《數(shù)學(xué)通報(bào)》1786號(hào)問題的簡證

●(鹿城區(qū)臨江中學(xué) 浙江溫州 325022)

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2009年第5期刊登了曾昌濤教師提供的1786號(hào)問題的解答，過程較為繁瑣，方法不易想到.現(xiàn)筆者提供如下一種簡單的證法，供同行參考.

圖1

簡證如圖1所示，連結(jié)OA2,OA3.設(shè)△A1A2A3的3個(gè)內(nèi)角分別為α,β,γ.由圓心O在銳角△A1A2A3的內(nèi)部，得

∠A2OA3=2α，A2A3=2Rsinα.

因?yàn)?/p>

所以

即

d1=Rcosα.

同理可得

d2=Rcosβ，d3=Rcosγ.

在三角形中，由三角恒等式可得,當(dāng)α+β+γ=π時(shí)，

cos2α+cos2β+cos2γ+2cosαcosβcosγ=1，

因此

R3(cos2α+cos2β+cos2γ)+2R3cosαcosβcosγ=

R3(cos2α+cos2β+cos2γ+2cosαcosβcosγ)=

R3·1=R3,

故命題得證.

注原題中若去掉“銳角△A1A2A3”的限制，則結(jié)論可改為：

證明方法類似.