排列組合問題解法舉隅

解排列組合有關問題，首先必須認真審題，明確問題中是排列還是組合問題;其次抓住問題的本質特征，靈活應用基本原理和公式進行分析解答。同時，還要注意講究分類討論、注意講究一些基本策略和方法技巧，使一些看似復雜的問題分解轉化為幾個易求解的簡單小問題，則問題會迎刃而解。

一、 受限問題“優先法”

對于受到某些條件限制的排列組合問題應用到“優先法”，即優先考慮受到限制的“元素”或“位置”。

例1(2007四川)用數字0、1、2、3、4、5可以組成沒有重復數字且比20 000大的五位偶數共有()

A.288個 B.240個C.144個D.126個

此題要排一個五位數，首位不能排“0”，且末位要排偶數，那首位與末位屬于受限位置，而“0、2、4”屬于受限元素，應優先考慮，分類為:首位是2或4且大于20 000的數有2×A×2=96個;首位是3或5且大于20 000的數有2AA×2=144個，所以滿足題意的數有96+144=240個。

二、 “至少至多”問題間接法

對于含有“至少”“至多”字眼的問題，直接做比較困難、麻煩時，可以從總體中把不合要求的除去，此時應用到間接法。

例2 (2008四川)從甲、乙等10名同學中挑選4名參加某項公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有( )

A.70 B.112C.140D.168

依題意，從甲、乙等10名同學中挑選4名參加某項公益活動，不同挑選方法共有C，其中所挑選的4人中沒有甲、乙的方法數有C，因此要求甲、乙中至少有1人參加的挑選方法共有C-C種。

三、 相鄰問題“捆綁法”

對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁”起來，看做一個大元素與其他元素排列，然后再對大元素內部進行小范圍的全排列。

例3(2007北京) 記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，2位老人不相鄰但不排在兩端，不同的排法共有( )

A.1 440B.960 C.720D.480

此題可先將2位老人捆在一起看做一個大元素，再將5名志愿者排在一起有種A排法，最后將大元素插入到5名志愿者的4個空中C種方法，則共有ACA=960種。

四、 不相鄰問題“插空法”

對于某幾個元素要求不相鄰的問題，可以先將其他元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素及兩端的空隙之間插入即可。如上例(2007北京)。

五、 相同元素排列問題用“除法”

例4(2006江蘇)今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加區分，將這9個球排成一列有 ___種不同的方法(用數字作答)。

本題考查了排列問題中的相同元素排列時的消序問題，同色球不加以區分，先全排列，再消去各自的順序即可:

=1260種。

六、 定序問題用“除法”

例5(2006湖北)某工程隊有6項工程需要先后單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，工程丁則必須在工程丙完成后立即進行，那么安排這6項工程的不同排法種數是____(用數字作答)。

先將丙、丁看做一個大元素，5個元素排列，其甲、乙、(丙、丁)三個元素是定序問題，即=20種。

七、 綜合問題要“分類”

對于問題中限制條件較多，就要把受限條件逐個擊破，按一定方法進行分類，做到不重不漏。

例6(2007天津)如圖，用6種不同的顏色給下圖中4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰2個格子顏色不同，則不同涂色方法有____種 (用數字作答)。

此題由題意可分為兩類:第一類用3種顏色涂色有3A種，第二類用2種顏色涂色有A，則共有390種。

例7(2008浙江)用1、2、3、4、5、6組成六位數(沒有重復)，要求任何相鄰兩個數字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數的個數是___(用數字作答)。

依題意分為兩類:奇數在奇位時:(1)若第1位是1，則2必在第2位，第3、5位是奇數，第4、6位是偶數，有AA=4種;(2)若1在第3、5位，則2有兩個位置可選，剩下的奇數在奇位，偶數在偶位，有CCAA種，即共有20種。

隨著高考命題的進一步改革，對能力的要求也會進一步提高。排列組合題型是高考中的一個失分點，要想拿下它，就必須講究方法、講究模式，讓學生掌握好基本方法、基本技能，這對他們解決問題能夠起到熟能生巧和事半功倍的作用。

(蘭溪高六中學)