修理工可休假的n中取相鄰n-1好的可修系統

摘 要 研究了修理工具有多重休假的n中取相鄰n-1好的可修系統，假定部件壽命服從指數分布，修理工修理時間和休假時間均服從一般連續型分布，通過使用補充變量法和廣義馬爾可夫過程理論，得到了系統和修理設備的一些可靠性指標.

關鍵詞 補充變量法;多重休假;可用度;可靠度

中圖分類號 O213.2文獻標識碼:A

1 引 言

相鄰koutofn:G系統是指由n個部件按線型或環型組成的系統正常當且僅當系統至少有連續k個部件正常，該系統近年來已經成為國內外可靠性數學研究中比較熱門的模型之一，它在集成電路設計、衛星中繼通訊系統等工程領域都有著廣泛的應用.在部件的工作時間與修理時間均服從指數分布時， Zhang等^[1]和Wu等^[2]得到了相鄰koutofn:G系統的可用度和MTTFF等可靠性指標.對于相鄰n1outofn:G系統這樣一種特殊情形，張元林等^[3]在假設部件兩狀態、部件的失效和修理時間均為指數分布的情況下，首先討論了該系統的可靠性指標;后來，宋月等^[4]在假設部件具有三狀態的條件下，分析了系統的相關可靠性指標;最近，王旭艷等^[5]在假設部件不可“修復如新”的情形下，研究了該系統的可靠性指標.在上面的文獻中，作者們一般假定當部件故障后立刻開始修理，但在實際問題中，由于某些原因，比如修理工不在現場，修理工正忙于其他的事情等，導致部件不能立即修理，因此，研究可休假系統具有重要的應用價值.近幾年，有學者研究了修理工具有休假的可修系統，如劉仁彬等^[6]研究了具有多重休假的n部件串聯系統，梁小林等^[7]研究了修理工帶休假的n中取k(G)冷備可修系統.但在相鄰koutofn:G系統中，有關修理工可休假的文章，則還未見過.

針對以上情況，本文討論了部件壽命服從指數分布，修理工具有多重休假且修理時間和休假時間都服從一般分布的相鄰n1outofn:G可修系統.利用補充變量方法和拉普拉斯變換工具，對此系統進行了可靠性分析，并得到了一些重要的可靠性指標.2 模型假設

1)n中取相鄰n-1好的線型系統定義為:系統正常當且僅當系統至少有連續n-1個部件正常工作.系統中只有一個修理工，n個部件為同型部件.

2)第i個部件的工作時間Xi服從參數為λ的指數分布，i=1，2，3，…，n.任何部件的修理時間Y為一般連續型分布，生存函數為(t).

(t)=1-∫t0g(x)dx=exp (-∫t0b(x)dx)，∫

SymboleB@ 0tg(t)dt=1b.

3)假定系統中n個部件開始工作時，修理工開始休假，休假時間為一般連續型分布，各次休假時間相互獨立且服從相同的分布，其生存函數為(t).(t)=1-∫t0h(x)dx=exp (-∫t0c(x)dx)，∫

SymboleB@ 0th(t)dt=1c.

修理工結束休假后，如果部件均正常，則修理工再次休假，若有部件故障，則立即修理故障部件.故障部件修復后，如果部件全部處于工作狀態，修理工馬上休假，否則繼續修理.

4)故障部件能修復如新且服從先壞先修的原則，另外，當系統失效時，系統是關閉的，即沒有失效的部件將不再失效.

5)在t=0時，假定部件全部為新，修理工開始休假.

6)工作時間、修理時間與休假時間均相互獨立.

3 模型分析

系統狀態定義為

0:t時刻部件全部工作，系統正常，修理工休假;

1:t時刻一部件故障，系統正常，修理工休假;

2:t時刻一部件故障，系統正常，修理工修理故障部件;

3:t時刻一部件故障，系統故障，修理工休假;

4:t時刻一部件故障，系統故障，修理工修理故障部件;

5:t時刻二部件故障，系統故障，修理工休假;

6:t時刻二部件故障，系統故障，修理工修理故障部件.

