在積分運算教學中重視思維訓練

摘要:培養(yǎng)思維能力是數(shù)學教學的重要目標之一。積分運算具有較強的技巧性，怎樣通過對積分運算的思維訓練，提高學生的個體素質是值得研究的課題。本文在闡明積分運算思維特點的基礎上，探討了積分運算的思維訓練途徑。

關鍵詞:數(shù)學教學;思維能力;積分運算

數(shù)學不僅具有應用價值，還具有人文價值。熟練掌握不定積分運算是定積分運算以及解微分方程的基礎。不定積分運算的靈活度大、技巧性高，掌握求積方法不僅是從事科學活動的需要，還有利于發(fā)展思維能力。因此，在積分運算教學中加強思維訓練尤為必要。

一、 向學生闡明積分運算的思維特點

由于積分運算是以微分運算的逆運算來定義的，并沒有指出完成運算的步驟過程，這種“非構造性”的特征，使得求原函數(shù)遠比求導函數(shù)困難，求導函數(shù)只要機械地反復運用導數(shù)的四則運算以及復合函數(shù)的求導法則，而求原函數(shù)則沒有統(tǒng)一的、確定的運算方式。解一道積分題，除需要進行邏輯思考外，還要依賴于個體的直覺思維能力。

關于互逆運算，教師應注意給學生總結出一定的規(guī)律性。數(shù)學中的運算往往成對出現(xiàn)，例如，加法與減法、乘法與除法、乘方與開方、三角函數(shù)與反三角函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)等。作為逆運算的減法、除法、開方、反三角函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)等總要比相應的正運算復雜一些，而處理逆運算又總是依賴于相應的正向運算。例如，小學生做除法，是要背著乘法口訣去“湊”的，因此做除法就比做乘法麻煩。另外，逆運算的結果有時會失去單值性。例如，“22=4”，但把4開平方可得到±2。微積分運算也是如此。求原函數(shù)必須倒回去套用求導公式;另外，微分運算的結果是一個函數(shù)，而積分運算卻得到一族函數(shù)。因此積分運算就顯得復雜得多。

在教學中要向學生指出，熟練求導運算是順利進行積分運算的必要前提，同時還要提醒學生適當復習三角函數(shù)的有關公式。

二、 給學生講清直接積分法的變形技巧

欲求一個不定積分，總是先看能不能直接應用積分基本公式，能不能分項積分。以上方法，課本里統(tǒng)稱為直接積分法。由于有時積分時先要對被積函數(shù)進行恒等變形，所以直接積分法也并不“直接”，往往需要一定的變形技巧，要求能靈活應用一些代數(shù)、三角公式。

為了使學生掌握變形技巧，教師應該選擇典型例題。一方面，講清變形的目的，使被積函數(shù)變成可直接應用積分基本公式的形式或可分項積分的形式;另一方面，注意給學生歸納方法，突出變形技巧，使學生觸類旁通。

除課本中的例題外，還可安排一些典型的口答題，要求學生能說出變形的第一步應怎么辦。例如:

(1)dx(=dx)

(2)dx(=dx)

(3)dx(=(+2)dx)

(4)tg2xdx(=sec2x-1)dx)

(5)dx(dx)

實踐證明，這方面的訓練是必要的，是使學生逐步掌握積分技巧的第一步。

三、 教會學生掌握換元的技巧

直接積分法所能計算的不定積分是非常有限的，但有些不定積分經(jīng)過適當?shù)霓D化后，就能引用積分基本公式。轉化有兩個基本方法——換元積分法與分部積分法。大家知道，復合函數(shù)的求導法則是“微分學”中最重要、最基本、最常用的求導法，而換元積分法則是由復合函數(shù)求導法則逆推而得的，因此也是“積分學”中最重要、最基本、最常用的方法之一。換元法是教學中的重點，也是難點。

利用換元法積分，需要一定技巧。為了引導學生掌握換元法，教師一方面要講清換元的實質，指出變量代換是數(shù)學中常用的思想和方法，從而引起學生重視。例如，解分式方程、無理方程、特殊的高次方程以及計算極限時往往要作變量代換;復合函數(shù)求導法則引進中間變量也就是作變量代換;換元積分法的關鍵也同樣是作變量代換。三國時代，曹沖稱象的辦法其實質就是代換，它是用石堆來代替大象。變量代換的實質是對應，通過對應把不便研究的集合上的問題轉化到便于研究的集合上去。另一方面還要選擇典型的例題，為學生歸納換元技巧。為了讓學生有一個較完整的印象，可羅列一些常見的代換形式。例如:

(1)f(ex)·exdx=f(ex)dex

(2)f(lnx)·=f(lnx)d(lnx)

(3)dx=f(tgx)d(tgx)

(4)dx=f(arcsinx)d(arcsinx)

(5)f()·=-f()d()

(6)f()=2f()d()

在此基礎上再安排一些口答題，要求學生能說出怎樣用換元法積分。這樣對于學生掌握換元技巧是非常有效的。

四、 引導學生歸納積分技巧，進一步發(fā)展能力

因為不定積分本身靈活度大，同一問題常有多種解法。若能注意技巧，就能提高功效。所謂“技巧”是指對被積函數(shù)進行適當變形，使其能利用直接積分法、換元積分法或分部積分法來解決。因此，為了有目的地變形，除了能靈活應用代數(shù)、三角公式外，還必須熟悉積分基本公式、換元積分法及分部積方法的常見形式。

為了使學生進一步掌握積分技巧，教師可安排一次習題課，選擇一些典型的課堂作業(yè)，在學生自己練習的基礎上，師生共同歸納總結。例如:

(1)dx=dx=

(2)=-xd()=-+

(3)dx=

(4)sec4xdx=(tg2x+1)d(tgx)

(5)==

(6)xdx=-(2-x-2)dx=-(2-x)dx+2(2-x)dx

(7)=dx=dx-

(8)dx=dx-dx

由于計算機的廣泛應用，積分計算已可以交給機器完成。因此，關于不定積分我們不宜搞難題、怪題。但是，筆者認為，求積運算的基本技巧，我們還是要引導學生熟練掌握，這既是學好微積分及后行課程的必需，也有利于發(fā)展學生個體素質。

參考文獻:

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(無錫職業(yè)技術學院)