例談整數筆算教學中算法的抽象

在整數筆算教學中，教師要引導學生充分經歷算法的逐步抽象和優化過程，在此過程中豐富學生的活動經驗，增強體驗，發展數學思考，讓學生學會自主探索，學會數學表達，形成運算技能。

如教學“兩位數乘一位數(不進位)筆算”，學生在鞏固練習階段，經常發生這樣的錯誤：盡管老師反復強調應該用十位上的“1”乘“4”，得“4”個十，這個“4”要寫在十位上，但學生再次練習時，錯誤依舊。從表面上看是學生受加法豎式計算的負遷移影響，把乘法算法與加法算法混淆了，實際上是學生還不懂得乘法算式和算法的意義，還不知道算理是如何過渡到算法的。

其實，兒童的思維還處在由具體形象思維逐步向抽象邏輯思維過渡的階段，他們的抽象思維水平在很大程度上要依賴于形象或表象的支撐，可以說，動作思維、形象思維或表象思維在低年級兒童思維中占有很大的比重。過早的抽象會增加學生理解的難度和記憶的負擔。為此，教師要充分認識兒童的思維特點和認識水平，在形象思維與抽象思維之間的鋪路架橋。

在實際教學中，要讓學生在充分理解算理的基礎上，先自主探索算法，再相互交流和比較算法，然后逐步抽象和概括出算法，并不斷優化算法。要讓學生切實體驗過渡和演變的過程，以獲得對算理的深層理解和對算法的切實掌握。補救措施如下：

1 再次理解并外化意義。首先要讓學生準確理解算式的意義，在算式和算理之間自覺轉換。如讓學生知道12x4表示求4個12相加的和是多少，與12+4的意義不同。在此基礎上引導學生外化意義：或用4個12連加，或操作，或畫圖，或想象成如下圖。

這樣便于學生利用直觀算理抽象算法，培養學生的數感。

2 再次交流并比較算法。對于如何計算12x4，教師仍要放手讓學生自主探索算法，并通過交流和比較逐步優化算法。學生出現如下算法：

(1)借助操作或圖形計算和用連加計算

(2)用乘法豎式計算和用最簡的乘法豎式計算

教師引導學生通過比較，再次感到用畫圖和加法計算都比較麻煩，用乘法豎式計算簡便些，而最簡的豎式計算更簡單。教師還要引導學生進一步思考：在類似的乘法豎式計算中，是不是還有相同的現象?為此，需要繼續研究。

3 再次優化并提煉算法。教師引導學生嘗試用兩種乘法豎式計算其他類似的算式，如11×9：

這樣便于學生進一步強化算理，不斷優化并提煉出最簡便的—般算法。學生通過多次觀察和比較，采用不完全歸納法得到：可以把十位上的數乘f，2數所得和積的十位上的數字直接寫在十位上，從而得到最簡化的豎式。

4 再次反思并理解算法。教師還要啟發學生思考：用這樣豎式簡算的根據是什么?教師要結合具體豎式，如12x4的豎式，借助直觀算理，使學生感悟到：豎式中的2x4表示求4個2的和是多少，得8個一，8要寫在個位上；豎式上的1x4表示4個十的和是多少，得4個十，4要寫在十位上，最后把兩次所得的積合并。這樣學生才會在抽象算法與直觀算理之間建立實質性的有意義的聯系，才會對算法不但知其然，而且知其所以然，知道算法是如何演變過來的。

5 再次抽象并概括算法。此時，用最簡的一般算法進行計算已經成為學生的自覺選擇，學生完全可以結合自己的體驗和發現，概括出算法。這樣讓學生再次從具體到抽象，從個別到一般，從感性到理性，豎式由繁到簡充分經歷算法的不斷建構過程，逐步建立基本的算法模型，不僅獲得了對算理和算法的深層理解，還學會了比較、優化、概括和歸納，學會了數學化地表達，這將有利于學生的自主遷移和創造，也有利于其靈活地運用算法進行計算。

總之，在整數筆算教學中，尤其是起始階段，要遵循兒童的認知規律和計算技能形成的規律，讓學生充分體驗，逐步完成“動作思維一形象思維一抽象思維”的發展過程，從而發揮教學過程的育人價值。