基于分?jǐn)?shù)O—U過程的幾何亞式再裝股票期權(quán)定價(jià)模型

摘 要 通過將幾何亞式期權(quán)應(yīng)用到再裝期權(quán)中，解決了傳統(tǒng)再裝期權(quán)在再裝日按BS模型執(zhí)行時(shí)所產(chǎn)生的經(jīng)理激勵(lì)問題，建立了幾何亞式再裝股票期權(quán)的定價(jià)模型，并在股價(jià)服從分?jǐn)?shù)OU過程下得到了相應(yīng)的定價(jià)公式.通過模擬分析發(fā)現(xiàn)，與傳統(tǒng)再裝期權(quán)相比，幾何亞式再裝期權(quán)的價(jià)值要低一些，這說明幾何亞式再裝股票期權(quán)能更好地降低代理成本.

關(guān)鍵詞 分?jǐn)?shù)OU過程;再裝期權(quán);幾何亞式再裝股票期權(quán)

中圖分類號(hào) F830.9文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

1 引 言

再裝期權(quán)作為一種變異的歐式看漲期權(quán)，它允許期權(quán)的持有者在到期日之前的特定日期執(zhí)行歐式看漲期權(quán)，且保證執(zhí)行日期權(quán)處于實(shí)值狀態(tài)，然后獲得一個(gè)數(shù)量為被執(zhí)行期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格與執(zhí)行日股票價(jià)格的比，到期日不變，執(zhí)行價(jià)格為執(zhí)行日股票價(jià)格的新的歐式看漲期權(quán).再裝期權(quán)與標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)一樣可以作為對(duì)公司高級(jí)管理人員或?qū)I(yè)技術(shù)人員的股票期權(quán)激勵(lì)方案.其明顯特征是:允許其持有者鎖定在再裝日的利潤(rùn)，消除了在到期日可能只能獲得較低收入的風(fēng)險(xiǎn)，這對(duì)一些特定公司來說是一種較好的激勵(lì)方案.

然而，由于傳統(tǒng)再裝期權(quán)在再裝日是按照BS模型來執(zhí)行的(即在再裝日，若股票價(jià)格超過執(zhí)行價(jià)格，經(jīng)理人就執(zhí)行期權(quán))，這使得再裝期權(quán)作為經(jīng)理薪酬至少存在三個(gè)問題.其一，由于股票價(jià)格受到行業(yè)發(fā)展前景、宏觀經(jīng)濟(jì)等因素的影響，而這些因素都是經(jīng)理沒法控制的，所以僅以再裝日股價(jià)的高低來衡量經(jīng)理人的業(yè)績(jī)有失公平，且可能會(huì)導(dǎo)致反向激勵(lì)現(xiàn)象;其二，容易導(dǎo)致經(jīng)理人對(duì)股價(jià)進(jìn)行短期操縱以使得期權(quán)處于實(shí)值狀態(tài)，這樣會(huì)損害股東的利益;其三，可能誘導(dǎo)經(jīng)理追求“轟動(dòng)效應(yīng)”，而采取不符合實(shí)際、冒險(xiǎn)的行為.因此，有必要對(duì)再裝期權(quán)進(jìn)行研究，加以改進(jìn)來更好地解決經(jīng)理激勵(lì)問題.

關(guān)于再裝期權(quán)的定價(jià)研究有，Johnson等^[1]研究了股價(jià)服從連續(xù)擴(kuò)散過程的再裝股票期權(quán)的定價(jià);Min Dai等^[2]研究了再裝期權(quán)模型的多次最優(yōu)停止問題;A.C. B′Elanger等^[3]研究了無限次再裝期權(quán)的定價(jià)問題;李超杰等^[4]對(duì)再裝期權(quán)執(zhí)行價(jià)格最低水平的決定進(jìn)行了研究，提出了再裝股票期權(quán)執(zhí)行價(jià)格最低水平的決定機(jī)制;傅強(qiáng)等^[5]在等價(jià)鞅測(cè)度下，研究了股價(jià)服從指數(shù)OU過程的再裝期權(quán)定價(jià)模型，并討論了其在經(jīng)理激勵(lì)中的作用;傅強(qiáng)等^[6]通過對(duì)再裝期權(quán)設(shè)置上下障礙，研究了再裝期權(quán)的經(jīng)理激勵(lì)問題;張慧等^[7]在不確定環(huán)境下研究了再裝期權(quán)的最大和最小定價(jià)，等等.

