旋轉(zhuǎn)在解題中的妙用

圖形與變換是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》里的規(guī)定內(nèi)容，圖形的變換是平面幾何的重要組成部分，各種版本的新教材對(duì)該部分知識(shí)都給予了足夠的關(guān)注.

“圖形的平移、翻折與旋轉(zhuǎn)”組成了圖形變換的主要內(nèi)容.旋轉(zhuǎn)是幾何變換中的基本變換，旋轉(zhuǎn)的兩個(gè)基本要素是:旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.中心對(duì)稱是旋轉(zhuǎn)的特殊情況.

旋轉(zhuǎn)在解題中的作用是不可代替的，常常能巧妙地解決問題，但它也是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，本文舉例說明旋轉(zhuǎn)在解題中的妙用.

一、在分析旋轉(zhuǎn)變換中

【例1】 如圖1，△ABC和△CDE均為等邊三角形，且B、C、D在一條直線上，分析圖中哪兩個(gè)三角形可以通過怎樣的旋轉(zhuǎn)得到?

圖1

分析:由題意，可證得△ACD≌△BCE(SAS)，繼而可證得△BCM≌△ACN(ASA)，

還可證得△DCN≌△ECM(ASA).

所以，把△ACD按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到了△BCE;把△BCM按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到了△ACN;把△DCN按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到了△ECM.

二、在求角的度數(shù)上

【例2】 如圖2，正方形ABCD中有一點(diǎn)P，PA=a，PB=2a，PC=3a，求∠APB的度數(shù).

圖2

分析:已知條件PA、PB、PC的長是邊，所求的結(jié)論是角，由圖形不可直接得出結(jié)論.如果旋轉(zhuǎn)圖中的三角形，改變圖形的位置，利用特殊圖形，尋找解題思路.

可以把△ABP繞著點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得△CBQ，連接PQ，則△PBQ是等腰直角三角形，

∠PQB=45°，PQ=22a.

又因?yàn)樵凇鰿QP中，PC2=9a2

PQ2+CQ2=8a2+a2=9a2=PC2，

所以∠PQC=90°，那么∠BQC=135°.

因?yàn)椤鰽BP≌△CBQ，

所以∠APB=135°.

三、在求線段的長度上

【例3】 如圖3，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2，PB=23，PC=4，求△ABC的邊長.

圖3

分析:已知條件中三條線段PA、PB、PC不是一個(gè)

三角形的三條邊，條件不好直接用，如果把△BCP旋轉(zhuǎn)，可使

條件相對(duì)集中，構(gòu)成新的圖形，得出△ABC的邊長.

解:把△BCP繞著點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到

△ACD，則△PCD是等邊三角形，所以PD=4，

AD=PB=23.在△PAD中，PD2=AD2+AP2.

又根據(jù)等邊三角形得性質(zhì)可知，∠ADP=30°.

所以∠ADC=90°.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC=42+(23)2=27.

四、在判別大小關(guān)系上

【例4】 如圖4，P是等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，判斷PA與PB+PC的大小關(guān)系，并說明理由.

圖4

解:把△ABP按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ACD，

則△APD為等邊三角形，所以PD=PA，CD=PB，在△PCD中，PD

【練習(xí)】

1.如圖5，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知∠AOB=115°，∠BOC=125°，求以O(shè)A、OB、OC為邊構(gòu)成的三角形的各角的度數(shù).

圖5 圖6

2.如圖6，已知正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，OE⊥OF，分別交AB、BC于E、F.若AB=8，求四邊形OEBF的面積;若AE=6，CF=2，求EF的長.

3.如圖7，E是正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段CE的中點(diǎn)，求證:∠BAF=2∠DAE.

圖7 圖8

4.如圖8，已知△ABC中，∠ACB=90°，M為AB的中點(diǎn)，∠PMQ=90°，求證:PQ2=AP2+BQ2.

(責(zé)任編輯 金 鈴)