函數(shù)周期性與對(duì)稱性之間的關(guān)系初探及應(yīng)用

在高考和競賽中，經(jīng)常出現(xiàn)一些函數(shù)周期性與對(duì)稱性相結(jié)合的試題，初步研究函數(shù)周期性與對(duì)稱性之間的關(guān)系，歸納出如下性質(zhì).

【性質(zhì)1】若函數(shù)f(x)的圖象既關(guān)于直線x=a對(duì)稱，又關(guān)于直線x=b對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，且最小正周期為2|a-b|.

【性質(zhì)2】若函數(shù)f(x)的圖象既關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)(b，0)對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，且最小正周期為2|a-b|.

【性質(zhì)3】若函數(shù)f(x)的圖象既關(guān)于直線x=a對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)(b，0)對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，且最小正周期為4|a-b|.

下面對(duì)性質(zhì)3進(jìn)行證明.(性質(zhì)1、性質(zhì)2請(qǐng)讀者自行證明)

證明:由已知得f(2a-x)=f(x)，f(x)=-f(2b-x)，

所以f(2a-x)=-f(2b-x).

從而-f[2b-(2b-x)]=f[2a-(2b-x)]，

即f[2(a-b)+x]=-f(x)，

于是f[4(a-b)+x]=-f[2(a-b)+x]=f(x).

故f(x)是周期函數(shù)，且最小正周期為4|a-b|.

概括上述性質(zhì)及其證明，又可得到如下結(jié)論:

結(jié)論:設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=±f(a-x)，

f(b+x)=±f(b-x)(a，b不相等)，若兩式同取正號(hào)或同取負(fù)號(hào)，則f(x)是以2|a-b|為最小正周期的函數(shù);若兩式中一個(gè)取正號(hào)另一個(gè)取負(fù)號(hào)，則f(x)是以4|a-b|為最小正周期的函數(shù).

掌握了上述性質(zhì)，則可速解高考和競賽中一些與函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合的試題，舉例如下:

【例1】 (第二屆美國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)函數(shù)f(x)定義在R上且對(duì)一切實(shí)數(shù)x滿足f(2+x)=f(2-x)，f(7+x)=f(7-x)，設(shè)x=0是f(x)=0的一個(gè)根，記f(x)=0在[-1000，1000]中根的個(gè)數(shù)為N，求N的最小值.

解:由已知易知f(x)是以10為周期的函數(shù)，

又f(x)=f(4-x)=f[7-(x+3)]=f(7+x+3)=f(x+10)，

令x=0得f(4)=f(10)=0，

故f(x)=0在[-1000，1000]上至少有

1+200×2=401個(gè)根.

【例2】 (2009年全國卷)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x+1)與f(x-1)都為奇函數(shù)，則().

A.f(x)為偶函數(shù) B.f(x)為奇函數(shù)

C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)為奇函數(shù)

解:由已知得f(x)關(guān)于點(diǎn)(1，0)和(-1，0)對(duì)稱，

從而f(x)是以4為周期的函數(shù)，

所以f(x-1)=f(x+3).

故f(x+3)為奇函數(shù)，選D.

【例3】 已知f(x)是R上的偶函數(shù)，且f(2)=0，

g(x)是R上的奇函數(shù)，且對(duì)于x∈R都有g(shù)(x)=f(x-1)，則f(2010)的值為().

解:由已知得g(x)關(guān)于原點(diǎn)和直線x=1對(duì)稱，

從而g(x)是以4為周期的函數(shù)，

從而f(x)也是以4為周期的函數(shù)，

故f(2010)=f(4×502+2)=f(2)=0.

(責(zé)任編輯 金 鈴)