時滯Hopfield神經網絡模型漸進穩定性的新準則

摘 要 在不考慮激勵函數有界，可微和單調的情況下，利用Lyapunov泛函方法，得到了時滯Hopfield神經網絡模型的平衡點存在性和全局漸近穩定性的新準則. 研究結果改進和推廣了以前相關文獻的結果.

關鍵詞 Hopfield神經網絡; 全局漸近穩定; Lyapunov 泛函; 時滯

中圖分類號 O175.13 文獻標識碼:A

1 引 言

近年來， 各種類型的神經網絡模型的平衡點的存在性和穩定性被廣泛研究并被應用到各種問題中^[1-4]. 例如， 當神經網絡應用到優化問題時， 系統存在唯一的平衡點及其穩定保證了對應優化問題的最優解的存在性和優化算法的收斂性. 目前神經網絡已經成功地在電路上實現，然而由于電路中放大器有限的轉換速度和信號傳輸滯后對神經網絡的動力學行為產生了不可忽視的影響. 因此， 目前研究在神經網絡的理論與應用中， 時滯神經網絡模型的研究表現得非常活躍.

本文考察時滯Hopfield神經網絡模型 

dx(t)dt=-Dx(t)+Af(x(t))+Bf(x(t-τ))+I， (1)

其中，x(t)=(x1(t)，x2(t)，…，xn(t))T是神經元的狀態向量;I(t)=[I1，I2，…，In]T∈Rn表示外部輸入向量;D=diag{d1，d2，…，dn}是一個實對角矩陣且元素di≥0，i=1，2，…，n，表示神經元的自我抑制，A=[aij]n×n和B=[bij]n×n分別是連接權矩陣和時滯連接權矩陣; f(x(t))=(f1(x1(t))，f2(x2(t))，…，fn(xn(t)))T表示在t時刻的神經激勵;τ表示神經元之間的傳輸時滯. 神經網絡模型(1)的初始條件為xi(t)=φi(t)∈C([-τ，0]，R)，其中 C([-τ，0]，R)表示從[-τ，0]到R的連續函數集.

本文對激勵函數作如下假設:

 (H) 存在常數k-i，k+i，使得對于所有的u，v∈R和i=1，2，…，n，有

k-i≤fi(u)-fi(v)u-v≤k+i.

當k-i≥0時， 激勵函數f的分量fi 為單調不減的. 模型(1)在激勵函數單調不減的假設下已經有許多結果^[5-6]. 然而， 模型(1)在激勵函數非單調不減時， 已有的結果的條件約束都是相當強的. 本文去掉激勵函數單調不減的假設， 給出模型(1)的平衡點存在和全局漸近穩定的較弱化的條件.

為了表述的方便， 引進下面的一些符號. 給定列向量x=(x1，x2，…，n)T， 其中符號T表示轉值，‖x‖=(xTx)12表示向量x的2-范數. 如果A=(aij)n×n為一個給定的矩陣， AT，A-1分別表示A的轉值和逆. 如果A是一個對稱矩陣， A>0意味著A是正定的. 對稱矩陣A的最大和最小特征值分別用符號λm(A)和λM(A) 表示.

定義1 模型(1)的平衡點x稱為全局漸近穩定的， 如果它是在Lyapunov意義下局部穩定的且是全局吸引的， 這里全局吸引指的是當t→+

SymboleB@ 時， 模型(1)的每條軌跡都趨向于x. 

引理 1(Schur補^[7]). 線性矩陣不等式

Q(x)S(x)S(x)TR(x)>0，

其中:Q(x)=Q(x)T，R(x)=R(x)T， 等價于條件:

(i)Q(x)>0， R(x)-S(x)TQ(x)-1S(x)>0;

(ii)R(x)>0， Q(x)-S(x)R(x)-1S(x)T>0. 2 主要結果

定理1 假設(H)成立. 如果存在正定對角矩陣 P=diag(p1，p2，…，pn)>0 和Q=diag(q1，q2，…，qn)>0， 正定矩陣H=(hij)n×n>0， 使得 

N=-QA-ATQ-H-QB-BTQH>0(2)

和

-kiqiλM{WT(PD)-1W}piλm{N}<12， i=1，2，…，n. (3)

其中，W=[-PA-PB]， 那么模型(1)至少存在一個平衡點.

