《定積分的概念》教學設計

摘要:本教學設計是在新的教育理念的指導下，以學生為主導，通過學生實驗、探究、討論，教師啟發、引導，共同研究解決諸如求曲邊梯形面積等用通過局部取近似、求和取極限的方法，把總量歸結為求一種特定和式極限的這樣的問題，從而得出定積分的概念，然后回歸到生活中解決實際問題。

關鍵詞:曲邊梯形面積;和式極限;定積分的概念

一、 從教學計劃和職業實踐出發提出課題

《定積分的概念》是教育部高職高專規劃教材《高等數學》第134頁～136頁第五章的第一節。具體而言，該課題的當今意義是:現代社會生活中隨處可見的日常用品多是不規則物體，而我們也生活在多變的空間，學生們對變化的東西充滿好奇。示范性意義是:通過定積分的概念的學習，可以引申到解決所有用通過局部取近似、求和取極限的方法，把總量歸結為求一種特定和式的極限的這樣的問題，擴大了學生的視野，也滲透到解決物理的問題。未來意義是:學習后增強學生的思維和解決問題的能力，“以暫定久”“以常制變”“以局部駛整體”，這種思想會影響學生的一生。領會:給學生一個任務——求曲邊梯形的面積，通過學生親自動手找到解決問題的方法，進而從問題情境中了解定積分的實際背景;借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念。

二、 初始情境(分析參與者的基礎知識以及學習的積極性和學習能力)

★我校所有“3+2”專業的第二學年第二學期，每班大概有50名學生，年齡大多在16歲~17歲，男女生比例為1:3。全部都是初中畢業后基礎較差的學生，入學時學習動機不強，學習習慣和自覺性積極性不高，自我肯定較低，有挫折感。

★對于中職二年級的學生來說初等數學已經學完，微積分中微分部分和不定積分也已學過，具有一定的分析問題和解決問題的能力。

★該課題與日常生活息息相關，而學生對局部的、靜態的和瞬時的事物，發生在“0”時刻的事件已有所了解，對全局的、動態的和無限的事件充滿好奇，所以學生學習有積極性。

★通過一個學年多的有意識的數學思維的訓練和培養，學生初步具備分組研究、合作學習的自信心以及討論交流的能力。

三、 制定出目標(專業方面、方法方面、社會方面和個人發展方面的能力)

1.專業方面目標

(1)通過探求曲邊梯形的面積，了解“以直代曲”“逼近”的思想方法，構建定積分的認知基礎;

(2)進一步感受有限與無限的聯系和極限的思想在數學和實踐中的應用;

(3)通過求曲邊梯形的面積、變速直線運動的路程，初步了解定積分產生的背景。

2. 過程與方法目標

(1)通過類比“割圓術”，引導學生萌發“分割”“近似”“以直代曲”的想法，變曲為直;

(2)通過對比分割后圖像面積差的變化特點，突出“細分割、近似和、漸逼近”的數學過程;

(3)通過數學軟件的演示，觀察數據特征，讓學生經歷“刨光磨平”的逼近過程，從直觀上理解極限思想，接受極限值即準確值的數學事實。

3. 個人發展方面目標

培養學生辯證地看待問題，從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質變，加深自身素質的培養及良好習慣的養成。

4. 社會方面目標

(1)通過學生分組研究和討論，促使其參與意識和與團隊合作的意識的逐步形成;

(2)通過這種數學思維的訓練，認識到數學的美。

四、 教學設計說明

在準備本節課時，我首先注意到了以下幾個方面:一是如何激發學生的學習興趣，使學生“想學、樂學、自主地去學”;二是從學生的角度來呈現數學思想的建構過程，與同學們共享成長 ;三是盡量采用符合同學們思維習慣的、易于接受的講授方式;再就是，我非常關心學生在學習本課之后，將得到怎樣的發展?為此，我從數學情感上進行了滲透，描繪了定積分的美。

在課堂上，我將始終重視“以直代曲”“逼近”思想的滲透，強調“分割、近似、求和、取極限”的步驟，讓同學們認真演練“四步曲”，最后通過探究，探討ξi的任意性對面積逼近過程的影響，實現思想的升華。這種迂回包抄、螺旋上升的處理方式，正是建構主義的處理方式。

我想通過這樣的教學過程，讓同學們在興趣的帶動下“想學”，在教師的幫助下“能學”，在數學思想的滲透和感化下“堅持學”，真正喜歡上數學，欣賞到數學的美。

★對于計劃好的教學進程的闡述

1.導入(17分鐘)

活動1:認識曲邊梯形

分小組把各式各樣的紙圖形撕或剪成盡可能多的長方形，每組派代表展示自己把長方形剪下后余下的圖形，分析它有何特征?在教師的引導下找出它們的共同特征，引入曲邊梯形的概念。

