培養求簡意識 提高創新能力

簡化解答雖不是突破性的進展和創造，卻也是對已取得成果的改進和完善.對學生來說，則是一種對新學知識的靈活運用和高超駕馭基礎上的創新，從中體現出思維的批判性、深刻性、敏捷性、創造性和解題的藝術性.因此，培養求簡意識，不僅是正確、迅速解題的需要和保證，而且是優化思維品質，提高創新能力的有效途徑.所以，如何在數學教學中培養學生的求簡意識，提高學生的創新能力，就成為值得我們探索、研究的課題.本文結合教學實踐談點個人的心得，供大家參考.

一、觀察求簡

觀察就是“看”，任何方法和技巧的妙用都基于這“看”的功底的深淺.看在數學中主要表現為對各種式子結構特點的觀察，良好的觀察能力是數學題巧解、快解的關鍵.我們要善于從大處著眼看題型——抓住共性，選好思想方法，從小處著眼看特征——抓住個性，用好技能技巧.

【例1】 證明恒等式:121×3+223×5+…+n2(2n-1)(2n+1)=n2+n2(2n+1)(n∈N*).

分析:通常的看法是，因命題與自然數n有關，故考慮用數學歸納法，但這要用到配湊技巧，就是書寫也要分兩步，即使不難，寫也夠繁.若能善看，就不難看出上式不過是個數列的前n項之和，故可設數列{an}，an=n2(2n-1)(2n+1)，Sn=n2+n2(2n+1)(n∈N*)為其前n項之和，則由an+1=Sn+1-Sn可得.

二、猜想求簡

猜是似真推理，是創造發明的先導.“猜測在任何考試中都不可避免，各種題型都有猜的因素”，“如選擇題的功能教育之一，就是鼓勵猜測”，“并使人們看到猜測的無可替代的功效.”

【例2】 設a=log56，b=log78，c=log910，則().

A.a>b>cB.c>b>a

C.a>c>bD.b>c>a

分析:“一般化”.因為logn(n+1)>1(n≥2，n∈Z)，且當n越大時，logn(n+1)越接近于1.因此猜想n越大logn(n+1)越小，故答案為A.若是解答題，使用此法只能給零分，但對選擇題，這個解法是可取的，而且簡單.

三、配湊求簡

“一湊假設，二湊結論”是成功運用數學歸納法證題的關鍵.同樣，在解決許多問題時，也常常要“兩邊湊”.這是因為在思考過程中，既要結論成立所必需的各種條件，又需探求條件必然產生的各種結果，只有兩邊巧妙地“湊”，才能找到條件與結論之間的最佳聯系，從而獲得簡捷的解法，特別在應用某些公式解決問題時，“湊”更成為一項不可缺少的技巧和基本功.

【例3】 已知x<54，求y=4x-2+14x-5的最大值.

分析:因為4x-5<0，所以可對4x-2進行拆(添)項“配湊”.

四、回到定義求簡

定義、定理是對數學對象本質屬性的概括和內在規律的提示，只有深刻理解概念的本質和定理所提示的內在規律，才能靈活運用它來簡化解題過程，有的問題的求解雖然不依賴定義，但如能回到定義，則常能使問題獲得簡捷的解法.

【例4】 一直線被兩直線l1:2x+y+3=0和l2:2x-3y-6=0

截得的線段的中點恰好是坐標原點.求這條直線的方程.

分析:此題一般的解題思路是，先求出l分別與l1、l2的交點(用k1表示)，然后利用中點坐標公式求出k1，進而得到l的方程，然而運算量太大.如果我們對直線與方程的定義有深刻的理解，就會自覺地利用定義，并結合運用設而不求技巧來探求簡捷解法.

設l分別交l1、l2于點M、N，又設M的坐標為(x1，y1)，則有2x1+y1+3=0.①

又因為M、N關于O對稱，所以N點的坐標為(-x1，-y1)，則有-2x1+3y1-6=0.②

①×②+②，得2x1+5y1=0.

可見M(x1，y1)在l:2x+5y=0上，又此直線過原點，由兩點確定一直線知所求直線的方程為2x+5y=0.

五、整體處理求簡

有些問題，從表面上看需要局部求出各有關量，但實質上若從整體上去把握，處理這些量之間的關系，則思路更簡捷，解法更巧妙.

【例5】 若a∈R，求證:a8-a5+a2-a+1﹥0.

分析:對于高次不等式，用不等式的基本證法往往失效，若采用分解區間討論，顯然麻煩，如果注意到不等式左邊的多項式中字母次數的特點，令x=a4，整體處理，則問題變成證明二次三項式f(x)=x2-ax+(a2-a+1)之值.故原不等式易得證.

求簡意識孕育在平時的潛移默化的教學之中，只有教師不失時機地引導學生求簡，及時總結提煉，才能讓學生將問題想得簡捷，解得迅速.

(責任編輯 金 鈴)