“平均變化率”教學設計

●(艾青中學 浙江金華 321000)

1 內容和內容解析

內容：平均變化率的概念及其求法.

內容解析：本節課是高中數學(選修2-2)第一章《導數及其應用》的第一節變化率與導數中的變化率問題.本節內容通過分析研究氣球膨脹率問題、高臺跳水問題，總結歸納出一般函數的平均變化率概念，在此基礎上，要求學生掌握函數平均變化率解法的一般步驟.

本節課是起始課，對導數概念的形成起著奠基作用.平均變化率是個核心概念，它在整個高中數學中占有及其重要的地位，是研究瞬時變化率及其導數概念的基礎.在這個過程中，要注意特殊到一般、數形結合等數學思想方法的滲透.

新課標對“導數及其應用”內容的處理有較大的變化，它不介紹極限的形式化定義及相關知識，也有別于以往教材將導數僅僅作為一種特殊的極限、一種“規則”來學習的處理方式，而是按照“平均變化率—瞬時變化率—導數的概念—導數的幾何意義”這樣的順序來安排，用“逼近”的方法定義導數.這種概念建立的方式形象、直觀、生動,又易于理解，突出了導數概念的本質.

教學重點：函數平均變化率的概念.

2 目標和目標解析

目標：理解平均變化率的概念，掌握求平均變化率的一般步驟.

目標解析：(1)經歷從生活中的變化率問題抽象概括出函數平均變化率概念的過程，體會從特殊到一般的數學思想，體現了數學知識來源于生活，又服務于生活;

(2)在信息技術環境下，可以使實例的背景更形象、更逼真，從而激發學生的學習興趣，通過演示平均變化率的幾何意義讓學生更好地體會數形結合思想;

(3)通過應用舉例的教學，不斷地提供給學生比較、分析、歸納、綜合的機會，體現了從特殊到一般的思維過程，既關注了學生的認知基礎，又促使學生在原有認知基礎上獲取知識，提高思維能力，保持高水平的思維活動，符合學生的認知規律.

3 教學問題診斷分析

(1)學生學情分析

現有知識儲備:①直線的斜率；②物體運動的速度.

現有能力特征:具有一定歸納、概括、類比、抽象思維能力.

現有情感態度:對導數這一新鮮的概念具有強烈的求知欲和渴望探究的積極情感態度.

(2)對于平均變化率概念的理解，學生的認知困難主要在于：用準確的數學符號語言刻畫圖像變化的快慢速度，這種由形到數的翻譯、從直觀到抽象的轉變對學生來說是比較困難的，因此在教學中可以從學生熟悉的身高變化、氣溫變化、氣球膨脹、運動速度等這些背景簡單的實際問題出發，利用圖像的陡升引導學生發現函數值變化快慢的不同，并將這種不同用數學語言表達出來，從而使學生逐步概括出函數平均變化率的定義.

教學難點：函數平均變化率的概念.

4 教學支持條件分析

為了有效實現教學目標，準備計算機、投影儀、多媒體課件等增加課堂知識的交互性；用學生感興趣的名人身高，兒時的吹氣球游戲等寓教于樂，提高學生的興趣和課堂效率；用奧運健兒成功的事例，讓情感引領學生的學習熱情.

5 教學過程

5.1 簡單介紹、總體把握

(1)介紹微積分的創始人——牛頓和萊布尼茨.

設計意圖：通過播放牛頓和萊布尼茨的圖片(幻燈片展示)，向學生介紹微積分的產生是數學發展史上一個具有劃時代意義的偉大創造，被譽為數學史上的里程碑.而牛頓和萊布尼茨在不斷地探索與研究中，各自獨立地創立了微積分，并對微積分的發展做了突出的貢獻.使學生初步了解相關的數學文化，感知科學家們不懈求真的科學態度與精神.

(2)微積分與4類科學問題.

一是已知物體運動的路程作為時間的函數，求物體在任意時刻的速度與加速度;反之，已知物體的加速度作為時間的函數，求速度與路程.

二是求曲線的切線.

三是求函數的最大值與最小值.

四是求長度、面積、體積和重心等.

設計意圖：利用章引言中提示的微積分的相關數學史，引導學生探尋微積分發展的線索，體會微積分的創立與人類科技發展之間的緊密聯系，認識導數和定積分在研究和處理實際問題中的作用，從而激發學生學習本章內容的興趣.筆者建議學完本章內容后，再次引導學生閱讀章引言，以加深學生對導數的思想、方法和作用的體會.

5.2 創設情境，生成概念

5.2.1 實例分析、初探概念

情境1某運動員的身高曲線圖

設計意圖：把生活中某運動員的身高曲線圖引入課題(如圖1)，以激發學生的學習興趣，為生成函數平均變化率提供實際背景.

師生活動：引導學生從圖1中觀察得到某運動員的身高隨年齡的變化情況.在13～16年齡段中，身高增長最快.進一步探究得，需用“身高的增長量與年齡的增加量”的比值來刻畫這一問題，而這個比值就是身高的年平均增長率,即平均變化率.

圖1

圖2

情境2氣溫“陡升”

現有某市2009年3月18日至4月20日中某天的日最高氣溫記載,如圖2所示.

設計意圖：再次讓學生從“形”中感受生活中的變化率問題——氣溫陡升，為生成函數平均變化率提供了又一個實際背景.

師生活動：引導學生從圖2中觀察得到溫度的變化情況，進一步探究得到，需用“氣溫的增加量與時間的增加量”的比值來刻畫氣溫變化的快慢，而這個比值就是氣溫的平均變化率.

