一個經典作圖題派生的最值問題

●(金陵中學河西分校 江蘇南京 210019)

1 引例——類比聯想

例1幾何模型：

條件：如圖1，A，B是直線l同旁的2個定點．

問題：在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最小．

方法：作點A關于直線l的對稱點A′，連結A′B交直線l于點P，則PA+PB=A′B的值最小(不必證明)．

圖1

圖2

模型應用：

(1)如圖2，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點．連結BD，由正方形對稱性可知，點B與D關于直線AC對稱．連結ED交AC于點P，則PB+PE的最小值是________.

(2)如圖3，⊙O的半徑為2，點A,B,C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值.

(3)如圖4，∠AOB=45°，P是∠AOB內一點，PO=10，Q,R分別是OA,OB上的動點，求△PQR周長的最小值．

圖3

圖4

評注這是一道2009年福建省漳州市的數學中考試題.命題者先給出了源于教材的一個經典幾何作圖題，接著設計了模型應用.第(1)、(2)小題是2個鋪墊問題;在解決第(3)小題時,學生已基本理解這個幾何模型的本質：通過軸對稱變換將幾條線段轉移到同一條直線上.具體方法：作點P關于OB，OA的對稱點M，N，連接OM，ON，MN分別交OB，OA于點R，Q，則△PQR周長的最小值就是線段MN的長.由軸對稱的性質結合題意,可知△MON為等腰直角三角形.又由OP=10,可求得MN的長.這個經典幾何作圖題在不同背景下派生的最值問題已成為2009年中考試題中一道亮麗的風景線．

2 范例——應用拓展

圖5

(2009年陜西省數學中考試題)

得

EH=4.

又M,N分別是AD和AB上的動點，因此當點M,N分別是EH與AD,AB的交點時，BM+MN為最小，即為線段HE的長度，故BM+MN的最小值為4．

例3在平面直角坐標系中，有A(3，-2)，B(4，2)兩點,現另取一點C(1，n).當n=________時，AC+BC的值最小．

(2009年湖北省孝感市數學中考試題)

簡解過點C(1，n)且與y軸平行的直線為x=1，作點A(3，-2)關于直線x=1的對稱點A′(-1，-2)，經過點B，A′的直線與直線x=1的交點為C，此時AC+BC的值最小.將點B，A′的坐標代入y=kx+b,并計算得

因此

評注點A,B是2個定點，且都在點C(1，n)的右側，使AC+BC的值最小的難點是沒直接給出點C所在的直線.但注意到點C的橫坐標為1，知點C必在直線x=1上，從而可轉化為基本問題．

例4湖北省恩施自治州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世．著名的恩施大峽谷(A)和世界級自然保護區星斗山(B)位于筆直的滬渝高速公路X同側，AB=50 km，A,B到直線X的距離分別為10 km和40 km，要在滬渝高速公路旁修建一服務區P，向A,B兩景區運送游客．小民設計了2種方案，圖6是方案1的示意圖(AP與直線X垂直，垂足為點P)，點P到A,B的距離之和S1=PA+PB，圖7是方案2的示意圖(點A關于直線X的對稱點是A′，連結BA′交直線X于點P)，點P到A,B的距離之和S2=PA+PB．

(1)求S1,S2，并比較它們的大小；

(2)請你說明S2=PA+PB的值為最小；

(3)擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖8所示的直角坐標系，B到直線Y的距離為30 km，請你在X和Y旁各修建一服務區P,Q，使P,A,B,Q組成的四邊形的周長最小,并求出這個最小值．

(2009年湖北省恩施自治州數學中考試題)

圖6

圖7

簡解(1)如圖6,過點B作BC⊥AP,垂足為C,則PC=40.因為AP=10,所以AC=30.在Rt△ABC中，AB=50，AC=30，得BC=40，于是

從而

如圖7，過點B作BC⊥AA′,垂足為C，則A′C=50.由BC=40，得

又由軸對稱知PA=PA′，因此

故

S1>S2.

(2)如圖7，在公路上任找一點M,連結MA,MB,MA′.由軸對稱知MA=MA′,因此

MB+MA=MB+MA′≥A′B,

故S2=BA′為最小.

圖8

圖9

(3)如圖9,過點A作關于x軸的對稱點A′,過點B作關于y軸的對稱點B′，連結A′B′,交x軸于點P,交y軸于點Q,則P,Q即為所求.過點A′,B′分別作x軸,y軸的平行線交于點G,則

評注數學源于生活.此題從一個實際問題出發探究最值問題，突出了數學的應用價值．

例5如圖10，已知點A(-4，8)和點B(2，n)在拋物線y=ax2上．

(1)求a的值及點B關于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標.

(2)平移拋物線y=ax2，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，點C(-2，0)和點D(-4，0)是x軸上的2個定點．

①當拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′最短，求此時拋物線的函數解析式.

②當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數解析式；若不存在，請說明理由．

(2009年浙江省舟山市數學中考試題)

圖10

圖11

1°若將拋物線向右平移，則顯然有

A′D+CB′>AD+CB，

即不存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短．

評注此題是一道中考壓軸題，在拋物線平移中考查利用軸對稱性處理線段和的最值問題，很好地引導學生從運動變化的角度去思考數學問題，而不是把數學看成靜止的，這正考查了學生的數學能力．

很多中考題的編制是課本習題的拓展和延伸，與一些經典的基本圖形存在著一定的關系.教師若能認真研究課本習題，抓住基本圖形的不變關系拓展延伸，進行變式應用，讓學生“不經意”地解決問題，則學生從中獲得的不僅是數學解題能力的提升，更是數學思維水平的提升．