小學數學“概率”的啟蒙教育

在小學階段，學生將認識確定現象和不確定現象，初步體會概率的含義，學習一些計算簡單事件可能性的方法；體驗概率在日常生活中的作用，初步嘗試運用所學知識解決簡單的實際問題，逐步學習以隨機的觀點看待某些現象。

一、初步體驗有些事件的發生是確定的，有些則是不確定的

通過實際例子，讓學生體會客觀世界不但存在著確定事件，也存在著不確定事件，并能用“可能”、“不可能”、“一定”等詞語來描述和表達。讓學生認識到對于某一客觀事件來說，其發生的可能性與個人的愿望無關。

例1：左面盒子里放8個紅棋子，右面盒子里放2個紅棋子、2個藍棋子、2個綠棋子和2個黃棋子。(人教版義務教育課程標準實驗教科書三年級上冊第105頁)

在這一部分內容的教學中，要注意幾點：

(1)在比較的基礎上鑒別事件發生的可能性。如例題所示，左面盒子里都是紅棋子，那么一定能摸出紅棋子，不可能摸出綠棋子。右面盒子里有綠棋子，才可能摸出綠棋子。

(2)不人為編造不可能發生的事件。如“太陽有可能從西邊升起”，“我從出生到現在沒吃過一點東西”，這都是不可能事件，是人為編造的偽命題。

(3)教師正確引導學生的舉例。如有的教師讓學生用“一定”、“不可能”和“可能”說一句話，學生有的說，哥哥的歲數一定比弟弟大。有的說，妹妹的歲數不可能比姐姐大。有的說，亮亮的歲數可能比妞妞大。這些話屬于生活常識，不屬于概率論的研究范疇。兒童會聯想到自己的生活經驗，是很正常的。教師可以從數學的角度提出問題：“想一想哪些事情是一定會發生的?哪些事情不可能發生?哪些事件可能發生?”不要簡單地企望學生用造句來理解事件發生的偶然性與必然性。最好能聯系數學知識舉例：“一位數乘三位數的積不可能是五位數，可能是三位數或四位數”，“單數不可能等于雙數”(張奠宙：小學數學教材中概率統計內容述評)

二、知道事件發生的可能性是有大有小的，對一些簡單事件發生的可能性作出描述，并和同伴交換想法

在研究隨機事件發生的可能性大小的初期，只要求學生能夠說出有幾種可能，并能用“可能性比較大”、“可能性比較小”、“可能性相同”等詞語來描述隨機事件發生的可能性。

例2：盒子里有4個紅棋子和1個綠棋子。(人教版義務教育課程標準實驗教科書三年級上冊第106頁)

這是一道需要通過概率實驗解答的例題。概率實驗有兩個顯著特點，一個是實驗結果的不確定性，一個是大量重復實驗時的穩定性。在課堂教學中，由于時間的限制，實驗結果的不確定性比較突出，在課堂教學中解決這個問題，要注意以下幾點：

(1)運用概率的基本模式。

(2)培養概率直覺。在做實驗之前先猜測，然后進行試驗，幫助學生逐步建立正確的概率直覺。

(3)規范實驗操作。在摸棋子實驗中，學生往往希望拿出自己喜歡的棋子，或者拿出與別的同學不一樣的棋子。出于好奇，偷看的現象時有發生。要保證實驗的隨機性，老師首先要使棋子除顏色外，其余的條件完全相同(包括大小、質量、光潔度等)，同時明確實驗要求，再通過小組演示使學生感受到什么是搖勻、不許看、任意摸，這是這類實驗中研究隨機事件、保證公平的前提條件，從而確保摸棋子數據的真實、可靠。

(4)數據處理到位。采用先分組統計，再全班統計的方式整理數據。

①小組記錄表

如果全班有40人，每4人一小組，每人摸5次，結果每個小組摸20次，這樣一共摸200次，基本上可以保證實驗結果的穩定性，從而發現隨機事件的統計規律。通過這樣的過程讓學生體會“可能性”，更符合概率的思想。

(5)深入分析數據。在數據分析的過程中，不僅關注最后的結果，更應引導學生觀察數據的變化規律。在合計中，紅棋子出現的次數大約是160次左右。 在數據分析中，結合各小組的試驗數據，可以提出如下問題引導學生討論：

