產品差異化\\競爭類型與合謀穩定性分析

摘 要 在分析產品差異化的問題上引入合謀成本，修正了以往認為古諾競爭比伯川德競爭的合謀更容易維持的認識，得出在合謀成本的臨界值之上，伯川德競爭比古諾競爭的合謀更容易維持的結論，這為經濟參與者和決策制定者分析合謀問題提供一個更加全面的視角.

關鍵詞 產品差異化;古諾競爭;伯川德競爭;合謀穩定性

中圖分類號 F270文獻標識碼:A

1 引 言

盡管各國的反壟斷法明確規定禁止廠商的合謀行為，但現實中仍有各式各樣的合謀行為.促成合謀的因素很多，如競爭者的數量、市場份額的對稱性、進入壁壘、頻繁的交互作用、市場的透明度、需求的增長、商業周期和需求波動、產品差異化程度等等.本文所討論的問題和這些議題屬于最后一種，即產品差異化與合謀穩定性的問題.

合謀的穩定性也一直是一個令人感興趣的現象和問題，近年來很多文獻都關注卡特爾穩定性問題.其中，最著名的是Friedman(1971)^[1]，其最主要的貢獻是提出一個觸發策略的報復行為思想，即如果發生背離合謀協定的行為，被欺騙的合謀一方將滯后一階段無期限的以不合作作為回應，因此，潛在的背離者必須比較短期利益和永久性懲罰的損失.如果折現率足夠的低，那么背離就將被阻止.關于產品差異化的合謀穩定性的研究文獻很多.這類文獻主要集中在差異化對背離動機的效應.如Ross(1992)^[2]，其認為當企業在價格上競爭，隨著產品同質性程度的增加，卡特爾穩定性的可能性剛開始遞減，但是隨后遞增.另外一個方面涉及比較差異化寡頭壟斷中威脅策略的有效性，如Deneckere(1983)^[3]，其認為企業除了運用價格作為首要的策略性變量之外，也可能會調整產出，當產品是完全替代品時，合謀在價格環境博弈中比數量博弈中更可能發生;而當替代性較低時情況則相反.Majerus(1988)^[4]把這個分析延伸到自然寡頭壟斷中，并且證明當超過兩個企業時，古諾寡頭壟斷比伯川德寡頭壟斷更容易維持合謀.Wernerfelt(1989)^[5]和sterdal (2003)^[6]則延伸差異化產品的古諾雙寡頭壟斷的合謀分析Abreu(1986)^[7]的最優懲罰行為，Collie David(2006)^[8]分析了線性邊際成本下的古諾和伯川德雙寡頭壟斷的穩定性問題，其認為如果邊際成本在產出是遞增的，對于任意程度的產品替代性，古諾型的雙寡頭壟斷比伯川德型的雙寡頭壟斷更容易維持合謀.

這些文獻都集中在產品差異化程度與合謀的穩定性分析，而在涉及合謀成本的合謀穩定性的分析則較少.現實經濟和大量的研究表明，企業之間的合謀所涉及的合謀成本是非常大的，這種合謀成本集中在協調合謀結果的成本、建立維持合謀的社會和制度結果的成本、監督企業行為的成本、收集信息的成本以及來自被檢舉的風險的成本等等.如一些合謀研究發現協調性的合謀要求面對面的會議，這需要花費財力、時間、努力等，因為這些會議是非法的，又面臨被檢舉的風險.如Connor(2001)^[9]討論了在檸檬酸市場上建立公開合謀的困難.

本文通過在產品差異化市場的合謀行為中引入合謀成本，并比較了無合謀成本和有合謀成本對產品差異化的不同競爭類型的合謀穩定性的影響，修正了以往不考慮合謀成本情況下對合謀穩定性的認識，并得出一些有效的結論.

經 濟 數 學第 27 卷

第2期何慧爽:產品差異化、競爭類型與合謀穩定性分析

2 基本模型

本文所采納的代表性消費者模型的效用函數來自Dixit(1979)^[10]、SinghVives (1984)^[11]、Ross(1992)^[2]，個體直接從兩種替代品的消費中得到效用，兩種商品各自為q1和q2，消費者效用為U=aq1+aq2-12(q21+2bq1q2+q22)，則對商品i的逆需求函數為

pi=Ui=a-qi-bqj(i≠j)，(1)

其中，b∈(0，1]測度了商品1和商品2之間的替代性，當b為0時，兩種商品互不相關，當b為1時，兩種商品具有完全的替代性(兩種商品互為同質品)，即兩種產品之間的差異化程度隨著b的增大而減小.假定每個企業面臨著相同的生產成本，C=f+cqi，不失一般性，設f=0.因此，企業i的利潤函數為

