要重視數(shù)學(xué)思維過程的教學(xué)

心理學(xué)家認(rèn)為:思維是人腦對客觀事物間接的、概括的反映。思維是人的認(rèn)識過程中的高級心理活動和智力的核心成分。而數(shù)學(xué)思維過程的教學(xué)是數(shù)學(xué)教與學(xué)活動中的一個重要環(huán)節(jié)。一個數(shù)學(xué)教師，要是把握住數(shù)學(xué)思維過程的教學(xué)，就是把握住了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)和核心。那么怎樣才能有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維過程的教學(xué)呢?

一、 給學(xué)生創(chuàng)造思維過程的條件

1. 給學(xué)生指明思維的起點

這里所說的“條件”就是要求教師把復(fù)雜的、抽象的數(shù)學(xué)問題簡單化、形象化，讓學(xué)生能夠找到思考問題的起點。這樣，既能調(diào)動學(xué)生去積極思維，又能在思維活動中理解并深化所學(xué)的數(shù)學(xué)知識。

比如:“函數(shù)”這一概念對初學(xué)者來說是一個比較難以理解的概念，我們可以利用圖像的方法把這一抽象的概念形象化，從而幫助學(xué)生去理解它的深刻含義。

例1以下圖形能作為函數(shù)圖像的是()

函數(shù)的定義告訴我們:對于x在某個變化范圍內(nèi)的每個確定的值，按照某種對應(yīng)法則，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)。據(jù)此，要求學(xué)生對以上圖形進(jìn)行觀察、比較，并找出各圖形中x與y的對應(yīng)關(guān)系，對于給定一個定自變量X的值就有唯一的一個Y的值與它對應(yīng)，這樣只能選C，才有唯一的對應(yīng)關(guān)系。這樣，就使函數(shù)這一概念變得簡單化、形象化，既加深了學(xué)生對概念的理解，又提高了學(xué)生應(yīng)用知識解決問題的能力。

2. 巧設(shè)障礙，誘發(fā)學(xué)生思維

在教學(xué)中，教師可以巧設(shè)障礙，誘發(fā)學(xué)生思維，學(xué)生越過了這一障礙，其思維能力又可以向前跨越一步。

比如，不等式公式，“若a、b、c∈R+，則a3+b3+c3≥3abc”應(yīng)用，給出如下選擇題:

例2a、b、c∈R+是a3+b3+c3>3abc的()

A. 充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

因為受不等式公式影響，學(xué)生思維容易產(chǎn)生“負(fù)遷移“，有的選A，有的選C，事實上，當(dāng)a=b=c時，a3+b3+c3=3abc，所以條件不充分;反之，設(shè)a=-1，b=2，c=0，也滿足a3+b3+c3>3abc，但a、b、c不全是正實數(shù)，故條件也不必要，應(yīng)選D。

通過學(xué)生的識別，可以看出:(1)原公式的逆命題是不成立的;(2)定理中的“≥”中“=”是不能丟的。通過學(xué)生深入思考，他們對上述不等式有更全面的認(rèn)識。

二、 給學(xué)生思維的時間和空間

在教學(xué)中，教師往往力求講得面面俱到，殊不知，這樣做反而剝奪了學(xué)生思維的時間和空間。如果教師精心設(shè)計，精心組織，給學(xué)生適當(dāng)思維的時間和空間，則有利于學(xué)生思維過程的修正和創(chuàng)造性人才的培養(yǎng)。

1. 允許學(xué)生犯“錯誤”，并讓學(xué)生在糾正“錯誤”中得到啟發(fā)

按學(xué)生的思維，在有些時候犯點“錯誤”是可以理解的，如果教師一旦發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維方向與自己想法不一致，就強(qiáng)迫學(xué)生的思路朝著自己預(yù)定的方向上來，這時只會扼殺學(xué)生思維的積極性。只有通過比較、鑒別而導(dǎo)向的思維，這才是正確、有效的思維。