5.2.2 探究過程、感悟概念

情境3氣球平均膨脹率

在吹氣球的過程中可以發現，隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢.如何從數學的角度描述這種現象呢？

設計意圖：“對生活現象作數學解釋”不僅可以激發學生深入探究的興趣，而且可以讓學生感受到數學是有用的.問題中涉及到氣球內空氣容量，即氣球體積V，氣球半徑r這2個變量.“隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢”，從數學角度進行描述就是“隨著氣球體積的增大，半徑的增加量與體積的增加量的比值越來越小”，而這個比值就是氣球的平均變化率.

師生活動：一個學生利用打氣筒給氣球打氣，連續打2次，每次打10下(盡量做到每次打入的空氣體積相同)，讓另一個學生用直尺測量2次的氣球直徑，直觀感受氣球的平均變化率.由球的體積公式推導出半徑關于體積的函數解析式，然后通過計算，用數據來回答問題，解釋上述現象.

思考：當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?

設計意圖：把情境3中的具體數據運算抽象到一般的字母表示,為生成函數平均變化率概念作鋪墊.

師生活動：教師播放多媒體，學生可以直接回答問題，教師板書其正確答案.

情境4高臺跳水

在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數關系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如果用運動員在某段時間內的平均速度描述其運動狀態，那么：(1)在0≤t≤0.5這段時間里,運動員的平均速度是多少？(2)在1≤t≤1.5這段時間里，運動員的平均速度為多少？

設計意圖：高臺跳水展示了生活中最常見的一種運動，而運動速度是學生非常熟悉的物理知識，這樣設計可以減少因為背景的復雜而可能引起的對數學知識學習的干擾.通過計算為生成函數平均變化率概念提供了又一實際背景.

師生活動：教師播放郭晶晶、吳敏霞在2008年北京奧運會上的跳水比賽錄像，讓學生重溫奧運會的輝煌成就，從而進一步激發愛國熱情，并在情境中感受速度變化.學生通過計算回答問題，對第(2)小題的答案說明其物理意義.

5.2.3 歸納概括、恰當表征

歸納定義：根據之前的4個情景，歸納概括出平均變化率的概念：

函數f(x)從x1到x2的平均變化率的定義：

令Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),則

設計意圖：結合具體問題的實際意義,抽象得到變化率的定義,由淺入深、由易到難、由特殊到一般，完成了思維的飛躍.

探究1平均變化率的幾何意義是什么？

設計意圖：概念是文字表述，只是數量角度的描述，通過之前的例子，從圖形角度體會平均變化率的幾何意義.數形結合掃清了學生的思維障礙，更好地突破了教學的重、難點，體驗數學的簡約美.

師生活動：教師再次展示“氣溫陡升”的圖片，引導學生仔細觀察圖像，直觀感知、體會平均變化率的幾何意義.

5.3 應用舉例，強化概念

5.3.1 聯系實際、感受平均變化率

設計意圖：感受數學來源于生活，又服務于生活.

師生活動：鼓勵學生思考并舉例說明生活中平均變化率的例子,教師結合學生所舉的實例進行恰當地分析和引導，揭示本質.

5.3.2 變式訓練、鞏固概型

探究2分別求以下函數在區間[1，2]上的平均變化率.

(1)f(x)=2;

(2)f(x)=-2x+1;

(3)f(x)=x2.

變式1求函數f(x)=x2在區間[-1,1]上的平均變化率．

變式2求函數f(x)=x2在區間[1,1.1],[1,1.01],[1,1.001]上的平均變化率.

設計意圖：結合前面所學的3類基本初等函數感受平均變化率,加深學生對平均變化率內涵及幾何意義的理解.變式1中平均變化率為“0”這一現象引起學生的好奇，進一步為聯系“高臺跳水”中平均速度為0，意識到平均速度只能粗略地描述物體在某段時間內的運動狀態.為了能更精確地刻畫出物體運動，有必要研究某個時刻的速度即瞬時速度，為下一節瞬時變化率的講解作鋪墊.

師生活動：每生一題，認真板演.教師巡視并規范過程.

5.4 歸納總結、內化知識

設計意圖：讓學生自己小結，不只是總結知識更重要的是總結數學思想方法.這是一個知識重組的過程，是一個多維整合的過程，也是一個高層次的自我認識過程，可以幫助學生自行構建知識體系，理清知識脈絡，養成良好的學習習慣.

師生活動：學生小結，必要時其他學生補充、完善，教師適時點評.

6 作業布置、升華提煉

設計意圖：作業是學生信息的反饋，在作業中可以發現和彌補教學中的不足，同時注重個體差異、因材施教.作業1是知識的鞏固與升華；作業2起到承上啟下的作用，并鍛煉學生自主探究的能力.

(1)作業本：變化率問題第1頁第2題.

①運動員在這段時間里是靜止的嗎?

②你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎？

本教學設計的總體思路：荷蘭數學家、數學教育家弗賴登塔爾從數學教育的特點出發，提出了以下4個數學教學的原則：“數學現實”原則，“數學化”原則，“再創造”原則，“嚴謹性”原則.筆者認為，對于本節課學習的概念“平均變化率”，學生的“數學現實”是他們非常熟悉的4個情境——身高變化、氣溫變化、氣球膨脹、運動速度以及對相關圖形的直觀認識；在教師的引導下，通過學生自己的運算和思考，即“再創造”的過程，將形的問題用數量予以精確刻畫；對4個問題的共同屬性抽象概括而得出“平均變化率”的定義，即“數學化”的過程，再對定義進行變式，并從數和形2個角度加深對“平均變化率”的理解，最后實現對“平均變化率”概念的意義建構.