令S(t)表示系統在時刻t所處的狀態，則{S(t)，t≥0}是取值于狀態空間J={0，1，…，6}的隨機過程，由于休假時間與修理時間都是一般分布，故{S(t)，t≥0}不是Markov過程，現引入補充變量:經 濟 數 學第 27 卷

第2期梁小林等:修理工可休假的n中取相鄰n-1好的可修系統

X(t):表示時刻t修理工已用去的休假時間;Y(t):表示時刻t修理工已用去的修理時間.

于是，{S(t)，X(t)，Y(t)}構成一個向量Markov過程^[8].狀態概率定義為

Pi(t，x)dx=P{S(t)=i，x≤X(t)

Pj(t，y)dy=P{S(t)=j，y≤Y(t)

根據模型假設可得系統狀態概率微分方程組為:

P0(t，x)t+P0(t，x)x=-[nλ+c(x)]P0(t，x); (1)

P1(t，x)t+P1(t，x)x=-[(n-1)λ+c(x)]P1(t，x)+2λP0(t，x) .(2)

P2(t，y)t+P2(t，y)y=-[(n-1)λ+b(y)]P2(t，y).(3)

P3(t，x)t+P3(t，x)x=-c(x)P3(t，x)+(n-2)λP0(t，x);(4)

P4(t，y)t+P4(t，y)y=-b(y)P4(t，y) ;(5)

P5(t，x)t+P5(t，x)x=-c(x)P5(t，x)+(n-1)λP1(t，x);(6)

P6(t，y)t+P6(t，y)y=-b(y)P6(t，y)+(n-1)λP2(t，y). (7)

邊界條件為

P0(t，0)=∫

SymboleB@ 0c(x)P0(t，x)dx+∫

SymboleB@ 0b(y)P2(t，y)dy+∫

SymboleB@ 0b(y)P4(t，y)dy+δ(t); (8)

P1(t，0)=0; (9)

P2(t，0)=∫

SymboleB@ 0c(x)P1(t，x)dx+∫

SymboleB@ 01n-1b(y)P6(t，y)dy;(10)

P3(t，0)=0;(11)

P4(t，0)=∫

SymboleB@ 0c(x)P3(t，x)dx+∫

SymboleB@ 0n-2n-1b(y)P6(t，y)dy;(12)

P5(t，0)=0;(13)

P6(t，0)=∫

SymboleB@ 0c(x)P5(t，x)dx.(14)

初始條件為 P0(0，x)=δ(x)=

SymboleB@ ，x=0，0，x>0，其余均為零.

記 h*(s)=∫

SymboleB@ 0c(x)(x)e-sxdx=∫

SymboleB@ 0h(x)e-sxdx，*(s)=∫

SymboleB@ 0(x)e-sxdx，

g*(s)=∫

SymboleB@ 0b(x)(y)e-sydy=∫

SymboleB@ 0g(y)e-sydy，*(s)=∫

SymboleB@ 0(y)e-sydy.

引理1系統狀態概率方程組(1)—(14)解的Laplace變換式為

P*0(s，x)=P*0(s，0)e-(nλ+s)x(x);

P*1(s，x)=2P*0(s，0)e-((n-1)λ+s)x(1-e-λx)(x) ;

P*2(s，y)=2P*0(s，0)[n(n-1)h*2(s)+(h*1(s)-nh*2(s))g*(s)]e-((n-1)λ+s)y(y)n[n-1-g*1(s)];

P*3(s，x)=n-2nP*0(s，0)(1-e-nλx)e-sx(x) ;

P*4(s，y)=(n-2)P*0(s，0)[h*1(s)(n-1-g*1(s))+2ng*1(s)h*2(s)

+2(h*1(s)-nh*2(s))g*(s)]e-xy(y){n[n-1-g*1(S)]}-1;

P*5(s，x)=2P*0(s，0)[1n-e-(n-1)λx+n-1ne-nλx]e-sx(x)

P*6(s，y)=2P*0(s，0){(n-1)h*1(s)+(h*1(s)-nh*2(s))(g*(s)-g*1(s))-[n(n-1)h*2(s)

+(h*1(s)-nh*2(s))g*(s)]e-(n-1)λy}e-sy(y){n[n-1-g*1(s)]}-1.

