在數學課堂教學中培養學生的猜想能力

猜想是人們依據事實，憑借直覺所作出的一種大膽的假設，是一種創造性的思維活動。

數學上有許多事實都先有猜想后被證實的。比如，由《周髀經》上的“勾三股四弦五”的記載，能歸納猜想“勾方加股方等于弦方”;又由“勾股定理”歸納猜想，在一般三角形中存在c2=a2+b2-2abcosC然后證實，取名為“余弦定理”。在數學發展過程中，數學家們提出了各種各樣的猜想。有些猜想得到了證明，有些至今尚未得到證明，更有一些被否定了。但它卻迫使很多數學者去攻克，去攀登。因而著名的數學家波利亞說過:“要成為一個好的數學家，你必須首先是一個好的猜想家。”他還說:“對于正積極搞研究的數學家來說，數學也許往往像猜想游戲，在你證明一個數學定理之前，你先得猜測這個定理的內容。在你完全做出詳細證明之前，你先得推測證明的思路。”

長期以來，我國教育界過分強調數學的嚴謹性和科學性，而輕視了對學生猜想能力的培養，造成了學生在解題中謹小慎微、想象力貧乏、創造低下。

課堂教學是學校進行教學活動的主陣地。那么，在課堂教學中如何培養學生的猜想能力呢?

一、 新課導入，誘發猜想

良好的開端意味著成功的一半。在新課伊始誘發猜想不僅可以激發學生求知欲望，而且可以發現一些新的結論。

如在教學“比例性質(二)”時，我從學生已有的知識入手，讓學生進行練習:已知=，求(1)=;(2)=。

在此基礎上，誘導學生猜測已知=，得出=，學生利用舊知識的遷移，在教師的誘導下猜想得出“合比定理”。

當學生發現自己的猜想居然能得出一個正確的定理時，便能感受到探索知識的樂趣，享受到成功的快樂，能以極大的熱情投入到新課的學習中去。

二、 新課學習，指導猜想

猜想不是亂猜，必須建立在綜合分析的基礎上，“猜”之有理，“猜”之有據，然后再進行嚴密的論證。課堂教學中不但要鼓勵學生猜想，還要指導學生猜想的方法，從而提高猜想能力。

1. 觀察與猜想

創造心理學家表明:猜測的來源是直覺，離開了直覺就不可能提出猜想。直覺是思維的“感覺”，它依賴于科學實驗所取得的數據和經驗材料。觀察，是我們認識事物、認識基本途徑之一，是進行猜想的前提和基礎，更是我們發現問題和解決問題的前提。事實上，人類總是不斷地觀察周圍世界，從中找出特點，發現規律，邊看邊想，不斷地提出猜想。例如，牛頓觀察到蘋果從樹上掉下，提出了有力作用在蘋果上的猜測，后來最終發展成為重力場的理論;瓦特觀察一壺燒開了的水，蒸汽頂開了壺蓋的現象，猜想蒸汽可以做功，后來發明了蒸汽動力機車。在中學更多是對命題的條件觀察，通過聯想，提出結論或論斷的猜想;或者是對條件與結論的觀察，提出解決問題的方案或方法的猜想。

學生在學習“兩圓位置關系”時，課堂上教師演示兩個圓的模型，要求學生猜想兩圓有幾種位置關系，通過兩圓模型不同位置的擺放和學生的積極猜想，得出的位置關系有:相交、相切(外切、內切)、相離(外離、內離)三種位置關系。

2. 歸納與猜想

歸納猜想是通過對個別的一些經驗事實和感性材料進行觀察、分析、概括和總結，從中發現有關命題的形式、結論或方法的猜想。歸納猜想是一種由特殊到一般的推理方法，能幫助我們去發現新的結果。因此，它在數學發現中有十分重要的作用，許多數學猜想都是通過歸納提出的，盡管有些結論至今未能被證明，但它給予數學證明的方向，從而極大地推動了數學的發展，我們應該使用這個武器去教學生，并且在實踐中不斷總結這方面的經驗。這里講的歸納法不是“數學歸納法”，也不是“完全歸納法”，而稱它為“經驗歸納法”，它來源于經驗而不是靠演繹法得到。

例:計算

分析:為了找到突破口，先猜想結果，當n=1時，原式==3。當n=2時，原式==33。當n=3時，原式==333。

由此可以猜想原式=。

有了猜想的結果，再去證明這個結果，就有了目的。

略解:設a= 則=a×10n+a，=2a，

所以，原式===3a。

3. 類比與猜想

由于事物之間常具備相同的或相似的屬性，因此相似的對象在某個方面彼此一致時，我們可以由其中的一類事物的已知屬性去猜想測另一類事物也具備相同的或相似的屬性，這就是類比，它也是我們重要思維方法之一。數學中用類比法推出的結論很多。它能揭示自然的秘密，在幾何中它應該是最不容忽視的。波利亞也指出:“類比似乎在一切發現中有作用，而且在某些發現中有它最大的作用。”

由于類比法是對兩“對象”類似之處，通過新舊知識之間的聯系來進行的，因此它既有利于鞏固舊知識，也可尋求解決新問題的方法。

例如學習“異分母的分式加減法”時，計算:+ ，可要求學生計算+，再換成猜想分式公分母的求法。

三、 課堂總結，延續猜想

課堂總結是新課教授的最后一個環節，此時，教學內容雖已結束了，但應使學生在學習新課內容之后產生意味深長之感謝。所以教師要依據教學內容和學生實際情況，精心設計總結內容，使學生的知識得到鞏固，使形成的能力得到激發延續。

數學教材中，大多講究新舊知識的連續承接。學生在學習新課之后，教師應設置幾個與下一節課內容有關幾個問題，要求學生展開猜想。這樣既為下一節教學內容埋下了伏筆，同時也培養了學生的猜想能力。

如學習了“韋達定理”后，可向學生提出問題:某方程兩根分別為2和3，求這個方程?要求學生用剛學過的知識展開猜想，為下一節“韋達定理應用舉例(一)”的學習做好準備。

四、 練習設計，調動猜想

設計恰當的數學習題，讓學生在猜想中進行練習，可使知識得以鞏固、深化和發展。

例:p為等邊三角形ABC見左圖內任意一點，由p向三邊BC、AC、AB分別引垂線PD、PE、PF，求證:PD+PE+PF是定值。

分析:先猜想定值是什么，將P點移至三角形一個頂點，如A點，則AD為BC邊是的高線，即P向BC所引之一垂線段，而此時由P(即A)向另兩邊AC、AB所引的垂線段長化為零，可見這個定值如果存在，必為三角形一邊上的高線，。

設計這樣的開放性習題，讓學生多思、多猜，有利于調動學生的積極性，發展學生的智能，提高學生的素質。

需要指出的是，猜想能力的培養是一項復雜的系統工程，絕不是一朝一夕所能辦到的。它需要我們數學教師長期鍥而不舍，寓猜想能力的培養于平時的教學之中。這也是優化課堂教學，提高教學質量的策略之一，也是培養21世紀創造性人才的需要。因此，我們要大張旗鼓地鼓勵合理猜想。

(樂清市虹橋鎮實驗中學)