混合分數布朗運動驅動的冪期權定價模型

摘 要 假設標的資產遵循由混合分數布朗運動驅動的隨機微分方程，建立了混合分數布朗運動環境下的金融數學模型.利用擬鞅方法，獲得了歐式冪期權定價公式的解析式及其平價公式.最后闡述了分數布朗運動只是混合布朗運動的一種特殊情形.

關鍵詞 混合分數布朗運動;冪期權;平價關系

中圖分類號 F830.9，O211.6 文獻標識碼:A

1 引 言

關于股票價格行為的數學描述最早要追述到Osborne的研究工作^[1]，他建議用正態隨機變量表示對數股票價格.隨后，布朗運動被廣泛應用于期權定價的研究.然而，實證研究表明股票市場具有自相似和長記憶等分性特征^[2]，這導致由布朗運動驅動的定價模型不符合真實的市場.分數布朗運動正好可以彌補這一缺陷.

近年來，一些學者開始研究混合分數布朗運動，即由兩個分數布朗運動組成的線性組合.關于這一類混合分數布朗運動的詳細討論見文獻[3-4].此外，Bender等人在文獻[5-6]中證明了這個過程在正則策略集中是無套利的，并說明歐式期權均存在這樣一個正則策略集將其進行套期保值.因此，市場在此策略集下是完全的.這也使得混合型分數布朗運動驅動下的金融市場更加具有實際意義.關于混合分數布朗運動的進一步問題及性質見文獻[5].

本文假定標的資產價格服從由該混合分數布朗運動驅動的隨機微分方程，基于風險中性等價鞅測度，推導了一類新型期權——n次冪期權的看漲、看跌定價公式及其平價公式.

2 混合分數BlackScholes市場

假設Ω，F，P為一給定的完備概率空間.設0

EBHtBHs=12t2H+s2H-t-s2H，t，s∈R+.

當H=12時，BHt即為標準布朗運動.

現考慮由混合分數布朗運動驅動的金融市場，主要研究歐式冪期權的定價問題.本文考慮一個特殊的混合分數布朗運動，即一個分數布朗運動BH與一個獨立的布朗運動W組成的線性組合

Xt=σBHt+εWt，t≥0，

其中σ，ε為常數.

假設金融市場中只有兩種資產——無風險資產(如債券)與風險資產(如股票)，其價格滿足

dMt=rMtdt，

dSt=μStdt+σStdBHt+εStdWt，

其中，Mt為無風險資產價格，r為無風險利率;St為風險資產價格，Ω，F，P，Ft是一個具有σ-代數流的概率空間，μ，σ分別為風險資產價格的預期收益率與波動率.∫n0StdBHt為WickIt型隨機積分，其定義及其性質見文獻[5-8].

引入新的等價鞅測度Q，滿足

dQdP=exp ∫TγdBH(s)+∫TtβdW(s)-12∫Ttγ2d(s)-∫Ttβ2d(s)，

其中γ=r-μσ，β=r-με.經 濟 數 學第 27 卷

第2期徐 峰等:混合分數布朗運動驅動的冪期權定價模型

在風險中性鞅測度Q下，利用分數It公式^[9]可得

ST=Stexp rT-t+σHT-Ht+

εT-t-12σ2T2H-t2H-12ε2T-t，(1)

其中，H(t)和(t)分別為空間Ω，F，Q下的分數布朗運動和布朗運動.

引理1^[9](分數型風險中性定價)進口任意有界Ft可測未定權益F∈L2Q，在任意時刻t∈0，T的價格為

Ft=e-rT-ttF，

其中，t#8226;表示風險中性概率測度Q下的擬條件數學期望.

引理2^[10]設函數f滿足EfBHT<

SymboleB@ ，則對于任意的0≤t≤T，

tfσBHT+εWT=∫R12πσ2T2H-t2H+ε2T-t#8226;exp -x-σBHt+εWt22σ2T2H-t2H+ε2T-tfxdx.(2)

3 冪期權定價

冪期權是一種重要新型期權，在T時刻，n次看漲冪期權的價值為SnT-K+;n次看跌冪期權的價值為K-SnT+，其中ST為T時刻標的資產價格，K為到期日期權的執行價格，n為正整數.

定理1 若無風險利率r為常數，則歐式未定權益FSnT在期滿前任意時刻t的價值為

e-rT-t∫RSntexp nrT-t-12nσ2T2H-t2H-12nε2T-t+

nσ2T2H-t2H+ε2T-tx12πe-x22dx .

證明 由式(1)可得

SnT=Sntexp nrT-t+nσBHT-BHt+nεWT-Wt-12nσ2T2H-t2H-12nε2T-t.