其中P*0(s，0)={n(n-1-g*1(s))(1-h*(s))+[n(n-1-g*1(s))h*1(s)+2n(n-1)g*1(s)h*2(s)]

+2(n-1)(h*1(s)-nh*2(s))g*(s)](1-g*(s))}-1#8226;n[n-1-g*1(s)];

g*1(s)=g*(s)-g*[(n-1)λ+s]，h*1(s)=h*(s)-h*(nλ+s)

h*2(s)=h*[(n-1)λ+s]-h*(nλ+s).

證明通過對式(1)~(14)關于t取Laplace變換，解相應的微分方程并結合初始條件和邊界條件可得結論成立.

4 系統的可靠性指標

根據第3節系統概率方程組的分析，容易得到以下系統的一些可靠性指標.

定理1 系統在時刻t瞬時可用度、修理工處于休假狀態的概率的Laplace的變換式分別為

(i)A*(s)=P*0(s，0){2*[(n-1)λ+s]-*(nλ+s)}

+P*0(s，0)2[n(n-1)h2(s)+(h1(s)-nh2(s))g*(s)]*((n-1)λ+s)n[n-1-g1(s)].

(ii)P*(s)=P*0(s，0)*(s) .

證明(i)根據前面的系統假定和分析，該系統在時刻t的瞬時可用度的表達式為

A(t)=∑1i=0∫

SymboleB@ 0Pi(t，x)dx+∫

SymboleB@ 0P2(t，y)dy.

對上述表達式關于t取Laplace變換，利用第3節中引理1的結論直接計算可得表達式:

A*(s)=∫

SymboleB@ 0P*0(s，0)e-(nλ+s)x(x)dx+∫

SymboleB@ 02P*0(s，0)(1-e-λx)e-[(n-1)λ+s]x(x)dx

+∫

SymboleB@ 02P*0(s，0)[n(n-1)h2(s)+(h1(s)-nh2(s))g*(s)]e-((n-1)λ+s)y(y)n[n-1-g1(s)]dy

由此容易推出結論(i)成立.

(ii)根據系統假定，修理工在時刻t處于休假狀態的概率為

P(t)=∑1i=0∫

SymboleB@ 0Pi(t，x)dx+∫

SymboleB@ 0P3(t，x)dx+∫

SymboleB@ 0P5(t，x)dx.

對上述表達式關于t取Laplace變換，直接計算可得P*(s)=∫

SymboleB@ 0P*0(s，0)e-(nλ+s)x(x)dx+∫

SymboleB@ 02P*0(s，0)(1-e-λx)e-[(n-1)λ+s]x(x)dx

+∫

SymboleB@ 0n-2nP*0(s，0)(1-e-nλx)e-sx(x)dx

+∫

SymboleB@ 02P*0(s)[1n+n-1ne-nλx-e-(n-1)λx]e-sx(x)dx.

由此可推出結論(ii)成立.

定理2系統在穩態下的可用度、修理工處于休假狀態的概率為

(i)A=n(1-h*(nλ))+[1-2nh*((n-1)λ)+(2n-1)h*(nλ)]g*((n-1)λ)nλ[n-2+g*((n-1)λ)]c+[(n2-2)(1-h*(nλ))+h3(λ)]b ;

(ii)P=n[n-2+g*((n-1)λ)]c{n[n-2+g*((n-1)λ)]c+[(n2-2)(1-h*(nλ))+h3(λ)]b}，

其中，h3(λ)=n[1-2(n-1)h*((n-1)λ)+(2n-3)h*(nλ)]g*((n-1)λ).

證明 由A=lim s→0sA*(s)，P=lim s→0sP*(s)，注意到lim s→0sP*0(s，0)= n[n-2+g*((n-1)λ)]n[n-2+g*((n-1)λ)]c+[(n2-2)(1-h*(nλ))+h3(λ)]b，并利用*(s)=1-h*(s)s，*(s)=1-g*(s)s，可得結論成立.