πi=(pi-c)qi.(2)

3 無合謀成本的合謀行為

兩企業合謀的博弈階段可以無限重復.兩企業在面臨相同的貼現因子ρ下最大化各自利潤，按照Friedman(1971)^[1]，聯合利潤最大化上的合謀可以通過用納什觸發策略的報復得以維持，并形成子博弈完美均衡.納什觸發策略即如果任何一個參與者偏離合作路徑，那么其他參與人將永遠放棄合謀利益，即轉向靜態均衡策略來懲罰背叛者.如果來自合謀的利潤(用πC表示)的折現值大于來自背離合謀所得到的利潤(用πD表示)以及以后的納什均衡利潤(用πN來表示)的折現值，聯合利潤最大化的合謀行為就是可維持的.

即πC1-ρ≥πD+ρπN1-ρ，由此可得出只有在ρ≥ρ*≡πD-πCπD-πN(ρ*為維持合謀的臨界貼現因子，所需要的ρ越小，合謀越是穩定的)下，合謀才是可維持的，同時需要滿足:πD>πC>πN.

在古諾競爭下，單階段非合作的納什均衡經計算為:

qNiC=a-c2+b， pNiC=a+bc+c2+b， πNiC=(a-c2+b)2.

下標iC表示企業i在古諾競爭下的均衡，下同.(3)

當兩個企業合謀時，兩個企業作為一個壟斷者從而最大化產業利潤πC=πCi+πCj，可得

qCiC=a-c2+2b， pCiC=a+ab+bc+c2+2b， πCiC=(a-c)24(1+b) .(4)

在企業i背叛的情況下，企業j仍堅持合謀行為時，把qCj=a-c2+2b代入可以求出企業i背叛合謀的產出為

qDiC=(a-c)(2+b)4(1+b)， pDiC=2a+ab+2c+3bc4(1+b)， πDiC=(a-c)2(2+b)216(1+b)2.(5)

由ρ*≡πD-πCπD-πN可得出古諾競爭下的臨界折現因子為

ρ*C=4+4b+b28+8b+b2>12.ρ*Cb>0，

因此臨界折現因子在產品的替代程度上是遞增的.

其次，考慮伯川德雙寡頭壟斷情況，單階段非合作博弈的伯川德納什均衡價格和利潤為

qNiB=a-c(1+b)(2-b)， pNiB=a-ab+c2-b， πNiB=(a-c)2(1-b)(1+b)(2-b)2下標iB表示企業i在伯川德競爭下的均衡，下同..(6)

合謀下解出關于價格的聯合利潤最大化可得出

qCiB=a-c2(1+b)， pCiB=a+c2， πCiB=(a-c)24(1+b).(7)

若企業i背離合謀，把pCjB=a+c2代入企業i的利潤函數，企業i均衡價格和利潤為

qDiB=(a-c)(2-b)4(1-b2)， pDiB=2a-ab+bc+2c4， πDiB=(a-c)2(2-b)216(1-b2).(8)

當內部解有效時，競爭者j的產出qj=(a-c)(2-2b-b2)4(1-b2)(b<3-1，即b<0.732 05)必須是非負的，否則就存在角點解.當qj≤0(b≥3-1，即b≥0.732 05)時，存在角點解，企業i所能獲得角點解的最高價格和利潤為

qDDiB=a-c2b， pDDiB=2ab-a+c2b， πDDiB=(a-c)2(2b-1)4b2.(9)

故伯川德情況下的折現因子可寫為

當b<0.73205時， ρ*B=b4-4b3+4b2b4-8b3+8b2>12， ρ*Bb>0.

合謀的穩定性隨著產品替代性的增強而減少.

當b≥0.732 05時，ρ**B=b4-3b3-b2+8b-42b4-3b3-b2+8b-4>12，當0.732 05≤b<0.774 85

具體數值用Mathematica算出，下同.時，ρ**Bb>0，合謀的穩定性隨著產品替代性的增強而減少，

當0.77485

當b<0.732 05時， ρ*C-ρ*B=-8b5(8+8b+b2)(b4-8b3+8b2)<0，

當b≥0.732 05時， ρ*C-ρ**B=b6+12b4+16b3-28b2-16b+16(8+8b+b2)(2b4-3b3-b2+8b-4)，

圖1 不同競爭類型下的臨界折現值可求出，當b≤0.961 55時，ρ*C≤ρ**B，當b>0.961 55時，ρ*C>ρ**B.由此可得出如下結論:

推論1 古諾數量競爭和伯川德價格競爭的雙寡頭壟斷合謀穩定性所需要的最低折現值都大于1/2，當b∈(0，0.961 55]時，古諾雙寡頭壟斷比伯川德競爭下的雙寡頭壟斷更容易達成合謀的穩定.而當b∈(0.961 55，1]時，伯川德雙寡頭壟斷比古諾雙寡頭壟斷更容易達成合謀的穩定，如圖1所示.

