解析幾何解題教學需注意的幾個問題

《新課程標準》下，高中數學教材人教A版《數學2》必修只是提供了基本的教學素材，并非教學內容的全部。要想取得理想的教學效果，教師不僅要忠于教材，更要充分發揮自己的主觀能動性，創造性地使用教材，充分挖掘教材的潛在價值。例題、習題(練習題)是數學教材的重要組成部分，在促進學生鞏固知識、形成技能、發展思維等方面有著不可替代的作用，因此，挖掘例題、習題的潛在價值，對培養學生的數學素養，提高教學的有效性是至關重要的。下面就以人教A版《數學2》必修中的“直線與方程”和“圓與方程”的部分例題、習題教學為例，談談要注意的幾個問題。

一、 訓練發散思維

發散性思維是創造性思維的起點，可通過一題多解和一題多變等來訓練，抓住一道典型習題(例題)，尋求多種途徑的解法，促進學生的思維向多層次、多方位發散，這樣解題有時比解多道題更有效。

例1已知點A(1，3)、B(3，1)、C(-1，0)，求△ABC的面積。

這道題具有典型性，以這道為例在解題思路和方法上加以指導，可以起到事半功倍的效果。

解法一:設AB邊上的高為h，則

S△ABC=|AB|·h，

|AB|==2，AB邊上的高h就是點C到AB的距離。AB邊所在直線方程為=，即x+y-4=0。

點C到x+y-4=0的距離為h==，

因此， S△ABC=×2×=5。

解法二:如圖1，延長AB交x軸于點D。過點A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為M、N。由上可知，△ACD的CD邊上的高AM， △CBD的CD邊上的高BN。

由已知得，AB邊所在直線方程為

=，即 x+y-4=0。

在上式中，令y=0，得x=4，所以點D的坐標是(4，0)，又|CD|=5，點A、B的縱坐標分別為3，1。所以 S△ABC=S△ACD-S△BCD=×5×(3-1)=5。

二、 訓練掌握數形結合的方法

數形結合是解析幾何的基本特點，許多問題的思考與解決都可借助于圖形。因此，在解析幾何的解題教學中一定要加強數形結合的訓練，使學生把基本圖形及其特征印在腦子里，這樣，對解答習題和啟發思維都很有幫助。

例2m為何值時，曲線C1:x2+y2=3，(x?叟0)與曲線C2:y=m(x+1)-3有一個交點?兩個交點?

這道題若僅用代數方法討論不僅煩瑣難解，而且容易遺漏或出錯，但借助圖形就一目了然，清晰鮮明。

解:因為曲線C1是右半圓，曲線C2是過點(-1，-3)，斜率為m的一簇直線，利用圖2可一眼看出:

(1)當3-

(2)當

又如，求點P(2，3到點集{(x，y)|x2+y2+2x-3=0}中所有點的距離的最大值和最小值。

解:點集{(x，y)|x2+y2+2x-3=0} 在坐標平面上表示一個圓，(x+1)2+y2=22，觀察圖3可知，點P(2，3)到此圓上的點的最近距離是|PA|， 最大距離是|PB|，其中P、A、B在過圓心的同一直線上。

又AB的直線方程是x-y+1=0，解這直線和圓的方程組可得兩組解為-1，，--1，-，由圖形觀察知A為-1，，此時最小距離為3-2，B點為--1，-，此時最大距離為3+2。或直接從圖形可知，|PA|=|PC|-r=3-2;|PB|=|PC|+ r=3+2。

三、 訓練嚴謹周全的思維方法

解析幾何中的解答往往由于概念混淆不清、公式條件限制、條件復雜隱蔽，再加上思維定式和考慮不周的影響，常常造成解題時的疏漏，現舉例分析造成漏解的原因及其補救方法。

例3求過點P(2，3)，并且在兩軸上的截距相等的直線方程。

解:設所求的直線方程的截距式為+=1，直線過點P(2，3)，代入求出a=5，因此直線方程為:x+y-5=0。

剖析:由于直線截距式a≠0，即直線不過原點。然而直線過原點即零截距也是符合條件的，因此本題失去一解: 3x-2y=0。

例4設一圓C:x2+y2+2x-4y+1=0，和一點P(-3，-2)，求過點P且和圓C相切的直線方程。

解:設所求的直線的斜率為k ， 則有

y+2=k(x+3)x+y+2x-4y+1=0 ?圯?駐=0?圯k=，

或把圓方程化為(x=1)2+(y-2)2=22，圓心C(-1，2)到直線的距離d=r，即:=2?圯k=。

所以， 過點P且和圓C相切的直線方程為:3x-4y+1=0。

評注:從平面幾何的性質可知，過圓外一點作圓的切線有兩條，因為用點斜式方程的公式的前提條件是斜率k存在，所以應對平行于y軸的直線x=-3進行檢驗，將其代入圓的方程得(y-2)2=0，符合題設，所以x=-3，也是圓的切線。

四、 訓練轉化的思想和技巧

數學的解題過程，實際上就是從未知到已知的轉化過程。轉化方法的好壞，確定著解題過程的簡繁。加強轉化訓練，有利于培養學生思維的靈活性。

例如，很多問題按一般性去解決比較困難，這時若考慮它的特例或取特殊值，往往很容易得出結論或找到解題規律。

例5如果圓x2+y2+ax+by+c=0，(a，b，c不全為0)與x軸相切于原點，那么

A.a=b， b≠0，c≠0 B.b=c=0，a≠0

C.a=c=0， b≠0D.a=b=0，c≠0

轉化技巧: 任取符合題意的特殊圓x2+(y-1)2=1，即x2+y2-2y=0，與一般方程比較得a=c=0， b≠0，故選C。

又如，解析幾何主要是以方程研究曲線，一般運算較多，而平面幾何是以認證為主，運算較少，若能把解析幾何問題轉化為平面幾何問題來解決，將大大減少運算量，特別是圓的問題更應該注意應用這種轉化技巧。

例6m取何值時，直線l:x+2y-3=0與圓系x2+y2+x-6y+m=0的其中一個圓的交點P、Q滿足條件OP⊥OQ，如圖4，轉化技巧:設PQ的中點為R，把滿足條件OP⊥OQ，用平面幾何知識轉化為滿足|PR|=|OR|，圓方程化為x++(y-3)2=-m，由圓心到直線l的距離為|CR|2==，故|PR|2=|CP|2-|CR|2=8-m。

又可求得點R坐標為(-1，2)，|OR|2=5 。

要OP⊥OQ，只要|PR|=|OR|，即8-m=5， 所以m=3 即為所求。

參考文獻:

[1]曹才翰，沈復興，等.中國中學教學百科全書——數學卷[M].沈

陽:沈陽出版社，1991.

[2]劉紹學，錢佩玲，章建躍，等.普通高中課程標準實驗教科書——

數學②必修 A版[M].北京:人民教育出版社，2007.

[3]李俊明，王耀東.名師授課錄(中學數學)(高中版)[M].上海:上海教育出版社，1991.

(廣東外語藝術職業學院)