由定比分點(diǎn)的定義引發(fā)的探究

● (襄樊市第一中學(xué) 湖北襄樊 441000)

為了方便進(jìn)行空間拓廣，對(duì)結(jié)論稍作變動(dòng)：令λ=λ1∶λ2(λ1+λ2≠0),則

并討論如下問(wèn)題：O為空間內(nèi)任意一點(diǎn)，M為△ABC所在平面內(nèi)不同于點(diǎn)A,B,C的一點(diǎn)，且

S△MAB∶S△MBC∶S△MAC=λ1∶λ2∶λ3,

分以下3種情形討論：

情形1點(diǎn)M在△ABC的內(nèi)部.

圖1

如圖1所示，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD,垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD,垂足為點(diǎn)F.由S△MAB∶S△MAC=λ1∶λ3及△MAB與△MAC有公共邊MA，得

BE∶CF=λ1∶λ3，

于是

BD∶CD=λ1∶λ3,

又

于是

所以

整理可得

圖2

情型2點(diǎn)M在△ABC三邊所在的直線上，且不與點(diǎn)A,B,C重合.

同理可得如下結(jié)論:

(1)若點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線上，則

(2)若M在線段CB的延長(zhǎng)線上，則

(3)若點(diǎn)M在線段AB上，則

(4)若點(diǎn)M在線段AB的延長(zhǎng)線上，則

(5)若點(diǎn)M在線段BA的延長(zhǎng)線上，則

(6)若點(diǎn)M在線段AC上，則

(7)若點(diǎn)M在線段AC的延長(zhǎng)線上，則

(8)若點(diǎn)M在線段CA的延長(zhǎng)線上，則

情形3點(diǎn)M在△ABC外，且不在△ABC三邊所在的直線上.

圖3

為了方便討論，將△ABC外的區(qū)域分成如圖3所示的6個(gè)部分.由于探求過(guò)程與情形1完全類似，這里只列出最終結(jié)論.

(1)若點(diǎn)M在區(qū)域Ⅰ內(nèi)，則

(2)若點(diǎn)M在區(qū)域Ⅱ內(nèi)，則

(3)若點(diǎn)M在區(qū)域Ⅲ內(nèi)，則

(4)若點(diǎn)M在區(qū)域Ⅳ內(nèi)，則

(5)若點(diǎn)M在區(qū)域Ⅴ內(nèi)，則

(6)若點(diǎn)M在區(qū)域Ⅵ內(nèi)，則

受文獻(xiàn)[1]的啟發(fā)，筆者對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行了分析、比較，最終發(fā)現(xiàn)可以將以上16個(gè)式子統(tǒng)一起來(lái)，下面以定理的形式給出.

定義

于是得到如下定理:

定理2O為空間內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)不同于A,B,C的一點(diǎn)，且

T△MAB∶T△MBC∶T△MAC=λ1∶λ2∶λ3，

則

[1] 陳云烽.一個(gè)與三角形相關(guān)的向量等式的討論[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2006(10):26-28;2006(11):26-29.