活用導(dǎo)數(shù)意義求極限 巧破分離參數(shù)之難關(guān)

● (南通高等師范學(xué)校 江蘇海門 226100)

《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》(上旬刊)2009年第1—2期高考頻道欄目“2009年高考：我的優(yōu)質(zhì)訓(xùn)練題”征文選登中有這樣一道題目：

題目已知函數(shù)f(x)=x2+2x+alnx．

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上恒為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)t≥1時(shí)，不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

文獻(xiàn)[1]對(duì)第(2)小題的解答提出了疑惑，并作了解惑，同時(shí)給出了2種通性通法:一是分離參數(shù)法，二是整體構(gòu)造函數(shù)法．筆者讀后獲益匪淺，同時(shí)對(duì)分離參數(shù)法產(chǎn)生了興趣.為了行文方便，先摘錄文獻(xiàn)[1]中的分離參數(shù)法：

解當(dāng)t=1時(shí)，a∈R;當(dāng)t>1時(shí)，原不等式可化為

F′(t)=

再令G(t)=t(2t-1)[lnt2-ln(2t-1)]-(t-1)2，則

G′(t)=(4t-1)[lnt2-ln(2t-1)].

由t>1，得

G′(t)>0，

即G(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，因此

G(t)>G(1)=0，

即當(dāng)t>1時(shí)，F(xiàn)(t)>2，因此a≤2．

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤2．

構(gòu)造A(2t-1,ln(2t-1))，B(t2,lnt2)是函數(shù)y=lnx(x>1)圖像上的2個(gè)點(diǎn)，則

當(dāng)t→1+時(shí)，A→C(1,0)，B→C(1,0)，割線AB趨向于點(diǎn)C(1,0)處的切線，則

所以

(1)設(shè)a>0，討論y=f(x)的單調(diào)性；

(2)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈(0,1)恒有f(x)>1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

(2006年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題Ⅰ)

解(1)略.

(2)因?yàn)閤∈(0,1)，所以f(x)>1等價(jià)于

因此

由x∈(0,1)，得

從而h(x)在x∈(0,1)上為增函數(shù)，即

h(x)>h(0)=0，

從而

所以a的取值范圍是a≤2．

例2設(shè)函數(shù)f(x)=ex-e-x．

(1)證明：f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)≥2；

(2)若對(duì)所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

(2007年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題Ⅰ)

解(1)略.

(2)當(dāng)x=0時(shí)，對(duì)一切a∈R都有f(x)≥ax成立；

令h(x)=(x-1)e2x+x+1，則

h′(x)=(2x-1)e2x+1，h′′(x)=4xe2x．

由x>0，得

h′′(x)=4xe2x>0，

即h′(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，得

h′(x)>h′(0)=(2·0-1)e2·0+1=0，

因此h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，得

h(x)>h(0)=(0-1)e2·0+0+1=0，

于是

即g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，從而

因此a的取值范圍是a≤2．

(1)若f(x)在x=1處取得極值，求a的值；

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若f(x)的最小值為1，求a的取值范圍．

(2009年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解(1),(2)略.

(3)因?yàn)閒(0)=1,所以f(x)的最小值為1等價(jià)于f(x)≥1恒成立.由f(x)≥1,得

當(dāng)x=0時(shí)，對(duì)一切a∈R，式(1)恒成立；

即h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，因此

h(x)

即g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，從而

因此a的取值范圍是a≥2.

[1] 費(fèi)新慧.對(duì)一道優(yōu)質(zhì)訓(xùn)練題解答的疑惑、解惑及另解[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009(6)：48-49．

[2] 李春雷.不等式成立中求參數(shù)取值范圍問(wèn)題的策略選擇[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2009(4)：28-30．