然而，上述文獻(xiàn)并沒有考慮傳統(tǒng)再裝期權(quán)在再裝日按BS模型執(zhí)行時(shí)所產(chǎn)生的經(jīng)理激勵(lì)問題.而幾何亞式期權(quán)是以期限內(nèi)股價(jià)的幾何平均值作為期權(quán)的結(jié)算價(jià)格，能很好地解決上述激勵(lì)問題^[8].因此，為了彌補(bǔ)再裝期權(quán)的缺陷，作者將幾何亞式期權(quán)應(yīng)用到再裝期權(quán)中，建立了新的再裝期權(quán)定價(jià)模型(即幾何亞式再裝股票期權(quán))，并在股價(jià)服從分?jǐn)?shù)OU過程下得到相應(yīng)的定價(jià)公式.且通過數(shù)值模擬計(jì)算，比較了幾何亞式再裝股票期權(quán)與傳統(tǒng)再裝期權(quán)在經(jīng)理激勵(lì)中的作用.

經(jīng) 濟(jì) 數(shù) 學(xué)第 27 卷

第2期傅 強(qiáng)等:基于分?jǐn)?shù)OU過程的幾何亞式再裝股票期權(quán)定價(jià)模型

2 相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)

2.1 資產(chǎn)價(jià)格模型

考慮一個(gè)具有兩個(gè)資產(chǎn)M(t)，S(t)的金融市場(chǎng)，M(t)為無風(fēng)險(xiǎn)債券，價(jià)格過程滿足dMt=rMtdt ，常數(shù)r是無風(fēng)險(xiǎn)利率.S(t)，t≥0為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其服從分?jǐn)?shù)OU過程^[9]，即滿足隨機(jī)微分方程(SDE):

dSt=(μ-αln St)S(t)dt+σStdBHt， S(0)=S0，(1)

其中，{BHt，0≤t≤T}為概率空間Ω，F(xiàn)，F(xiàn)t，P上的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，μ，σ分別是期望收益率和波動(dòng)率.

分?jǐn)?shù)OU過程實(shí)際上是考慮預(yù)期收益率依賴于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng).常數(shù)α的作用相當(dāng)于在股票價(jià)格升到一定高度，使股價(jià)有下降的趨勢(shì);特別地，當(dāng)α=0時(shí)，股價(jià)波動(dòng)滿足幾何分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型;當(dāng)H=1/2，股價(jià)波動(dòng)滿足通常的OU過程模型;當(dāng)α=0，H=1/2，股價(jià)波動(dòng)滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型.

對(duì)于分?jǐn)?shù)OU過程(1)，記θ(t)=u-αln S(t)-rσ.顯然有，

EPexp 12∫T0θ2(t)dt<+

SymboleB@ (EP#8226;是測(cè)度P下的期望算子).

于是，由分?jǐn)?shù)Girsanov定理^[10]，存在一個(gè)測(cè)度Q，與測(cè)度P等價(jià)且是風(fēng)險(xiǎn)中性的以及BQH(t):=u-αln S(t)-rσt+BH(t)是測(cè)度Q下的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng).

