隨機波動率下股價服從O—U過程的期權定價

摘 要 假設股票價格遵循指數OU過程，利用隨機分析中的鞅方法，得到了具有隨機波動率的歐式期權的定價公式，推廣了BS模型.

關鍵詞 期權定價;隨機波動率;OU過程

中圖分類號 F830.9 文獻標識碼:A

1 引 言

期權定價理論是現在金融理論的核心內容，主要的革命性成果是Black和Scholes(1973)的BlackScholes期權定價公式^[1].標的資產的價格的波動率是用來度量一定時間內，標的資產價格變動的不確定性，它是影響期權價格的重要因素，是期權定價模型中重要的變量.BS期權定價公式假定波動率是常數，然而大量實證研究表明波動率是一個隨機變量.Scott^[2]、Wiggins^[3]、Renault和Touzi^[4]等人已經把BS模型推廣到隨機波動率的情形，但這些情形大多數沒有給出解析解，并且需要使用數值分析方法得到期權價格.1987年，Hull和White^[5]提出著名的波動率平方服從幾何布朗運動，利用Taylor展式，近似地給出了期權定價公式，在理論上產生了較大的影響，但還是沒有給出精確的解析解.陳俊霞、蹇明^[6]在他們二人模型的假設下， 利用鞅方法， 推導出歐式期權定價的解析解.本文作者討論了股票價格遵循指數OU過程，具有隨機波動率的歐式期權定價的問題.

2 模型及若干引理

給定具有濾子的概率空間{Ω，F，Ftt≥0，P}，其中濾子流Ftt≥0滿足通常條件(完備、單調遞增、右連續)，F0是平凡的且FT=F.設市場上有兩種資產，一種為無風險資產，稱為債券，其價格過程p(t)滿足微分方程:

dp(t)=p(t)r(t)dt，p(0)=1，

其中r(t)是瞬時利率(是無風險利率)，則p(t)=e-∫t0r(s)ds.

另一種為風險資產(如股票)，其價格過程S=(St)0≤t≤T滿足隨機微分方程

dSt=(μ(t)-αln St)Stdt+σ(t)StdBt，(1)

dσ2(t)=uσ2(t)dt+ξ σ2(t)dWt，(2)

其中S0=S>0，u，ξ為常數，μ(t)為時間t的確定性函數，σ(t)為股票的波動率，α為非負常數， B=(Bt)0≤t≤T和W=(Wt)0≤t≤T是Ft適應的、相互獨立的布朗運動.

注1 當α=0時式(1)即為BlackScholes模型中的風險資產價格方程，當α>0時意味著當股票價格St上升到一定高度后，它使St有下降的趨勢.此時模型稱為指數OU過程^[7].

注2 由于波動率是不可交易資產，毫無疑問這里的市場模型是不完備的，因而等價鞅測度以及相應的價格過程是不唯一的，即不可能得到與投資者風險態度無關的唯一定價.關于如何選取一個恰當的鞅測度，可參閱文獻[8].本文考慮當市場中鞅測度選定以后，如何進行期權定價.

令Xt=Ste-∫t0r(s)ds， 則X=(Xt)0≤t≤T為風險資產貼現價格過程，過程X具有微分

dXt=(μ(t)-r(t)-αln St)Xtdt+σ(t)XtdBt.

下面旨在給出等價鞅測度，定義過程Z=(Zt)0≤t≤T，這里

Zt=exp (-∫t0μ(s)-r(s)-αln Ssσ(s)dBs-12∫t0(μ(s)-r(s)-αln Ssσ(s))2ds).

引理1 E(ZT)=1，因而過程Z是P鞅.

證明 注意到過程B與W的獨立性，由Liptser Shiryayev^[9]的第6章第2節例題4可證E(ZT)=1，引理的第二個結論是顯然的.

定義測度Q，使得dQ/dP=ZT，于是由引理1得出，Q是P的等價鞅測度.記BQt=Bt+∫t0μ(s)-r(s)-αln Ssσ(s)ds，由Girsanov定理可知:BQt是關于Q的布朗運動.若當前時刻為0時刻，由It公式知:St=Sexp {∫t0(r(s)-12σ2(s))ds+∫t0σ(t)dBQs}.(3)

引理2^[6] ∫t0σ(s)dBQs服從N(0，∫t0σ2(s)ds).

