏輯問題上，多數高中生顯示出形式運算階段的基本特征，但是仍有相當一部分學生的思維尚處于具體運算階段或由具體運算向形式運算的過渡時期，經驗型思維對他們仍起著很重要的作用。他們在對待抽象的數學概念和復雜的數學問題時，必須借助于直觀材料才能加以理解，否則就會因為缺乏豐富的表象而產生理解障礙。從高中生的認知過程來看，許多學生在觀察力的深廣度、注意力的合理分配、思維的靈活性等方面比較薄弱，因而這類學生在學習中也較容易出現理解困難現象。

6.學生元認知能力的缺陷。

學生在理解數學問題或文本時，其認知活動不僅指向外在的數學文本，而且指向自己的認知過程，這種以自己的認知活動為對象的認知，就是“元認知”。[6]數學理解過程既是學生對數學知識的認知過程，又是學生個體對這一過程進行自我監控、自我調節、自我檢驗的過程。一些學生因為元認知水平的低下，既不能夠使已有的數學認知結構在心理上進行再組織和調整，以致使數學認知結構得不到優化，又缺乏對數學理解過程的有效監控，不能及時對數學理解過程中存在的問題作出相應的調節，從而導致理解困難。

三、克服中學生數學理解困難的教學對策

為了促進學生的數學理解學習，提高其數學理解水平，根據以上對中學生數學理解困難形成根源的分析，我們提出以下幾點教學對策。

1.深入了解學生已有的知識經驗，及時彌補其中的缺陷、糾正錯誤觀念。

心理學家奧蘇伯爾說過:“如果我不得不將教育心理學還原為一條原理的話，我將會說，影響學習的最重要因素是學生已經知道了什么，我們應當根據學生原有的知識狀況去進行教學。”[4]因此，教師首先應當對學生的數學認知結構進行全面和細致的了解，然后采取適當的教學手段幫助學生建構那些缺少的觀念，明晰那些模糊的觀念，強化其穩定性，從而為理解數學新知識奠定良好的基礎。

2.注重對學生理解數學知識的過程和方法引導。

(1)加強直觀教學，增強學生對知識的感性認識，幫助學生生成正確的數學表象。

在較抽象的數學概念、性質、定理等知識的教學中，教師應為學生提供實物、模型、教具等直觀的感性材料或者讓學生自己動手制作，讓學生在頭腦中建立起要認識的事物特征與聯系的感覺、知覺并生成正確的數學表象，從而獲得對數學對象的一些具體或感性的認識，這樣有助于學生在此基礎上進行較高層次的理解活動，少走一些彎路。

(2)重視知識發生過程的教學。

實踐證明，數學知識發生式教學是以學生為主體，以展現數學思維、數學方法為核心，以激勵學生能動建構為手段，是促進學生理解、培養學生的數學素質和提高思維能力的有效途徑。因此，數學教師應當重視數學知識發生、發展、形成過程的教學，使學生知道所學知識的來龍去脈，“知其然更知其所以然”。

(3)恰當地運用對比揭示數學知識的實質。

教師在教學中要注意展開對相似知識點的對比分析，明確相關知識內容之間的相同點和不同點，特別是對于那些既相似又容易混淆的知識點要找準分化點，排除干擾，促使易混知識在學生頭腦中徹底分化。

(4)運用變式或反例教學，突出數學知識的本質特征。

變式是指用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質屬性，或變換同類事物的非本質屬性以突出事物的本質屬性。教師在數學概念的教學中，出示具體材料時不僅要運用標準圖形和標準符號，而且要運用各種變式(變換它的位置、大小、符號，以及各元素的排列順序等)，這樣才能減少標準圖形在學生頭腦中形成的固定表象所造成的理解困難;而對于用事例來說明概念的本質屬性時，利用變式可以使學生增強對概念本質屬性的認識。

(5)注重用數學思想方法揭示知識間的聯系，呈現知識的本質含義。

由于數學思想方法是在反復理解數學知識的過程中發展和提煉出來的，具有很高的包攝性和概括性。因此教師在教學中要善于運用數學思想方法去溝通知識點之間的聯系，優化學生的數學認知結構，從而使他們產生理解困難的機會大大減少。

(6)注重整體性教學。

發展和優化學生的數學認知結構是使學生順利實現對數學知識深刻理解的重要途徑。由于良好的數學認知結構不僅要有相當的知識積累，而且必須是層次分明和聯系緊密的網絡結構。因此，教師在教學中要注意整體性教學，因為孤立的知識教學割裂了知識之間的內在邏輯關系，不可能使學生建立起相對完整的知識系統。

3.注重數學交流。

數學交流是指在數學教學與學習中，師生之間、學生之間就有關數學知識的學習進行相互交流和溝通。數學交流可以充分暴露學生在理解上的缺陷，有利于教師及時糾正和加以解決。由于對同一知識，不同學生有不同角度、不同層次的理解，通過交流，學生可以了解他人的觀點，取長補短，從而獲得對知識更深入的理解。因此，教師應加強與學生的數學交流，與學生進行平等對話，互教互學，有效地促進學生對數學知識的深刻理解。

4.鼓勵學生對學習過程進行反思。

數學教育家弗洛登塔爾曾經指出:“反思是數學思維活動的核心和動力。”[7]在數學學習中，反思是指學生把自己的數學學習思維活動的過程作為考察對象，然后加以調整、改進或提煉。在當代認知心理學中，它屬于元認知的概念范疇。教師在數學教學中應經常鼓勵和引導學生對自己的思維過程進行反思，比如教師可以引導學生去想:我真正理解了嗎?這種解釋合理嗎?我的方法有沒有漏洞?等等。只有這樣，才能不斷提高學生的元認知水平，促進學生對數學知識的深刻理解。

參考文獻:

[1]聯合國教科文組織總部中文科譯.教育——財富蘊藏其中[R].北京:教育科學出版社，1996:75-76.

[2]朱新梅.試論教育的二重性[J].教育研究與試驗，2004，(1):12-17.

[3]D.A.格勞斯.數學教與學研究手冊[M].上海:上海教育出版社，1999:131.

[4]鄭毓信，梁貫成.認知科學建構主義與數學教育[M].上海:上海教育出版社，2002:112，181.

[5]田萬海.數學教育學[M].杭州:浙江教育出版社，1993:91-96.

[6]辛自強.數學中的閱讀理解[J].教育科學研究，2004，(9):49-51.

[7]毛永聰.中學數學創新教法(學生心理誘導)[M].北京:學苑出版社，1996:40.