經(jīng)過簡(jiǎn)單的計(jì)算可知，在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下，分?jǐn)?shù)OU過程(1)變?yōu)?/p>

dS(t)=rS(t)dt+σS(t)dBQH(t).(2)

在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下，利用分?jǐn)?shù)I(xiàn)t公式^[11]，可得到模型(1)的解為

S(t)=S0exp {rt-12σ2t2H+σBQH(t)}.(3)

2.2股票價(jià)格的幾何平均值

設(shè)Jst為在[s，t]上股價(jià)的幾何平均值，即Jst=e1t-s∫tsln S(u)du，則由式(3)可得:

Jst=S0exp {12r(t+s)-t2H+1-s2H+12(2H+1)(t-s)σ2+σt-s∫tsBQH(u)du}.(4)

為了以后的計(jì)算方便，記

X=σT1∫T10BQH(u)du，Y=σT-T1∫TT1BQH(u)du-σT1∫T10BQH(u)du，Z=σT∫T0BQH(u)du，

則由文獻(xiàn)[10]中有關(guān)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，容易得到

X~N(0，σ2T2H12(H+1)∶=N(0，σ21)，

Y~N(0，T2H+1-T2H+11σ(2H+1)(T-T1)σ2-(T-T1)2H2(2H+1)(H+1)σ2

+T2H12(H+1)σ2)∶=N(0，σ22)及Z~N(0，σ2T2H2(H+1))∶=N(0，σ23).

并令X-=Xσ1;Y-=Yσ2;Z-=Zσ3，則由文獻(xiàn)[10]，可得

cov (X-，Y-)=-σ1σ2:=ρ1， cov (X-，Z-)=T1Tσ1σ3:=ρ2.

3 幾何亞式-再裝股票期權(quán)定價(jià)模型

3.1 幾何亞式-再裝股票期權(quán)模型的收益結(jié)構(gòu)

幾何亞式-再裝股票期權(quán)的收益結(jié)構(gòu)(這里僅考慮再裝一次的情況):期權(quán)在再裝日T1時(shí)刻的收益為 max (J0T1-K，0).

在到期日T時(shí)刻的收益為

KJ0T1max (JT1T-J0T1，0)，當(dāng)J0T1>K時(shí)，

max (J0T-K，0)，當(dāng)J0T1

因此該期權(quán)在到期日T時(shí)的總支付為

Φ(J0T1，J0T，JT1T2，K)=er(T-T1)max (J0T1-K，0)

+KJ0T1max (JT1T-J0T1，0)1{J0T1>K}+max (J0T-K，0)1{J0T1

其中，1A表示集合A上的示性函數(shù).

模型的經(jīng)濟(jì)解釋如下:

1)在0到T1這段時(shí)間內(nèi)，若股票價(jià)格的幾何平均值J0T1高于K，則經(jīng)理人執(zhí)行期權(quán)，每份期權(quán)獲得利潤(rùn)為(J0T1-K).這樣利用一段時(shí)期內(nèi)股價(jià)的幾何平均值J0T1來代替?zhèn)鹘y(tǒng)再裝期權(quán)中以再裝日的股價(jià)ST1作為結(jié)算價(jià)格，能夠有效地防止經(jīng)理人通過對(duì)股價(jià)的短期操縱來使得期權(quán)處于實(shí)值狀態(tài)，從而使得股東的利益受損.

2)若在到T1這段時(shí)間內(nèi)股票價(jià)格的幾何平均值J0T1高于K，則經(jīng)理人還可獲得KJ0T1份新期權(quán).新期權(quán)是以T1到T時(shí)刻的幾何平均值作為結(jié)算價(jià)格，到期日為T，執(zhí)行價(jià)格為J0T1的期權(quán).

3)若在0到T1這段時(shí)間內(nèi)股票價(jià)格的幾何平均值J0T1低于K，則無需再裝，期權(quán)以0到T時(shí)刻股票價(jià)格的幾何平均值J0T作為結(jié)算價(jià)格，到期日T和執(zhí)行價(jià)格K保持不變.

