競爭環境下多個損失規避零售商的供應鏈回購契約

摘 要 研究由單個風險中性的供應商與多個競爭的損失厭惡零售商組成的兩階段供應鏈，在回購契約中考察競爭和零售商的損失厭惡態度對其最優訂購決策和整個供應鏈協調性的影響.應用博弈論的方法，證明了該供應鏈博弈存在唯一的純策略Nash均衡，而且競爭使得零售商的總訂購量上升，而損失規避使得總訂購量下降.競爭的存在削弱了損失厭惡效應對整個供應鏈協調性的影響.研究還發現，零售商的最優訂購量隨供應商的批發價增大而增大，隨回購價格的增大而減少，并且在一定條件下回購契約可以使得供應鏈達到協調.

關鍵詞 供應鏈;競爭;回購契約;損失規避;Nash均衡

中圖分類號 F274，O225 文獻標識碼:A

1 引 言

在一個分散的供應鏈系統中，供應鏈成員關注的是自身利益的最大化，供應鏈整體績效很難達到最優，于是引發了人們對供應鏈協調問題的研究.利用企業間的契約(合同)關系作為協調機制是現代市場環境下最常用的方法.當供應鏈上的各個企業以各自效用為目標分別做出的決策， 與以供應鏈總利潤為目標集中做出的決策相一致時， 供應鏈就達到了協調^[1].現有的相關研究主要討論各種契約是否能夠協調供應鏈，如果不協調，供應鏈的效率如何.回購契約是其中研究得比較多的契約.

回購契約是指供應商在銷售期初以某個批發價格將產品銷售給零售商，零售商在銷售期末將積壓的產品以某個回購價格退還給供應商，其目的是給零售商一定的保護，引導零售商增大訂購量，使由于需求不確定而產生的風險由供應商和零售商共同承擔.回購契約經常應用在易逝品的銷售渠道中，如服裝、書報雜志、牛奶、化妝品等.Pasternack(1985)第一個指出回購契約可以協調零售價格固定下的供應鏈^[2].MarvelPeek (1995)指出制造商接受和采用回購契約的關鍵在于顧客需求的不確定性，但他們沒有具體給出需求不確定性如何影響制造商的決策^[3];Lee等(2000)對回購契約進行了系統的描述，就制造商是采用全部退貨還是不退貨策略進行了深入的分析^[4];MantralaRaman(1999)則從零售商角度對供應鏈回購契約進行研究，討論了在給定批發價情況下，需求變化和制造商回購契約如何影響零售商的最優訂購決策^[5].

大多數學者在研究供應鏈回購機制時通常假設決策者是風險中性的^[2-5]，而在現實生活中，對于服裝、報紙等市場需求的不確定性大，銷售季節短且有時效性的產品來說，零售商首要關心的是自身企業的存活而不是最終的贏利，即他們通常是損失規避的.因此本文認為在供應鏈契約協調研究中考慮決策者的損失規避偏好更具有現實意義.目前，決策者為損失規避下的供應鏈管理問題已有一些研究成果.WangWebster(2007)在收益/損失共享契約與回購契約下，研究了當零售商的效用函數為線性損失厭惡效用函數時，由單個風險中性的供應商與損失厭惡的零售商組成的供應鏈的協調性問題^[6].Wang Webster(2009)則研究了損失規避的報童問題，指出當存在缺貨損失費用時，損失規避的報童的訂購量大于風險中性的報童的訂購量，而且損失規避的報童最優訂購量會隨批發價的升高而增加，隨零售價的升高而降低^[7].國內學者ShiXiao(2008)分別針對回購契約與價格折扣契約情形，研究了由單個風險中性的供應商與損失厭惡的零售商組成的供應鏈協調問題，發現這兩種類型的契約都能夠協調供應鏈而且可以在制造商和零售商之間任意的配置預期渠道利潤^[8].王虹與周晶(2009)針對由單個風險中性的供應商與損失規避的零售商組成的供應鏈，研究了回購契約下損失規避零售商的最優決策，分析結果表明零售商由于害怕損失會做出偏離系統最優的決策^[9].