引理3^[10]記p(t，a，b;x)為隨機變量∫t0exp (au+bBu)du的密度函數，對于x>0，有

p(t，a，b;x)=M(x)∫

SymboleB@ 0N(v)[∫

SymboleB@ 0y2ab2exp (-2b2x(y2+2ycosh(v)+1))dy]dv，

經 濟 數 學第 27 卷

第2期朱利芝等:隨機波動率下股價服從OU過程的期權定價

其中

M(x)=8(πb3x22πt)-1exp (4π2-a2t22b2t)，N(v)=sin (4πvb2t)sinh(v)exp (-2v2b2t).

3 期權定價公式

定理1 股票價格服從式(1)和式(2)，執行價格為K，到期日為T的歐式看漲期權在0時刻的價格V0為:V0=C(0，S)=∫

SymboleB@ 0SΦ(12σ2(0)x-ln(KS)+∫T0r(s)dsσ(0)x)p(T，u-12ξ，ξ;x)dx

-Ke-∫T0r(s)ds∫

SymboleB@ 0Φ(-12σ2(0)x-ln (KS)+∫T0r(s)dsσ(0)x)p(T，u-12ξ，ξ;x)dx.

證明由期權定價的鞅方法，執行價格為K，到期日為T的歐式看漲期權在0時刻的價格為

V0=C(0，S)=EQ[e-∫T0r(s)ds(ST-K)+]

=EQ[e-∫T0r(s)dsSTI{ST>K}]-Ke-∫T0r(s)dsEQ[I{ST>K}].(4)

而 ST>K∫T0σ(s)dBQs>12∫T0σ2(s)ds+ln (KS)-∫T0r(s)ds.

記Δ=∫T0σ2(s)ds，δ=12Δ+ln (KS)-∫T0r(s)ds，則

EQ[e-∫T0r(s)dsSTI{ST>K}σ(WS)]=∫+

SymboleB@ 0Sexp (-12Δ+x)12πΔexp (-x22Δ)dx=SΦ(Δ-δΔ)



由式(2)可得，σ2(t)=σ2(0)exp {(u-12ξ)t+ξdWt}，從而由引理3，Δσ2(0)的密度函數為p(T，u-12ξ，ξ;x)，因此，由全期望公式得

EQ[e-∫T0r(s)dsSTI{ST>K}]=EQ[EQ[e-∫T0r(s)dsSTI{ST>K}σ(WS)]]

=∫+

SymboleB@ 0SΦ(12σ2(0)x-ln (KS)+∫T0r(s)dsσ(0)x)p(T，u-12ξ，ξ;x)dx.(5)

同理可得

EQ[I{ST>K}]=∫+

SymboleB@ 0Φ(-12σ2(0)x-ln (KS)+∫T0r(s)dsσ(0)x)p(T，u-12ξ，ξ;x)dx. (6)

將式(5)和式(6)代入式(4)即得定理.

推論1 當ξ=0，u=0時，σ(t)=σ為常數，再假定r(t)=r為常數，可得到與定理相同條件下歐式看漲期權在0時刻的價格V0為:

V0=SΦ(12σ2T-ln (KS)+rTσT)-Ke-rTΦ(-12σ2T-ln (KS)+rTσT).

此公式即為BS公式.

推論2 股票價格服從式(1)和式(2)，執行價格為K，到期日為T的歐式看跌期權在0時刻的價格P(0，S)為:

P(0，S)=EQ[e-∫T0r(s)ds(K-ST)+]

=Ke-∫T0r(s)ds∫

SymboleB@ 0Φ(12σ2(0)x+ln (KS)-∫T0r(s)dsσ(0)x)p(T，u-12ξ，ξ;x)dx

-∫

SymboleB@ 0SΦ(-12σ2(0)x+ln (KS)-∫T0r(s)dsσ(0)x)p(T，u-12ξ，ξ;x)dx.

推論3 (歐式看漲期權與看跌期權的平價關系)執行價格為K，到期日為T的歐式看漲期權與看跌期權在0時刻的價格之間有關系式:

C(0，S)-P(0，S)=S-Ke-∫T0r(s)ds.

參考文獻

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Option Pricing under Stochastic Volatility and Stock PriceDirven by Ornsteinhlenback Process

ZHU lizhi，MA Peng，YU Junwu

(College of Mathematics and Computational Science，Hunan university of Science and Technology，Xiangtan，Hunan 411201，China)

Abstract Undertheassumption that stock price process is driven by OrnsteinUhlenback process，the pricing formula of European option with Stochastic Volatility was derived by using martingale method，which generalizes theBS model.

Keywordsoptionpricing ;stochastic volatility;OrnsteinUhlenback process