證明 不失一般性， 假設存在常數 k-i，k+i 使得對任意 u∈R 和 i=1，2，…，n， 有 

k-i≤fi(u)u≤k+i.(4)

實際上， 如果式(4)不成立， 可以把模型 (1) 重新改寫成 

dx(t)dt=-Dx(t)+A(x(t))+B(x(t-τ))+，

其中，(s)=f(s)-f(0) 和 =I+(A+B)f(0).

假設 x*=(x*1，x*2，…，x*n)T 為模型 (1) 的一個平衡點，那么 x*滿足 

-Dx*+(A+B)f(x*)+I=0.

經 濟 數 學第 27 卷

第2期黃小紅:時滯Hopfield神經網絡模型漸進穩定性的新準則

考慮同倫映射F(x，λ)=-Dx+λ(A+B)f(x)+λI，λ∈[0，1]，x∈Rn.

當k-i>0時， 由條件(3)， 存在一個正常數α使得

λM{WT(PD)-1W}λm{N}<α<-pi2qik-i.(5)

當k-i≥0時， 任意選取一個正常數α使得λM{WT(PD)-1W}λm{N}<α. (6)

作下面的計算 

(2xTP+2αfT(x)Q)F(x，λ)=(2xTP+2αfT(x)Q)(-Dx-λ(A+B)f(x)+λI)

=-xTPDx-2αfT(x)QDx+λ(2xTP+2αfT(x)Q)I

-xTfT(x)fT(x)M(λ)xf(x)f(x)

≤-xTPDx-2αfT(x)QDx +λ(2‖P‖2‖I‖2‖x‖2+2α‖Q‖2‖I‖2‖f(x)‖2)

-xTfT(x)fT(x)M(λ)xf(x)f(x)，

其中M(λ)=PD-λPA-λPB-λATPλα(-QA-ATQ-H)-λαQB-λBTP-λαBTQλαH.

由式 (4)， 有結論fT(x)QDx=∑ni=1fi(xi)qidixi≥∑ni=1k-iqidix2i

和 ‖f(x)‖2≤k‖x‖2， 其中，k=max1≤i≤n{|k-i|，|k+i|}. 根據 模型(1) 和 式(5)， 得到 αN-λWT(PD)-1W>0. 由引理1， 有 M(λ)>0. 因此， 

(2xTP+2αf(x)Q)F(x，λ)≤-∑ni=1 (pidi+2αk-iqidi)x2i+λ(2‖P‖2‖I‖2

+2Kα‖Q‖2‖I‖2‖x‖2≤-l2‖x‖22+λr*，其中l=min1≤i≤n(pidi+2αk-iqidi)，r=2‖P‖2‖I‖2+2kα‖Q‖2‖I‖2和r*=sups∈[0，rl)s(r-l2s)>0.

由式 (5) 和 式(6)， 有 l>0. 令 Ω={x∈Rn:‖x‖2<2r*+1l}.

可以看出Ω是Rn的一個有界開子集而且對于xΩ且λ∈[0，1]，有 (2xTP+2αfT(x)Q)F(x，λ)<0. 那么對所有λ∈[0，1]，方程F(x，λ)=0在集合Ω外無解. 因為F(x，0)=-Dx且D是非奇異的， 因此|deg(F(x，0)，Ω，0)|=1.由同倫變換和解的拓撲度性質， 則方程F(x，1)=0在Ω內至少有一個解ξ.也就是說， 模型(1)至少有一個平衡點.

假設模型 (1) 有一個平衡點 x*=(x*1，x*2，…，x4n). 為了簡化模型 (1) 的全局漸近穩定性的證明， 作下面的轉換 y(t)=x(t)-x，y(t-τ(t))=x(t-τ(t))-x.這樣， 模型 (1) 轉化成形式: dy(t)dt=-Dy(t)+Ag(y(t))+Bg(y(t-τ))， (7)

其中，y(t)=(y1(t)，y2(t)，…，yn(t))T∈Rn，g(y(t))=(g1(y1(t))，g2(y2(t))，…，gn(yn(t)))T∈Rn，gi(yi(t))=fi(yi(t)+x)-fi(x).

容易得到gi(0)=0，i=1，2，…，n， 而且， 由假設(H)， 存在常數 k-i，k+i，使得所有的 u∈R 和 i=1，2，…，n， 有k-i≤gi(u)u≤k+i.(8)

定理 2 如果定理1中的條件全部成立， 那么模型 (1) 的唯一平衡點是全局漸近穩定的.