從上述這些文獻的研究內容來看，絕大多數只考慮到單個供應商與單個零售商的協調問題.現實供應鏈中零售商通常不只一個，且零售商之間的競爭是必然存在的.即一個零售商的決策不僅影響其自身的效用，同時也影響到他人的決策.因此，研究競爭環境下的供應鏈優化與協調問題受到了不少學者的關注.如Mahajan Ryzin (2002)^[10]在動態的消費者需求下研究了n個競爭的且提供替代產品的企業間的庫存競爭問題.Cachon(2003)^[11]研究了回購契約對由多個零售商組成的供應鏈的協調性問題.BernsteinFedergruen(2005)^[12]在需求不確定環境下考察了由n個競爭的風險中性零售商組成的分散式供應鏈系統的均衡行為.國內學者趙泉午等(2004)^[13]在風險中性假設下，針對由單個供應商和多個零售商構成的易逝品兩級供應鏈，采用貼近實際的有效需求函數證明了供應商采用回購合同時，零售商庫存競爭存在唯一的純策略納什均衡，且回購合同可以實現供應鏈協調.經 濟 數 學第 27 卷

第2期胡支軍等:競爭環境下多個損失規避零售商的供應鏈回購契約

與文獻[6-9]研究具有單個損失規避型零售商的供應鏈協調問題不同的是，本文將從多零售商的視角研究競爭環境下的供應鏈優化與協調問題，通過建立回購契約模型，應用博弈論的方法，尋求供應鏈博弈的Nash均衡解，并考察競爭和零售商的損失厭惡偏好對其最優訂購決策和整個供應鏈協調性的影響.證明了這種供應鏈博弈中存在唯一的Nash均衡，并且零售商之間的競爭使得總訂購量上升，而其損失規避態度使總訂購量下降.需要指出的是，以往的文獻[10-13]等在研究競爭環境下的供應鏈優化與協調問題時均假設零售商為風險中性的，而本文則假設零售商是損失厭惡的，這一假設更加具有現實意義.2 問題描述與基本模型

考慮由一個上游供應商與下游n個相互競爭的零售商組成的兩級單周期供應鏈系統，需求是外部隨機變量，所有信息對參與雙方都是共同知識.供應商提供單一產品且生產能力無限大，n個零售商根據需求預報向供應商訂購總量為Q的產品，供應商根據零售商的訂貨以單位成本c組織生產.市場總需求X為非負的服從概率密度函數f(#8226;)和概率分布函數為F(#8226;)的隨機變量，假定F(x)是連續的，可導且可逆的.零售商i在銷售期初以批發價ω從供應商處購買Qi數量的產品，同時，供應商以單位回購價g回收零售商的未售出產品，每個零售商的單位產品零售價為p，產品殘值為v，且殘值對供應商和零售商沒有區別.

所有零售商的總訂購量為Q=∑ni=1Qi，并記 Q-i=Q-Qi.在表示零售商之間的競爭關系上，采用Cachon(2003)^[11]中的模型.具體地，對第i個零售商，其面臨的市場需求Xi與其訂購量Qi成正比:

Xi=Qi/QX.

上式表明顧客在購買該產品時不會考慮是哪個零售商的產品，只要產品有庫存顧客就可以購買.從此關系式也可看出，零售商的決策是相互影響的.令H(xi)與h(xi)分別為Xi的概率分布函數與概率密度函數，則有h(xi)=(Q/Qi)f(x).為簡單起見，本文不考慮產品的缺貨懲罰成本.

記零售商i的效用函數為ui，在表示其損失規避態度時，采用分段線性效用函數(KahnemanTversky，1979)^[15]: 

ui(πi)=πi， πi≥0，λπi， πi<0，(1)

其中，πi表示第i個零售商的利潤.參數λ≥1描述損失規避程度，λ越大，零售商的損失規避程度越高.λ=1時，零售商為風險中性的.式(1)表明零售商更加關注失去的利潤，因此是損失規避的.