①觀察每個小組20次試驗的結果，有什么發現?(哪些小組摸出紅棋子的次數比綠棋子多，哪些小組摸出紅棋子的次數和綠棋子的次數同樣多，有沒有摸出紅棋子的次數比綠棋子少的小組。)

②為什么各個小組摸到紅棋子的次數不完全一樣?(盒子里既有紅棋子也有綠棋子，每次摸棋子時，可能摸到紅棋子，也可能摸到綠棋子。)

③再觀察全班4個組的數據，又發現了什么?為什么各個小組(或多數小組)摸到紅棋子的次數都比綠棋子多?(因為盒子里紅棋子的個數比綠棋子多。)

④最后看全班200次試驗的結果，又發現了什么?(摸到紅棋子的次數比綠棋子多，摸到紅棋子的可能性比較大。)

這要逐步觀察思考，使學生體會到：各個小組實驗的結果可能相同，也可能不同，這完全是正常的。實驗結果的共同規律是：摸到紅棋子的次數多，摸到綠棋子的次數少。從而得到：只摸出一個棋子，可能是紅色的，也可能是綠色的，摸到紅棋子的可能性比較大。通過對實驗結果的觀察，就可以發現：隨著數據量的增加，出現偏差較大的現象會逐步減少。(根據現行高中教材“二次分布的計算公式”每一小組共摸20次，用函數計算器計算出的結果是出現紅棋子的次數小于或等于10次的概率是0.258％，即如果有388個小組進行類似的實驗大約有1個小組的實驗數據可能出現這樣的偏差。另外20次小組實驗出現全部是紅棋子的概率是1.15％，就是說87個小組進行實驗，大約有1個小組的實驗數據會出現這樣的偏差。這兩種偏差是小概率事件，通常不會出現。)

例3：盒子里有7個紅棋子、4個藍棋子和1個綠棋子。(^教版義務教育課程標準實驗教科書三年級E冊第107頁)

顯然，教材安排這道例題的目的是在前面例題的基礎上，讓學生進行合理猜測：摸出一個棋子，可能是紅色、藍色或綠色。摸出紅棋子的可能性最大，摸出綠棋子的可能性最小。這道題不適合進行摸棋子實驗。這是由于摸到紅棋子與摸到其他棋子數量上的差異比較小，在摸棋子實驗中，如果摸的次數比較少的話，出現偏差的可能性就比較大。

通過計算，在20次的試驗中。這道題摸出紅棋子的次數小于或等于10的概率是：0.258。

這就是說，如果有10個小組進行同樣的摸20次棋子的實驗，大約有3個小組摸到紅棋子的可能性少于11次。這對于初學概率的三年級學生來說，是很難正確理解的。

許多教師在教學這部分內容時常常安排擲硬幣的實驗，或其他概率值是1/2的實驗。通過這樣的實驗，讓學生理解“可能性相等”的概念。

下面是一枚硬幣擲10次的概率分布情況：

從上表可以看出：

(1)擲的次數越多，概率值越分散，極大值越小，但概率值之和是1。

(2)在擲硬幣的實驗中，概率分布是有規律的。中間的概率值最大，兩端的概率值最小，呈現對稱分布(正態分布)。

(3)較大的概率值集中在中間部位。如，在一枚硬幣擲10次的實驗中，有11種可能，正面朝上出現4次、5次、6次的概率值之和是65.63％。說明擲的次數越多。正面朝上的次數越接近擲的次數的1/2，但正好是一半的可能性就越少。因此，看可能性是否相等，關鍵是看正面朝上的變化趨勢，而不能只看絕對數值。由于課堂教學時間有限，這種用頻率驗證概率的實驗不提倡在課堂上做，可引入歷史上數學家所做的擲硬幣的實驗數據，通過課件直觀對比，加深學生對概率觀念的理解。

在小學概率教學的啟蒙階段，學生最難理解的是每次概率實驗的不確定性和大量實驗的穩定性之間的矛盾。只要我們多想方法，這個問題可以逐漸得到解決，使學生的數學思維能力提高到一個新的水平上。