三角函數最值問題的求解策略

摘要:三角函數是重要的數學運算工具，三角函數最值問題是三角函數中的基本內容，是近年來高考的熱點。這部分內容是一個難點，它對三角函數的恒等變形能力及綜合應用要求較高。本文將從具體的實例出發，分析并介紹問題轉換、數形結合、變量替換、消元法、利用均值不等式等幾種比較典型的解題方法，找出一般的解題策略與技巧。

關鍵詞:三角函數;最值;策略;換元法;數形結合

三角函數最值問題遍及三角乃致立體幾何及解析幾何各學科中，在生產實踐當中也有廣泛的應用。這類問題涉及知識面廣，靈活性大。掌握這類問題的求解策略，不僅能加強知識的縱橫聯系，鞏固基礎知識和基本技能，還能提高數學思維能力和運算能力。下面針對三角函數的最值問題，進行具體分類討論。

一、 考查正切函數的值域

例1當x∈(0，)時，函數f(x)=的最小值是

A.B.C.2 D.4

分析:分子分母都是關于cosx、sinx的齊次式，想辦法化為正切，利用正切函數的值域求出原函數的最小值。

解:f(x)== ∵0

∴當tanx=時，fmin(x)=4，選D。

二、 考查求含sinx、cosx分式函數的最值

例2求函數y=的最大值和最小值。

分析:如對形如的函數式，通常可視作動點(g(x)，f(x))與定點(b，a)的連線的斜率，由于sin2x+cos2x=1，所以從圖形角度考慮點(cosx，sinx)在單位圓上。這樣一類既含有sinx又含有cosx的分式函數的最值問題可考慮用數形結合法求解。

解: y==這可以看做是定點A(-3，-2)與單位圓上的點P(cosx，sinx)連線的斜率。因此，y的最值就是當直線AP與單位圓相切時的斜率。因為單位圓x2+y2=1中斜率為k的切線方程為:y=kx±，由于該切線過點A(-3，-2)，故-2=-3k± ，所以k=。即ymax=，ymax=。

三、 考查用消元法和三角函數的有界性求函數的最值

例3已知sin2x+2sin2y=2cosx，求sin2x+ sin2y的最大值和最小值。

分析:通過消元sin2y求關于cosx二次函數的最值。

解:∵2cosx-sin2x=2sin2y≥0，∴cos2x+2cosx-1≥0，

∴-1≤cosx≤1。

又sin2x+ sin2y=sin2x+(2cosx- sin2x)=-(cosx-1)2+1，

∴當cosx=1時， sin2x+ sin2y取得最大值1;當cosx=-1時，sin2x+ sin2y取得最小值2-2。

四、 考查利用sinx+cosx與sinxcosx的關系，通過換元法求函數的最值

例4求函數y=2+2sinxcosx+cosx+sinx的最值。

分析:利用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx溝通sinx+cosx與sinxcosx之間的關系，通過換元使原函數轉化為二次函數求解。

解:設t=sinx+cosx，則y=t2+t+1=(t+)2+，且t∈[-，]，

∴故當t=-時，即sinx+=-時，ymin=; 當t=時，即sinx+=1時，ymin=3+。

五、 考查題目結構特征，利用均值不等式求函數的最值

例5已知0

分析: 由00，原函數式化為y=9xsins+，可轉化為均值不等式形式求解。

解:00，根據均值不等式y==9xsins+?叟2=12，

當9xsinx= 即x2sin2x=時，等號才成立，即有 ymin=12。

綜上所述，我們總結出三角函數最值問題的五種求解策略。顯然，三角函數最值問題類型繁多，所涉及的知識面廣，解法靈活。所以在解題過程中，注意函數表達式的內在特點、題型結構特征，選用恰當的求解策略和方法技巧，能使解題過程簡捷巧妙，收到事半功倍的效果。

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(惠州博羅中專學校)