半絕對偏差投資組合模型構建及其應用

摘 要 通過對模糊隸屬函數以及基金投資組合基本模型的適當變形，構建了帶交易費及流動性約束的極大極小半絕對偏差投資組合模型.選取5支證券，依據2008年全年的數據作為樣本數據，按投資者的不同偏好得出不同的最優投資策略，并對幾種情形進行了對比，結果顯示此模型能很好地反映出投資者的主觀意愿，具有很好的靈活性.

關鍵詞模糊決策; 極大極小半絕對偏差;投資組合模型

中圖分類號 F224.0 文獻標識碼:A

1 引 言

20世紀50年代Harry Markowitz提出投資組合理論后，數量化方法真正進入到投資領域.投資本質上就是在不確定性的收益和風險中進行選擇.所以考慮風險和收益就作為描述合理投資目標缺一不可的兩個要件.投資組合模型屬于多目標優化模型，需要最大化投資收益和最小化投資風險，在基本投資組合模型中，只考慮投資風險與收益兩方面因素，實際應用中，往往要考慮如交易費等摩擦因素，另外，根據投資者主觀需要，也往往要加入對收益與風險的約束條件，但由于是投資者主觀論斷，模型有可能有不可行性出現，即不能滿足所有約束條件，對于這種情況，可以考慮用軟約束條件，如Leon，Liern等提出用模糊方法解決線性約束問題不可行性\\[1\\]，另外，如果把投資者主觀滿意程度考慮進去的話，可以直接對投資收益、投資風險以及流動性目標水平模糊化.

2 半絕對偏差投資組合模型的構建

先引入兩種模糊隸屬函數，梯形模糊數和S形模糊數^[2]，具體形式分別為

A(x)=1-a-xα，a-α≤x≤a，

11，a≤x≤b，

1-x-bβ，b≤x≤b+β，

0， 其他，

B(x)=11+exp (-αx).

對于證券的流動性，經常用換手率來替代，假定模糊換手率分布為梯形模糊數A(x) ^[3]，A的r截集可表示為a-(1-r)α，b+(1-r)β，則有A的可能性均值為

E(A)=∫10r[a-(1-r)α+b+(1-r)β]dr=a+b2+β-α6.

對于刻畫投資者滿意度的投資組合選擇模型，S型隸屬函數要相對更符合實際情況.

考慮有n種風險資產和一種有固定收益率的無風險資產n+1所構成的資本市場，xi(i=1，2，…n+1)表示將要在資產i上投資的比例，x0i(i=1，2，…，n+1)表示已經投資在風險或無風險資產的比例，ri(i=1，2，…n)表示風險資產i的期望收益率，rn+1表示無風險資產收益率，rit(t=1，2…T)表示風險資產i在t時期的歷史收益率.為了計算方便，近似地用資產i歷史收益率的平均值表示期望收益率.

這里加入交易費，令ki(i=1，2，…n)表示風險資產i的交易費比率，于是可以得到期望收益率r(x)=∑n+1i=1(rixi-ki|xi-x0i|)，另外采用極大極小半絕對偏差風險函數\\[4\\]ν(x)=max tmin 0，∑ni=1(rit-ri)xit=1，2…T來度量風險，已經假定模糊換手率分布為梯形模糊數，證券的流動性可以表示為l(x)=∑n+1i=1lixi=∑n+1i=1(ai+bi2+βi-αi6)xi，其中ai，bi為容許區間，αi，βi分別為左右寬度.

經 濟 數 學第 27 卷第2期印凡成等:半絕對偏差投資組合模型構建及其應用

用S型隸屬函數刻畫投資者對投資收益、投資風險、流動性水平的滿意度.投資收益目標滿意度μr(x)=11+exp (-αr(r(x)-rM))，投資風險目標滿意度μν(x)=11+exp (αν(ν(x)-νM))，流動性水平滿意度μl(x)=11+exp (-αl(l(x)-lM)).其中rM，νM，lM為滿意度為0.5的點，即中等滿意水平，若投資者沒有能給出，可以用rM=r~0+r~12，νM=ν~0+ν~12，lM=l~0+l~12近似得到，其中r~0，ν~1，l~0為必要滿意水平，r~1，ν~0，l~1為充分滿意水平，αr>0，αv>0，αl>0分別決定了隸屬函數的形狀，αr，αν，αl值越大，隸屬函數越陡，模糊度越小.投資組合選擇模型即為 最大化 min μr(x)，μν(x)，μl(x).

根據前面對投資收益、投資風險、流動性的定義，對目標水平模糊化，投資組合選擇模型可以表示為

max ξ， μr(x)≥ξ，μν(x)≥ξ，μl(x)≥ξ，∑n+1i=1xi=1，0≤xi，0≤ξ≤1.

代入μr(x)，μν(x)，μl(x)得

max ξ，ξ+ξ exp (-αr(r(x)-rM))≤1，ξ+ξ exp (αν(ν(x)-νM))≤1，ξ+ξ exp (-αl(l(x)-lM))≤1，∑n+1i=1xi=1，0≤xi，0≤ξ≤1.

化簡得

max η， αrr(x)-η≥αrrM，ανν(x)+η≤αννM，αll(x)-η≥αllM，∑n+1i=1xi=1，0≤xi.

代入r(x)，ν(x)，l(x)得

max η，

αr∑n+1i=1(rixi-ki|xi-x0i|)-η≥αrrM，

αvmin0，∑ni=1(rit-ri)xit=1，2，…，T+η≤αννM，

αl∑n+1i=1ai+bi2+βi-αi6xi-η≥αllM，

∑n+1i=1xi=1， 0≤xi.