3.2 基于分?jǐn)?shù)OU過程的幾何亞式再裝股票期權(quán)的定價(jià)公式

定理1 在股價(jià)服從分?jǐn)?shù)OU過程的假設(shè)下，幾何亞式再裝股票期權(quán)在0時(shí)刻的定價(jià)公式為

C=S0α1N(d1+σ1)-Ke-rT1N(d1)+Kα2N2(d1-σ1，d2+σ2;ρ1)

-Ke-rTN2(d1，d2;ρ1)+S0α3N2(-d1-T1Tσ1，d3+σ3;-ρ2)-Ke-rTN2(-d1，d3;-ρ2)，(6)

其中α1=exp {-12rT1-T2H12(2H+1)(2H+2)σ2}，

α2=exp {-12rT+T2H12(2H+1)σ2-(T-T1)2H4(2H+1)(H+1)σ2+T2H14(H+1)σ2}，

α3=exp {-12rT-T2H2(2H+1)(2H+2)σ2}，

d1=lnS0K+12rT1-T2H12(2H+1)σ2σ1，

d2=12rT+T(T2H1-T2H)2(2H+1)(T-T1)σ2σ2，

d3=lnS0K+12rT-T2H2(2H+1)σ2σ3.

N()表示一維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累加函數(shù)，N2()表示二維正態(tài)分布累加函數(shù).

證明 模型(5)的求解過程為

C=E[e-rTΦ(J0T1，J0T，JT1T2，K)]

=E[e-rT1max (J0T1-K，0)]+E[e-rTKJ0T1max (JT1T2-J0T1，0)1{J0T1>K}]

+E[e-rTmax (J0T-K，0)1{J0T1

第一步，計(jì)算C1

由式(4)可知J0T1>K等價(jià)于J0T1=S0exp{12rT1-T2H12(2H+1)

σ2+σ2}>K，即

>-lnS0K+12rT1-T2H1

2(2H+1)σ2σ1=-d1.

因此

C1=∫+∞-d1e-rT1(S0exp{12rT1-T2H1

2(2H+1)σ2+σ1}-K)12πexp{-22}d

=S0α1N(d1+σ1)-Ke-rT1N(d1). (7)

第二步，計(jì)算C2

C2=E[e-rTKJ0T1max (JT1T-J0T1，0)1{J0T1>K}]=E[e-rTK(JT1TJ0T1-1)1{J0T1>K，JT1TJ0T1>1}].

由式(4)可知，JT1TJ0T1=exp{12rT+T(T2H1-T2H)2(2H+1)(T-T1)σ2+σ2}，則JT1TJ0T1>1等價(jià)于

>-12rT+T(T2H1-T2H)2(2H+1)(T-T1)σ2

σ2=-d2.

因此，

C2=e-rTK∫+∞-d1∫+∞-d2(exp{12rT+T(T2H1-T2H2(2H+1)(T-T1)σ2+σ2}-1)#8226;

12π1-ρ21exp{-2-2ρ1+22(1-ρ21)}dd

=Kexp{-12rT+T(T2H1-T2H2(2H+1)(T-T1)σ2}12π1-ρ21#8226;

∫+∞-d1∫+∞-d2exp{σ2}exp{-2-2ρ1+22(1-ρ21)}dd

-Ke-rT12π1-ρ21∫+∞-d1∫+∞-d2exp{-2-2ρ1+22(1-ρ21)}dd

=C21+C22.

先計(jì)算C21

令-2-2ρ1+22(1-ρ21)+σ2=-(-a)2-2ρ1(-a)(-b)+(-b)2+c2(1-ρ21).

經(jīng)過計(jì)算，比較系數(shù)得到如下關(guān)系式

-2a+2ρ1b=0，

-2b+2ρ1a=-2(1-ρ21)σ2，

c=-(a2-2ρ1ab+b2)， 解得b=σ2，

a=ρ1b=-σ1，

c=-(σ22-σ21).

因此，只需作變換X′=X--a=X-+σ1，Y′=Y--b=Y--σ2，即可得到

C21=Kα2∫+

SymboleB@ -d1+σ1∫+

SymboleB@ -d2-σ2f(X′，Y′)dX′dY′=Kα2N2(d1-σ1，d2+σ2;ρ1). (8)

由概率論知識(shí)，顯然有

C22=-Ke-rTN2(d1，d2;ρ1).(9)

第三步，計(jì)算C3

C3=E[e-rTmax (J0T-K，0)1{J0T1K}].