為了求得系統的可靠度，令故障狀態3，4，5，6為系統的吸收狀態，則系統構成了一個新的廣義Markov過程{(t)，(t)，(t)}，狀態概率定義為

Qi(t，x)dx=P{(t)=i，x≤(t)

Qj(t，y)dy=P{(t)=j，y≤(t)

類似于第3節的方法，可得系統狀態概率微積分方程組:

Q0(t，x)t+Q0(t，x)x=-[nλ+c(x)]Q0(t，x); (15)

Q1(t，x)t+Q1(t，x)x=-[(n-1)λ+c(x)]Q1(t，x)+2λQ0(t，x); (16)

Q2(t，y)t+Q2(t，y)y=-[(n-1)λ+b(y)]Q2(t，y). (17)

邊界條件為

Q0(t，0)=∫

SymboleB@ 0c(x)Q0(t，x)dx+∫

SymboleB@ 0b(y)Q2(t，y)dy+δ(t);(18)

Q1(t，0)=0;(19)

Q2(t，0)=∫

SymboleB@ 0c(x)Q1(t，x)dx. (20)

初始條件為Q0(0，x)=δ(x)=

SymboleB@ ，x=0，

0，x>0，其余均為零.

引理2系統狀態概率方程組解的Laplace變換式為

Q*0(s，x)=Q*0(s，0)e-(nλ+s)x(x);

Q*1(s，x)=2Q*0(s，0)e-((n-1)λ+s)x(1-e-λx)(x) ;

Q*2(s，y)=2Q*0(s，0)[h*((n-1)λ+s)-h*(nλ+s)]e-((n-1)λ+s)(y).

其中，Q*0(s，0)={1-h*(nλ+s)-2[h*((n-1)λ+s)-h*(nλ+s)]g*((n-1)λ+s)}-1.

證明通過對系統各狀態概率的微積分方程組關于t取Laplace變換，直接計算可得結論成立.

定理3 系統可靠度的Laplace變換式為

R*(s)=2*((n-1)λ+s)-*(nλ+s)+2[h*((n-1)λ+s)-h*(nλ+s)]*((n-1)λ+s)1-h*(nλ+s)-2[h*((n-1)λ+s)-h*(nλ+s)]g*((n-1)λ+s).

證明由系統的可靠度為

R(t)=∑1i=0∫

SymboleB@ 0Qi(t，x)dx+∫

SymboleB@ 0Q2(t，y)dy.

對上式關于t取Laplace變換并利用引理2計算可得結論成立.

定理4 系統首次故障前平均時間為

MTTFF=(n+1)(1-h*(nλ))-2n[h*((n-1)λ)-h*(nλ)]g*((n-1)λ)n(n-1)λ{1-h*(nλ)-2[h*((n-1)λ)-h*(nλ)]g*((n-1)λ)}.

證明由MTTFF=∫

SymboleB@ 0R(t)dt=lim s→0R*(s)及定理3可得結論成立.

5結束語

本文研究了修理工休假的相鄰n-1outofn:G可修系統，并獲得了一些重要可靠性指標的精確公式，為設備的維護與管理提供了理論依據.尤其本文考慮了修理時間與休假時間服從一般分布，使得結果更具一般性，更加符合實際.

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The Consecutive N-1outofn: G Repairable System with Repairman Vacations



LIANG Xiaolin，TAN Lei，LIU Mei

(School of Mathematics Computing Sciences， Changsha University of Science  Technology， Changsha，Hunan 410076， China)

Abstract We introducedthe consecutive n1outofn: G repairable system with multiple vacations of a repairman. It is assumed that the failure time of units has exponential distribution， and the repairtime and the vacations time have general continuous distributions. By using the method of supplement variables and the theory of vector Markov process， we obtainedthe reliability indices of the system and the repair equipment.

Keywordssupplementary variable technique;multiple vacations;availability;reliability