試論中學階段的數學思想方法及其教學策略

隨著以培養數學素質為主要標志的素質型質量觀的出現，教學要強調數學思想方法的呼聲日漸高漲，掌握重要的數學思想方法應該是中學生必須具備的數學素質.在義務教育階段《課程標準》突出強調:“在教學中，應當引導學生在學好概念的基礎上掌握數學的規律(包括法則、性質、公式、公理、定理、數學思想和方法).”而在高中階段高考數學命題滲透了對數學思想方法的考查，注重考查學生應用數學思想方法分析和解決問題的能力，可見數學思想方法在中學階段數學教學的重要地位.本文試對中學階段的主要數學思想方法以及如何對其開展教學進行初步的探討.

一、中學階段主要的數學思想方法

所謂數學思想，就是對數學知識和方法的本質認識，是對數學規律的理性認識，人們通常用它來泛指某些有重大意義的內容比較豐富、體系完整的數學成果.所謂數學方法，就是解決數學問題的根本程序，是數學思想的具體反映，就是人們從事數學活動時所使用的方法.其實，數學思想和數學方法往往不加以區別，同一個數學成就，當用它去解決別的數學問題時，就稱之為方法，當評價它在體系中的自身價值和意義時，就稱之為思想.比如“極限”，用它去求導數、求積分、解方程時，人們就說是極限方法;當我們討論它的價值，即將變化過程趨勢用數值加以表示，使無限向有限轉化時，人們就講“極限思想”了.所以數學思想和數學方法通常都混稱為“數學思想方法”.這樣從中學階段的教學內容安排來看其主要的數學思想方法有以下幾個.

1.函數思想

函數的思想是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決.函數思想是對函數概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用函數知識或函數觀點觀察、分析和解決問題.

2.方程思想

方程的思想就是分析數學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決.方程的思想是對方程概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題.方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系.

3.化歸思想

化歸的思想就是將一個問題A進行變形，使其歸結為另一個已能解決的問題B，既然B已可解決，那么A也就解決了.應用時一定要注意變形轉化的等價性，保證邏輯上的正確.數學的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉換過程.

4.分類思想

分類的思想是按照數學對象的相同點和差異點將數學對象區分為不同種類的一種思想方法.分類以比較為基礎，通過比較識別出數學對象之間的異同點，然后根據相同點把數學對象歸并為較大的類，根據差異點將數學對象劃分為較小的類，從而將數學對象區分為具有一定從屬關系的等級系統.分類的原則是不重復、不遺漏、標準同一.在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，也叫分類討論思想.

5.數形結合思想

數形結合的思想就是將抽象的數學語言與直觀的圖象結合起來的一種思想方法.數學的研究對象大致分為兩類:一類是研究數量關系的，一類是研究空間形式的.整個數學，不論是初等數學還是高等數學，都是以數和形作為研究對象的.解決“數與形”問題的關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化.

6.類比猜想方法

類比猜想的方法是根據兩個對象或兩類事物的一些屬性相同或相似，猜測另一些屬性也可能相同或相似的思維方法.類比思維的認識依據是客觀事物或對象之間存在的普遍聯系——相似性.因此，其結論具有或然性，是否正確要經過嚴格的證明或者實踐檢驗.在數學中，類比是發現概念、方法、定理、公式的重要手段，也是開拓新領域和創造新分支的重要手段.

7.歸納猜想方法

歸納猜想的方法也叫不完全歸納法，它是根據對某類事物中的部分對象的分析，作出關于該類事物的一般性結論的推理方法.不完全歸納法的結果是在僅僅觀察、分析了某類事物的部分對象之后，對該類事物的屬性所提出的猜想(即合情推理).因此，其前提與結論之間布局有必然的聯系，其結果具有或然性.所得的結論的正確性，尚需經過嚴格的邏輯推理和實踐檢驗后才能確認.

二、中學階段數學思想方法的教學策略

在中學數學各科教材中，數學思想方法是以具體的數學知識為載體，在教學的過程中逐步實現的，離開具體數學知識的教學，數學思想方法就成了無源之水.因此，數學思想方法與具體數學知識是有機結合的整體，它們是相互聯系、協同發展的，同時又是不能相互代替的.另一方面，數學思想方法的內容顯得薄弱，除了一些具體的數學方法比較明確外，一些重要的數學思想方法都沒有比較明確和系統的闡述，數學思想方法的呈現是隱蔽的，學生難以從教材中直接獲取，因此教師必須深入鉆研教材，把隱含在知識背后的思想方法揭示出來.因此，在教學過程中，利用適當時機，對某些數學思想方法進行概括、強化和提高，使得學生能掌握和運用數學思想方法.

1.充分暴露知識的形成過程，揭示其隱含的數學思想方法

在教學過程中，要注意知識的形成過程，特別是定理、性質、公式的推導過程，基本數學思想方法都是在這個過程中形成和發展的，數學基本技能也是在這個過程學習和發展的，數學的各種能力也是在這個過程中得到培養和鍛煉的，數學思想和數學觀念也是在這個過程中形成的.

2.通過范例和解題教學，綜合運用數學思想方法

一方面要通過解題和反思活動，從具體數學問題和范例中總結歸納解題方法，并提煉和抽象成數學思想;另一方面在解題過程中，充分發揮數學思想方法對發現解題途徑的定向、聯想和轉化功能，舉一反三，觸類旁通，以數學思想觀點為指導，靈活運用數學知識和方法分析問題、解決問題.

3.舉行專題講座，將數學思想方法系統化，提高對數學思想方法的駕馭能力

數學知識本身具有系統性，數學思想方法也具有系統性，對它的學習和滲透是一個循序漸進、螺旋上升的過程.在高中階段，可以有目的地開設數學思想方法的專題復習講座，以高中數學中常用的數學思想方法為主線，把中學數學中的基礎知識有機地串聯起來，進一步完善學生的認知結構，提高學生的數學能力.比如以函數思想為主線，它可以串聯代數、三角、解析幾何以及微積分初步的大部分知識:方程可以看作函數值為零的特例;不等式可以看作兩個函數值的大小比較;三角可以看作一類特殊的函數(三角函數);解幾的曲線方程可以看作隱函數，曲線可視為函數的圖形;微積分中的導數可作為研究函數性質的主要工具.

綜上所述，數學思想方法的教學，一定要處理好與數學知識教學的關系.數學思想方法是對數學事實，概念，理論，方法的本質認識，掌握和運用數學思想方法解決問題是數學能力的一種重要表現.通過數學思想方法的教學，調動了學生的學習積極性，激發了學生對數學學習的興趣，提高學生分析問題，解決問題的能力，提高學生的數學素養.

參考文獻

張奠宙，過伯祥.數學方法論稿[M].上海:上海教育出版社，1998.

(責任編輯 黃春香)