例3k為何值時?方程8x2-(k-1)x+k-7=0

(1) 有兩個互為相反的實數(shù)根;(2)有乘積等于1的兩個實數(shù)根。

學(xué)生在學(xué)完韋達(dá)定理之后，只是對韋達(dá)定理產(chǎn)生一種感性的認(rèn)識，即x1+x2=-;x1·x2=。所以，在解題時卻忽略實數(shù)根的存在性，以致得出:

(1)當(dāng)=0即k=1時，原方程有兩個互為相反的實數(shù)根。

(2)當(dāng)=1即k=15時，原方程有乘以等于1的兩個實數(shù)根。

當(dāng)教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯誤時，不需要及時指出，而是讓學(xué)生把上述所求兩個K的值代入原方程，再求出此時方程的解。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)K=15時，原方程無解，便引出矛盾，從而引導(dǎo)學(xué)生找出原解法的不足。實踐證明，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題，并找出正確的方法，比教師告訴他們更為有效，因為他們從中體會到了“發(fā)現(xiàn)”的樂趣。

2. 保護(hù)學(xué)生的求異思維

求異思維是學(xué)生思維火花的爆發(fā)，是那些愛鉆“牛角尖”的學(xué)生喜歡標(biāo)新立異，給教師點“難題”，對于這類學(xué)生，應(yīng)給予鼓勵，這有利于創(chuàng)造性人才的培養(yǎng)，也有利于知識的更新。

例4a為任何實數(shù)，直線(a-1)x-y+2a+1=0必經(jīng)過點()

A.(2，3)B.(-2，3)C.(0，5)D.(-2，0)

本題可以有多種解法，最簡便的方法是令a=0，即方程為-x-y+1=0，即x+y=1。A、C、D均不合，只有B適合，故應(yīng)選B。

三、 向?qū)W生展示教師的思維過程

在課堂上，如果教師照本宣科，就題論題，學(xué)生的思維得不到鍛煉，也就談不上思維能力的培養(yǎng)。

事實上，在某一問題的考查分析過程中，我們的思維能力是逐步提高的。因此，教師在向?qū)W生展示自己思維過程時，應(yīng)想學(xué)生之所想，幫助學(xué)生更好地掌握正確的思維方法。

例5已知x2+y2+8x-6y+24=0，求W=x2+y2的最大值和最小值。

按常規(guī)思維，我們是希望把二元函數(shù)W=x2+y2的最大、最小值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最大、最小值問題。用代入法把二次項消去，得W=6y-8x-24。

然后，把y=x++4代入x2+y2+8x-6y+24=0，并整理得25x2+(4w+96)x++3w+144=0，最后利用一元二次方程根的判別式△≥0，即(4w+96)2-4×25(+3w+144)≥0，可解得:16≤W≤36 。所以有函數(shù)W=x2+y2的最大值為36，最小值為16。

如果考慮到目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，那我們將會有更新的發(fā)現(xiàn)。因為W=x2+y2表示平面上的點用(x，y)離開原點的距離的平方，而x2+y2+8x-6y+24=0又是以(-4，3)為圓心、1為半徑的圓的一般方程，故原問題可轉(zhuǎn)化為求已知圓上的點到原點的最大和最小的距離的平方。如下圖所示:

P是已知圓上任一點，Q為圓心，則|OQ|-|PQ|≤|OP|≤|PQ|+|OQ|

∴5-1≤|OP|≤5+1

∴4≤|OP|≤6

16≤|OP|2≤36

即:Wmax=36， Wmin=16。

通過向?qū)W生展示自己的思維過程，可破除學(xué)生對數(shù)學(xué)思維的神秘感，逐步提高學(xué)生解決問題的能力。

綜上所述，在教學(xué)中重視學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，能起到舉一反三、觸類旁通的作用。因此，我們要重視數(shù)學(xué)思維過程的教學(xué)，從而讓學(xué)生真正學(xué)好數(shù)學(xué)。

(龍川縣老隆中學(xué))