其中min 0，∑ni=1(rit-ri)xi可以化為∑ni=1(rit-ri)xi-∑ni=1(rit-ri)xi2.

3 應用實例

本文選擇了5種2008年3月~2009年3月收益率為正的證券的歷史交易數據，為了計算方便，用各個月歷史收益率的算術平均值表示期望收益率.5種證券的期望收益率在表1中給出.對所有交易日換手率進行頻數統計，在表2中給出證券的模糊換手率.

本文選取銀行的活期存款為無風險資產，收益率為0.36%，由于可以隨時提取，換手率為1.風險資產的交易費假設為交易金額的0.55%(k=0.005 5)，無風險資產交易假設為0.

另外，為了分散化投資組合以降低風險，往往要對各風險資產投資比例加以限制，這里假定所有風險資產投資比例上限為總投資的25%，無風險資產不加以限制.即0≤xi≤0.25(i=1，2，3，4，5)

對于前面模型，考慮以下幾種情形的投資者:

情形1 αr=600，αν=800，αl=200，rM=0.009 5，νM=0.15，lM=0.09;

情形2 假設投資者更加保守，令rM=0.009 5，νM=0.1，lM=0.09;

情形3 假設投資者完全是收益導向型rM=0.01 5，νM=0.2，lM=0.09;

情形4 一個比較極端的情況，投資者屬于保守形，對風險要求很高，但也不切實際的想更高的收益率，這往往會產生不可行性.rM=0.015，νM=0.1，lM=0.09;

情形 5 對于情形3，若不考慮交易費，即期望收益率為R(x)=∑n+1i=1rixi.

利用表1和表2的數據，用LINGO對模型進行求解，并得到5種情形的最優投資比例(見表3).

對比情形1和情形2，可以看到其他條件不變，投資者需要更加低的風險才能達到中等滿意水平，最優投資比例里，銀行存款投資比例明顯增加.情形3的投資者不畏風險，對收益要求比較高，對風險要求比較低，此時最優投資比例里，銀行存款所占比例都不到0.1，其他3種期望收益最高的證券投資比例都已經達到了所允許的最大上限，總期望收益率也比其他情形高，對于情形4，投資者不切實際的要求非常低的風險，但很高的收益，這種情況如果在一般投資組合模型里是不可行問題，這里我們依然可以求出最優投資比例，結果與情形2類似，可見此時起主要約束作用的是投資風險，但此時最優解的滿意度才0.16，結果都遠遠達不到投資者的中等滿意水平.情形5在情形3基礎上去除了交易費，而期望收益要求不變，相當于放寬了收益約束，此時銀行存款投資比例略微提高了，滿意度達到了0.99，可見是否考慮交易費對最優投資比例是有一定影響的.

另外，根據投資者對流動性等偏好，還可以采用不同的αr，αν，αl，lM的值作為參數.根據投資者不同的意愿與實際情況，運用此模型求解會得到不同的最優投資組合.

4 結 論

1)本文近似的用資產歷史收益率的平均值表示期望收益率，考慮了交易費，用極大極小半絕對偏差風險函數來度量風險，并加入了模糊換手率的約束條件，用S型隸屬函數刻畫投資者對投資收益、投資風險、流動性水平的滿意度，構建了帶交易費及流動性約束的極大極小——半絕對偏差投資組合模型，本模型相對一般投資組合模型有兩方面的特點:①在照顧投資者偏好的同時，很好地解決了由于投資者對實際情況把握不準確導致的模型有可能有不可行性的問題;②這種非線性滿意程度的投資組合選擇模型比一般的投資組合模型能更好地反映出投資者的主觀意愿，具有很好的靈活性.

2)實例說明在投資者對投資收益、投資風險以及流動性水平的不同偏好下，會得出不同的最優可行投資策略，并解決由于多約束條件可能出現不可行解的問題，取得了滿意的效果.

另外，此模型由于隨意性比較大，很多參數需要投資者確定，要最大程度符合投資者本身的意愿需要投資者對實際情況以及此模型具有一定程度的了解，此模型對于不同投資者形成自己的投資風格有一定的幫助.

3)對于此模型，采用極大極小半絕對偏差風險函數來度量風險，對于某一具體實際應用可能采用其他的風險函數更合適，另外，實際應用中往往需要動態的調整投資策略，可以將此模型推廣到多階段，即通過尋找各階段最優投資策略，使得投資者對末階段相對初階段投資的期望收益率以及投資風險的滿意度最高.

參考文獻

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The Construction and Applicationof

Semiabsolute Deviation Portfolio Models



YIN Fancheng1ZHOU Chun1， HUANGJianyuan2

(1. School of Science， Hohai university， NanJing，Jiangshu210098，China;

2. Shool of Public Administration， Hohai university， NanJing，Jiangshu 210098，China)

Abstract Through the appropriate transformation of fuzzy membership function and the basic fund portfolio Model，andconsidering the transaction costs and liquidity constraints ， a MinimaxSemiabsolute Deviation portfolio model was given.Selecting five securities's whole years'data of 2008 as the sample data，andaccording to the different preferences of investors ，the optimal investment strategies of the model were solved， and several cases were compared. The results show that this model can reflect the subjective views of the investors and has good flexibility.

Keywords fuzzy decision;MinimaxSemiabsolute Deviation;Portfolio Models