證明 只需要系統 (7) 的原點是全局漸近穩定的.

當k-i>0時，由條件(3)，存在一個正常數α使得λM{WT(PD)-1W}λm{N}<α<-pi2qik-i.(9)當k-i≥0時， 任意選取一個正常數α使得λM{WT(PD)-1W}λm{N}<α. (10)

根據模型(1)，式 (9) 和式(10)，得到αN-λWT(PD)-1W>0 然后利用引理 1，有 M=PD-PA-PB-ATPα(-QA-ATQ-H)-αQB-BTP-αBTQαH>0.

考慮下面的Lyapunov泛函V(t，y(t))

V(t，y(t))=∑ni=1piy2i(t)+2α∑ni=1qi∫yi0gi(s)ds+α∫tt-τgT(y(s))Hg(y(s))ds.

由式(8)得到 ∫yi0gi(ρ)dρ≥12k-iy2i.盡管 V(t，y) 的第二部分可能是負的， 但是條件(9)可以保證t≥0時， 對于所有的y≠0有V(t，y)≥0， V(t，0)=0， 且有當‖y‖2→+

SymboleB@ 時， V(t，y)→+

SymboleB@ . 因此， V(t，y) 是正定的且是徑向無界的. 據所知， 幾乎所有已有的穩定性結果的獲得， 都是定義的Lyapunov函數的各部分都是正的.

沿著系統 (6) 的解計算 V(t，y(t)) 的導數， 有 

dVdt=2yT(t)P(t)+2αgT(y(t))Q(t)+αgT(y(t))Hg(y(t))-αgT(y(t-τ))Hg(t-τ)

≤-yT(t)PDy(t)-2αgT(y(t))QDy(t)-yT(t)gT(y(t))gT(y(t-τ))My(t)g(y(t))g(y(t-τ))

≤-yT(t)PDy(t)-2αgT(y(t))QDy(t).由式(8)可得 gT(y(t))QDy(t)=∑ni=1gi(yi)qidiyi≥∑ni=1k-iqidiy2i.

根據 式(9) 和式(10) 有dVdt≤-∑ni=1(pidi+2αk-iqidi)y2i≤0.因此，y=0是全局漸近穩定的. 那么模型 (7) 的平衡點 x 是全局漸近穩定的.

3 結 論

本文在假設(H)的前提下， 去掉了大多數文獻要求激勵函數的有界性、可微性和單調性假設， 通過構造Lyapunov泛函， 獲得了幾個確保變時滯神經網絡模型的平衡點的存在和全局漸近穩定的準則. 本文的結果改進和推廣了現有的結果. 參考文獻

[1] HOPFIELD J J. Neurons with graded response have collective computational properties like those of twostate neunons[J].ProcNatAcadSci， 1984，81:3088-3092.

[2] HOPFIELD JJ， TANK DW. Computing with neural circuits: A model[J].Science， 1986，233:625-633.

[3] BOUZERDOUM A， PATTISON T R. Neuron network for quadratic optimization with bound constraints[J].IEEE TransNeural Netw，1993，4:293-303.

[4] KOSKO B. Bidirectional associative memories[J].IEEE Trans SystMan Cybern， 1998，18:49-60.

[5] PARK JH. Global exponential stability of cellular neural networks with variable delays[J].ApplMathComput，2006，183:1214-1219.

[6] ZHANG Y， HENG PA， ADA WCFu. Estimate of exponential convergencerate andexponential stability for Neural Networks[J]， IEEE Trans. Neural Netw.， 1999，10:1487-1493.

[7] BOYD S， GHAOUI LE， FERON E..Balakrishnan， Linear matrix inequalities in system and control theory[M]. Philadelphia: SIAM; 1994.

New Criteria for Asympotical Stability of Hopfield Neural Networks with Delays

HUANG Xiaohong1，2

(1.College of Mathematics and Econometrics， Hunan Univ， Changsha， Hunan 410082.

2.Hunan College of Engineering， Changsha， Hunan 410114)

Abstract Without assuming the boundedness， differentiality and monotonicity of the activation function， we constructed a Lyapunov function to investigate thestability of Hopfield neural networks with delays. Some new criteria for global asympotical stability of equalibrium have been obtained. The results improve and extend some existing results .

KeywordsHopfield neural networks; global asympotical stability;Lyapunov function; delay