由圖1可以看出，對于較高程度的差異化，古諾競爭類型的合謀穩定性更容易維持;而對于較低程度的差異化，伯川德競爭類型的合謀穩定性更容易維持.這和很多文獻中相關分析的結論是一致的.

4 存在合謀成本的合謀行為

上面的分析假設企業合謀不需要任何合謀成本，在實際經濟中，企業為維持合謀，總是需要付出各種各樣的成本，這一部分集中考慮合謀成本的存在對不同競爭類型的產品差異化合謀穩定性的影響.

現在假定合謀的發生需要支付成本(合謀成本用T來表示)，在合謀的每一階段的利潤變為πC-T( Raphael Thomadsen Ki-Eun Rhee(2007)^[12])

這樣設置在某種程度上是合理的，很多學者也認為，一旦確定了合謀，就需要頻繁的交流和會議去協調每個階段的行為.因為這些會議是非法的，又面臨被檢舉的風險，這需要每階段支付成本，如Raphael Thomadsen KiEun Rhee(2007).，為了保證合謀是可維持的，需要滿足的條件為

πC-T1-ρ≥πD+ρπN1-ρ，

即ρ≥ρ*T=πD-πC+TπD-πN下企業才有合謀的動機.

根據ρ*T=πD-πC+TπD-πN，可求出在古諾競爭下

ρ*TC=(a-c)2(4b2+4b3+b4)+(64+192b+208b2+96b3+16b4)T(a-c)2(b4+8b3+8b2) .(10)

在伯川德競爭下:當b∈(0，0.73205)時

ρ*TB=(a-c)2(4b2-4b3+b4)+(64-64b-48b2+64b3-16b4)T(a-c)2(b4-8b3+8b2). (11)

當b∈[0.73205，1]時

ρ**TB=(a-c)2(b4-3b3-b2+8b-4)+(4b5-12b4+16b2)T(a-c)2(2b4-3b3-b2+8b-4) .(12)

由式(10)~(12)可得出推論2.

推論2 無論b取何值，在古諾競爭類型和伯川德競爭類型下，若要保證合謀是可能的，古諾競爭類型下所允許的最大合謀成本TC.max 總是小于伯川德競爭類型下所允許的最大合謀成本TB.max .

證明 在古諾競爭下， 0<ρ*TC<1，則所允許的默契合謀成本

TC

同樣在伯川德競爭下，當b∈(0，0.732 05)， TB

當b∈[0.732 05，1]， TB

又因為當b∈(0，0.732 05)時，

TC.max -TB.max =-512b3(1+b-b2-b3)(64+192b+208b2+96b3+16b4)(64-64b-48b2+64b3-16b4)<0.

當b∈[0.73205，1]時，

TC.max -TB.max =-128b5(1+b)2(64+192b+208b2+96b3+16b4)(4b5-12b4+16b2)<0.

因此，無論b取何值，總會有TC.max 

相對于古諾競爭，企業在伯川德競爭下合謀所獲得的收益更大，因此伯川德競爭下所允許的最大合謀成本總是大于古諾競爭下所允許的最大合謀成本.

同樣，由式(10)~(12)可得出:當b∈(0，0.732 05)時

ρ*TC-ρ*TB=(a-c)2(-8b7)+32b3(32+32b-24b2-24b3+b4+b5)T(a-c)2(b4+8b3+8b2)(b4-8b3+8b2).(13)

當b∈[0.732 05，1]時，

ρ*TC-ρ**TB=(a-c)2(b8+12b6+16b5-28b4-16b3+16b2)(a-c)2(2b4-3b3-b2+8b-4)(b4+8b3+8b2)

+(-4b9+12b8+208b7+192b6-336b5-80b4+896b3+640b2-256b-256)T(a-c)2(2b4-3b3-b2+8b-4)(b4+8b3+8b2).(14)

推論3 當00.002 13(a-c)2，ρ*TC>ρ*TB.當0.732 050.00244(a-c)2，ρ*TC>ρ**TB，如圖2a和圖2b所示.