由式(4)可知，J0T>K等價(jià)于J0T=S0exp {12rT-T2H2(2H+1)σ2+σ3Z-}>K，即

Z->-ln S0K+12rT-T2H2(2H+1)σ2σ3=-d3.

則

C3=e-rT∫-d1-∞∫+∞-d3(S0exp{12rT-T2H2(2H+1)σ2+σ3}-K)12π1-ρ22exp{-2-2ρ2+22(1-ρ22)}dd

=S0exp{-12rT-T2H2(2H+1)σ2}12π1-ρ22

∫-d1+∞∫+∞-d3exp{σ3}exp{-2-2ρ2+22(1-ρ22)}dd

-Ke-rT12π1-ρ22∫-d1-∞∫+∞-d3exp{-2-2ρ2+22(1-ρ22)}dd=C31+C32.

先計(jì)算C31

與計(jì)算C21的方法相同，令X″=X--T1Tσ1，Z″=Z--σ3，即可得到

C31=Kα3∫-d1-T1Tσ1-

SymboleB@ ∫+

SymboleB@ -d3-σ1f(X″，Z″)dX″dZ″=S0α3N2(-d1-T1Tσ1，d3+σ3;-ρ2).(10)

由概率論知識(shí)，顯然有

C32=-Ke-rTN2(-d1，d3;-ρ2).(11)

綜合式(7)~(11)，即得幾何亞式-再裝期權(quán)的定價(jià)公式(6).證畢.

注當(dāng)H=0.5時(shí)，公式(6)就是在股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè)下得到的幾何亞式再裝股票期權(quán)定價(jià)公式.

4數(shù)值分析

圖1 隨著再裝日T1的變化，再裝期權(quán)與幾何亞式再裝期權(quán)的價(jià)值變化曲線.下面考慮一個(gè)例子，假設(shè)股票在0時(shí)刻的價(jià)格S0=100元，執(zhí)行價(jià)格K=100元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為r=0.05，股票的波動(dòng)率為σ=0.3，到期日T=10(年)，再裝日T1∈1，9，Hurst系數(shù)H∈[0.5，0.9].利用Matlab7.01可以畫出圖1和圖2，其中圖1表示:當(dāng)H=0.5時(shí)，隨著T1變化，標(biāo)準(zhǔn)再裝期權(quán)與幾何亞式-再裝股票期權(quán)的價(jià)值變化曲線;圖2表示:隨著T1和H的變化，幾何亞式-再裝股票期權(quán)的價(jià)值變化圖.通過這些圖直觀上可得到下列結(jié)論:

(1)由圖1可知:當(dāng)H=0.5時(shí)，即股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，隨著再裝日T1的變化，發(fā)現(xiàn)與傳統(tǒng)再裝期權(quán)的價(jià)值相比，幾何亞式-再裝股票期權(quán)的價(jià)值總是要低一些.這是由于幾何亞式-再裝期權(quán)是以股價(jià)的幾何平均值作為結(jié)算價(jià)格，能更好地防止經(jīng)理人通過操縱股價(jià)信息來使得期權(quán)處于實(shí)值狀態(tài).這說明幾何亞式再裝股票期權(quán)能更好地降低代理成本.

圖2 隨著再裝日T1和Hurst系數(shù)H的變化，幾何亞式再裝股票期權(quán)的價(jià)值變化趨勢(shì)

(2)由圖2可知:當(dāng)T1值一定時(shí)，隨著H的增大，幾何亞式再裝股票期權(quán)的價(jià)值也增大且差別較大.對(duì)實(shí)際股票數(shù)據(jù)而言，收益的波動(dòng)具有長(zhǎng)記憶性已是不爭(zhēng)的事實(shí)，因而考慮波動(dòng)長(zhǎng)記憶特征的分?jǐn)?shù)OU幾何亞式再裝期權(quán)應(yīng)更加接近真實(shí)值.這說明長(zhǎng)記憶參數(shù)H是幾何亞式再裝股票期權(quán)定價(jià)中不可忽視的因素.