由引理1得

FSn(T)=e-rT-ttSn(T)，(3)

tSn(T)=t{Sntexp {nrT-t+nσBHT-BHt+nεWT-Wt-12nσ2T2H-t2H-12nε2T-t}}

=∫RSntexp {nr(T-t)+n[y-[σBH(t)+εW(t)]]

-12nσ2(T2H-t2H)-12nε2(T-t)}#8226;12πσ2T2H-t2H+ε2T-t

exp -y-σBHt+εWt22σ2T2H-t2H+ε2T-tfydy.

令y-σBHt+εWtσ2T2H-t2H+ε2T-t=x，則

tSn(T)=∫RSntexp nrT-t-12nσ2T2H-t2H-12nε2T-t+nσ2T2H-t2H+ε2T-tx12πe-x22dx，

將上式代入(3)式即得.

定理2 設r，σ為常數，則一敲定價格為K，到期日為T的歐式n次看漲冪期權在任意時刻t∈0，T的價格為

Ct，St=Sn(t)exp (n-1)r(T-t)+(n2-n)σ2(T2H-t2H)+(n2-n)ε2(T-t)2×Nnσ2(T2H-t2H)+ε2(T-t)-d1+e-rT-tKN-d1，

其中，d1=ln K/Sn(t)-nr(T-t)+12nσ2T2H-t2H+12nε2T-tnσ2(T2H-t2H)+ε2(T-t)，

Nx=12π∫x-

SymboleB@ e-t22dt

為標準正態分布函數.

證明Ct，St=te-r(T-t)SnT-K+

=e-rT-tt{Sn(t)exp{ nr(T-t)

+nσ[BH(T)-BH(t)]+nε[W(T)-W(t)]

-12nσ2(T2H-t2H)-12nε2(T-t)}-K}+

=e-rT-t∫RSntexp nrT-t-12nσ2T2H-t2H-12nε2T-t

+nσ2T2H-t2H+ε2T-tx12πe-x22dx-e-rT-t∫RK12πe-x22dx

=C1-C2，

其中，R=x:Sn(T)≥K=x:x≥d1，

C1=e-r(T-t)∫RSntexp nrT-t-12nσ2T2H-t2H-12nε2T-t+nσ2T2H-t2H+ε2T-tx12πe-x22dx，

C2=e-rT-t∫RK12πe-x22dx.

又因為

C1=e(n-1)r(T-t)Sn(t)∫Rexp (n2-n)σ2(T2H-t2H)+(n2-n)ε2(T-t)2×12πexp -x-nσ2(T2H-t2H)+ε2(T-t)22dx

=Sn(t)exp (n-1)r(T-t)+(n2-n)σ2(T2H-t2H)+(n2-n)ε2(T-t)2×Nnσ2(T2H-t2H)+ε2(T-t)-d1.

同理C2=e-rT-tKN-d1.所以

Ct，St=Sn(t)exp (n-1)r(T-t)+(n2-n)σ2(T2H-t2H)+(n2-n)ε2(T-t)2×Nnσ2(T2H-t2H)+ε2(T-t)-d1-e-rT-tKN-d1.

注 該定價公式對文獻[10-12]中的結論進行了推廣，當n=1時，即為文獻[10]的結論;當ε=0時，即為文獻[11-12]的結論.

定理3設r，σ為常數，則一敲定價格為K，到期日為T的歐式n次看跌冪期權在任意時刻t∈0，T的價格為

Pt，St=e-rT-tKNd1-Sn(t)exp (n-1)r(T-t)

+(n2-n)σ2(T2H-t2H)+(n2-n)ε2(T-t)2]

×Nd1-nσ2(T2H-t2H)+ε2(T-t).

證明 可類似定理2得到.

定理4 歐式n次冪期權的看漲-看跌平價公式為

Ct，St+Ke-r(T-t)=Pt，St+Sn(t)exp (n-1)r(T-t)

+(n2-n)σ2(T2H-t2H)+(n2-n)ε2(T-t)2].

證明 由定理2、定理3可得.

由此可見，標的資產價格服從分數布朗運動的定價公式實質上是標的資產價格服從混合分數布朗運動的定價公式的一種特例.在該模型下，期權的價格不僅與資產價格S，時刻T和t有關，而且由于股票價格的變化具有長相關性，因此期權的價格還與Hurst參數H和ε有關.

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Model of Power Option Pricing Driven by Mixed Fractional Brownian Motion



XU Feng1，2，ZHENG Shiqiu3

(1. College of Sciences ， China University of Mining and Technology ， Jiangsu Xuzhou 221008;

2. Business Department ， Suzhou Vocational University ， Jiangsu Suzhou 215104;

3. College of Science， Hebei Polytechnic University， Hebei Tangshan 063009)

Abstract Assuming that the underlying asset obeys the stochastic differential equation driven by mixed fractional Brownian motion，we established the mathematical model for the financial market in mixed fractional Brownian motion setting.Using quasimartingale method，we obtainedthe explicit expression for the European Power option price and the callput parity. Finally，we point out that fractional Brownian motion is an especial case of mixed fractional Brownian motion.

Keywordsmixed fractional Brownian motion; power option; putcall parity