證明 ①若要ρ*TC-ρ*TB>0，只須T>f(b)=(a-c)2b44(32+32b-24b2-24b3+b4+b5)，

因為f(b)b=(a-c)2b3 (128 +96 b-48 b2-24 b3- b5)4(32+32b-24b2-24b3+b4+b5)2>0，故只要T>f(0.732 05)=0.002 13(a-c)2，則ρ*TC>ρ*TB.

②若要ρ*TC-ρ**TB>0，只須

T>g(b)=(a-c)2(b8+12b6+16b5-28b4-16b3+16b2)4b9-12b8-208b7-192b6+336b5+80b4-896b3-640b2+256b+256，

當b∈[0.732 05，0.780 57)時，g(b)b>0，當b∈(0.780 57，1]時，g(b)b<0，故只要T>g(0.780 57)=0.002 44(a-c)2，則ρ*TC-ρ**TB>0，證畢.

從圖2(a)和圖2(b)可以看出，在引入合謀成本之后，不同競爭類型的合謀穩定性變得更

(a) b∈(0，0.73205)

(b)b∈[0.73205，1]

圖2 存在默契合謀成本的臨界值比較

加復雜.從圖2中可以看出，如果合謀成本足夠的低，當0

5 結 語

在合謀問題上引入合謀成本，這是比較符合現實的假設.在無合謀成本的情況下，古諾競爭類型更容易維持，而當存在合謀成本時，在較低合謀成本的情況下，古諾競爭類型和伯川德競爭類型的合謀穩定性則難以比較，一旦合謀成本超過臨界值，無論差異化程度為多少，古諾競爭類型比伯川德競爭類型的合謀穩定性更難維持.這也從某個角度說明傳統的認為古諾競爭類型的合謀比伯川德競爭類型合謀行為更容易維持的結論并不普遍成立.這為合謀參與者和決策制定者分析和辨別合謀問題提供了一個更加全面的視角.

本文分析的結論也適用于產品自身交叉價格彈性不為1情況，在本文分析中，假設合謀成本對所有的差異化水平上是個常數，這可能有所失真.比如，協調成本可能隨著差異化水平的增加而增加，因為如果企業之間所生產的產品越具有差異化，企業之間不對稱性越強，越難以監測價格或者辨別背離行為，也增加了協調成本，而內生化這些成本超出了本文的范圍，也為本文的進一步研究提出了思考的方向.

參考文獻

[1] Friedman，J.A noncooperative equilibrium for supergames[J].Review of Economic Studies， 1971，38:1-12.

[2] ROSS T W.Cartel stability and product differentiation[J].International Journal of Industrial Organization，1992，10:1-13.

[3] DENECKERE R.Duopoly supergames with product differentiation[J].Economics Letters，1983， 11:81-93.

[4] MAJERUS D W.Price vs.quantity competition in oligopoly supergames[J].Economics Letters， 1999，27:293-297.

[5] WEMERFELT B.Tacit collusiton in differentiated Cournot games[J]. Economics Letters，1989， 29:303-306.

[6] STERDAL L P.A note on the stability of collusion in differentiated oligopolies[J].Research in Economics，2003，57:53-64.

[7] ABREU D.External equilibria of oligopolistic supergames[J].Journal of Economic Theory，1986， 39:191-223.

[8] COLLIEDAVID R. Collusion in Differentiated Duopolies with Quadratic Costs[J]. Bulletin of Economic Research， 2006，58(2):151-159.

[9] Connor J M.Global Price Fixing:Our Customers Are the Enemy[M].Boston， MA:Kluwer Academic Pubilishers，2001.

[10]DIXIT A.A model of duopoly suggesting a theory of entry barriers [J].Bell Journal of Economics，1979， 10:20-32.

[11]SIGNH N， VIVESX. Price and quantity competition in a differentiated duopoly[J].Rand Journal of Economics， 1984，(15):46-554.

[12]Raphael Thomadsen， KiEun Rhee. Costly Collusion in Differentiated Industries[J]. Marketing Science，2007，26，(5):660–665.

Product Differentiation， Competition Type

and the Stability of Collusion



HE Huishuang

(Zhongnan University of Economics and Law， College of Industry and Management，

Wuhan in Hubei 430064，China)

Abstract This paper analyzesd the issue of product differentiation with the cost of collusion.The analysis shows thatthe past knowledgethat the collusion is easier to maintain in Cournot competition thanin Bertrand competition should be modified as follows: when the collusion cost is above some critical value，the collusion is easier to maintain in Bertrand competition than in Cournot competition，which provides a more comprehensive perspective for the economic analysis of collusion participants and decision makers.

Keywords Product differentiation; Cournot competition; Bertrand competition;Stability of Collusion