(3) 由圖2可知:當(dāng)H值一定時(shí)，隨著再裝日T1的增大，傳統(tǒng)再裝期權(quán)的價(jià)值先減少后增加，而幾何亞式再裝股票期權(quán)的價(jià)值先增加后減少.

5 結(jié) 論

本文通過對(duì)傳統(tǒng)再裝期權(quán)在經(jīng)理激勵(lì)中的缺陷進(jìn)行分析，提出了幾何亞式-再裝期權(quán)的定價(jià)模型，并在股價(jià)服從分?jǐn)?shù)OU過程下給出了幾何亞式-再裝股票期權(quán)的定價(jià)公式.且通過數(shù)值模擬分析發(fā)現(xiàn)，與傳統(tǒng)再裝期權(quán)相比，幾何亞式-再裝期權(quán)能更好地降低代理成本.本文僅考慮了再裝一次的幾何亞式-再裝股票期權(quán)的定價(jià)，兩次或多次再裝的情況有待于進(jìn)一步的研究.

參考文獻(xiàn)

[1] JOHNSOSA， TIAN Y S. The value and incentive effects of nontraditional executive stock option plans [J]. Journal of Financial Economics， 2000， 57: 3-34.

[2] DAI Min，KWOK Yue Kuen. Optimal multiple stopping models of reload options and shout options[J]. Journal of Economic Dynamics Control ，2008，32(7): 2269–2290.

[3] B′ELANGER A C，F(xiàn)ORSYTH P A.Infinite reload options: Pricing and analysis [J].Journal of Computational and Applied Mathematics ，2008， 222(1):54–81.

[4] 李超杰，何建敏.再裝股權(quán)期權(quán)執(zhí)行價(jià)格最低水平的決定[J].系統(tǒng)工程理論方法應(yīng)用，2004，13(6): 508-511.

[5] 傅強(qiáng)，喻建龍.股票價(jià)格服從指數(shù)OU過程的再裝期權(quán)定價(jià)[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2006，23(1):36-40.

[6] 傅強(qiáng)，郜琳琳. 具有上下障礙的再裝期權(quán)定價(jià)模型與計(jì)算[J].重慶大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，30(4):144-148.

[7] 張慧，陳曉蘭，聶秀山.不確定環(huán)境下再裝股票期權(quán)的穩(wěn)健定價(jià)模型[J].中國(guó)管理科學(xué)，2008，16(1):25-31.

[8] 譚軼群，劉國(guó)買.亞式期權(quán)激勵(lì)特性及其對(duì)經(jīng)理的激勵(lì)效用分析[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào):信息與管理工程，2006，4(28):621~821.

[9] 趙巍，何健敏.股票價(jià)格遵循分?jǐn)?shù)OrensteinUhlenback過程的期權(quán)定價(jià)模型[J].中國(guó)管理科學(xué)，2007，15(3):1-5.

[10]NECULA C. Option pricing in a fractional brownian motion environment[Z].Preprint Working Paper of the Academy of Economic Studies，Burcharest(Romania)，www.dofin.ase.Ro，2002.

[11]HU Y， KSENDAL B. Factional white noise calculus and application to finance [J]. Inf Dim Anal Quantum Probab Rel Top， 2003， 6:1-32.

Model of Geometric Asianreload Stock Option

Pricing Driven by Fractional OU Process



FU Qiang1， SHI Zelong2

(1. College of Economics and Business Administration， Chongqing University，Chongqing 400044，China

2. College of Mathematics and Physics Chongqing University， Chongqing 400044 ，China)

Abstract By applied the geometric Asian option to the Reload stock option.this paper tried to solve the Manager Incentives problemproduced on the reloading time of the reload option，The pricing model of the geometric Asianreload option was established，and the corresponding pricing formula was obtained under the underlying asset obey to fractional OU process. By an example analysis，we find that，campared with the traditional reload stock option， the value of geometric asianreload stock option is smaller.This means that the geometric asianreload stock option isable to reduce the agency costs.

Keywords fractional OU process;reload option;geometric Asianreload stock option