活動2:求曲邊梯形的面積

曲邊梯形的面積如何來求呢?(一問激起千層浪，開門見山，讓學生明確本節課所要學習的內容)

簡單介紹:中國古代數學成就之一劉徽創立的割圓術。 (1)讓學生自己探求，討論;(2)讓學生說出自己的想法(在討論的過程中滲透分割的思想)。

通過討論希望學生能得出以下三種方案，在討論的過程中，讓學生想到以直代曲，給學生創新的機會:①有的學生用小梯形的面積近似代替小曲邊梯形的面積;②有的學生則會用小矩形的面積進行近似代替;③有的學生則會用大矩形的面積進行近似代替。

教師引導學生用小矩形的面積進行近似代替，于是讓大家進行活動2:把你們剛才剩下的邊角余料，即曲邊梯形，第一組撕成盡可能大的4個矩形，第二組撕成盡可能大的5個矩形，依次類推，第六組撕成盡可能大的9個矩形。大家比較哪一組余下的邊角料面積最小?

這是本節課內容的核心，故多花點時間引導學生探求、討論得出，讓學生體會“以直代曲”的思想，從近似中認識精確，給學生探求的機會

2. 回歸數學:求曲邊梯形面積的過程(10分鐘)

教師總結上述學生得到的成果，用多媒體演示。

教師通過多媒體動畫邊演示邊講解，把學生探究的知識回歸數學，把具體的問題數學化，總結了各組的成果，大家共同分享。并在展示的過程中，幫助學生掃清思想障礙，促使學生領會求圖形面積的近似值的思想方法。

3. 思維提升:推廣如何求曲邊梯形面積的思想 (10分鐘)

求變速直線運動的路程。教師提出問題，小組討論，大家搶答選派一名同學說出求變速直線運動的路程的思想。總結歸納上述兩個問題解決的方法的共同點。

在此基礎上教師可以適時地提出一些相似的問題，如求粉筆的線密度、旋轉體的體積等，大家通過上述學習，經過討論，可以提出解決問題的思想方法，思維進行了提升。

這個過程的設計起到了趁熱打鐵的作用。通過教師引導，學生思維經歷從特殊到一般的過程，有梯度的層層提升，在教師的幫助下完成了思維的飛躍。

4. 歸納總結得出定積分的概念(5分鐘)

師:這些問題雖然研究的對象不同，但解決問題的思路及形式都有共同之處。為了解決這類問題，就有必要撇開它們的具體含義，而加以概括、抽象得出定積分的概念(多媒體給出定義，教師敘述)。

5. 課堂小結:(1分鐘)

定積分的思想。

6. 布置作業:(2分鐘)

(1)感悟收獲:通過本節課的學習，你收獲到了什么?有何感受?

(2)以小組為單位提交一份用定積分思想解決問題的實例。

★對于計劃好的教學成果考核的闡述

實驗成果評估:根據分組討論如何能求出曲邊梯形的面積的思想作為標準。此外探討過程中成員的分工合作、思維方式及完成的時間，學生對數學課的熱情程度、學生投入學習的程度、基礎知識和基本技能掌握程度、學生創新意識和探索精神、學生運用數學知識解決身邊問題的能力等，都是評價的內容。

引導問題的過程討論:對“以直代曲”的思想分析以及根據這種解決問題的思想進行過程性情況描述。

五、 評價設計

由于定積分的概念在實際應用中比較煩瑣，要求學生主要掌握它的思想。

班級: 姓名:成績:

六、 教學反思

在教學過程中有幾個問題值得注意:

(1)本節通過在大量的生活實例的介紹前提下 ，已經在學習過程中對“以直代曲”的思想有了初步的認識和印象，但由于學生思維和認知水平還處于發展的階段，對于他們來說掌握解決求曲邊梯形面積的這種定積分的思想還是一個非常困難的問題，需要一個過程。本節的重點在于對思想方法的理解，所以不必要求每個學生都敘述得很清楚，要讓學生在學習的過程逐步體會“以直代曲” 以及從特殊到一般的思想方法的形成過程，為學生的終身學習奠定基礎。

(2)在教學過程中還值得注意的是分組學習討論，會造成一些學生等現成的現象，所以教師要采取大家都參與的措施，每次討論結果有小組成員輪流發言，不能只顧學習好的同學。

總之，通過對本節課的反思，更深刻地體會了素質教育的理念，把課堂還給了學生，學生才有可能煥發出生命活力，把課堂還給了學生，課堂才能成為新觀點、新思想、新方法、新知識不斷生成的孵化地。

七、 參考文獻

(1)教學大綱

(2)教科書《高等數學》

八、 附件

(1)影像資料:我國古代數學成就之一劉徽創立的割圓術。

(2)多媒體:曲邊梯形面積分割的動畫演示

九、 所需材料與資源 :

(1)教材

(2)紙圖形、剪刀

(3)多媒體課件

(河南省醫藥學校)