由于供應商與零售商的風險偏好不同，它們的效用不能直接相加并比較，所以本文參照文獻[1，6-8]中的處理方法，認為在分散決策下零售商的總訂購量達到集中控制下的系統最優訂購量時，供應鏈系統達到協調.因此首先需要建立集中控制下的供應鏈優化模型，以尋求系統最優的訂購量.

將供應商與零售商看成一個整體，假設其為風險中性的，即以期望利潤為自身效用.則在回購契約下，整個供應鏈的期望利潤E[πsc(X，Q)]為

E[πsc(X，Q)]=∫Q0[px-c Q+v(Q-x)]f(x)dx+∫+

SymboleB@ Q(p-c)Qf(x)dx.(2)

最大化公式(2)，即可得到集中決策下整個供應鏈的最優訂購量為Q*=F-1p-cp-v.

當供應鏈系統為分散決策時，供應商提供統一的回購契約，當下游第i個零售商的訂購量為Qi時，其期望利潤為

E[πi(X，Qi，Q-i)]=∫Qi0[pxi-ωQi+g(Qi-xi)]h(xi)dxi+∫+∞Qi(pQi-wQi)h(xi)dxi

=QiQ[∫Q0[px-ωQ+g(Q-x)]f(x)dx+∫+

SymboleB@ Q(p-ω)Qf(x)dx].(3)

記q1(Q)=ω-gp-gQ，當X

E[ui(πi(X，Qi，Q-i))]

=E[πi(X，Qi，Q-i)] +

(λ-1)QiQ[∫h(Q)0px-ωQ+g(Q-x)]f(x)dx. (4)

供應商的期望效用函數為E[us(Q，w，g)]=(w-c)Q-(g-v)∫Q0(Q-x)f(x)dx. (5)

3 模型分析

首先分析在n個零售商博弈的供應鏈中各零售商最優訂購量的存在性和唯一性.然后討論模型中各參數的變化對零售商最優訂購量的影響.

對式(4)關于Qi分別求一階、二階導數可得

E[ui(πi(X，Qi，Q-i))]Qi=Q-iQ2∫Q0(p-g)xf(x)dx+(p-w)-(p-g)F(Q)

+(λ-1)[Q-iQ2∫q1(Q)0(p-g)xf(x)dx-(ω-g)F(q1(Q))].(6)

2E[ui(πi(X，Qi，Q-i))]Q2i=-2Q-iQ3∫Q0(p-g)xf(x)dx-QiQ(p-g)f(Q)

-(λ-1)#8226;[2Q-iQ3∫q1(Q)0(p-g)xf(x)dx-QiQ(ω-g)2p-gf(q1(Q))].(7)根據第1節中對各參數的假設，由式(7)可知

2E[ui(πi(X，Qi，Q-i))]Q2i<0.

定理1 在n個零售商的供應鏈博弈中至少存在一個對稱的純策略Nash均衡.

證明 根據Fudenburg Tirole (1991)^[16]的定理1.2，存在純策略Nash均衡的充分條件是

1)博弈的策略空間是歐氏空間中的非空緊凸集;

2)每個參與人的支付函數是連續且擬凹的.在上述n個零售商競爭的博弈中，各零售商同時選擇他們的策略，即產品的訂購量Qi∈ Γ=[0，S]，這里Γ是零售商i的策略空間且S是一個充分大的常數.于是，通過選擇足夠大的上界S以及緊凸集[0，S]×[0，S]×…×[0，S]，則條件(1)得到滿足.又由于已經假設F(x)是連續的，因此零售商的期望效用函數也是連續的，而且已經驗證了零售商i的期望效用函數對Qi的二階導數是小于0的，則條件2)也得到滿足.因此在本文的n個零售商供應鏈博弈中至少存在一個純策略Nash均衡.又由于在該供應鏈博弈中，所有零售商是同質的，因此純策略Nash均衡也是對稱的.證畢.

根據定理1，在n個零售商的供應鏈博弈中可能存在唯一的Nash均衡也可能有多個Nash均衡.如果存在唯一的Nash均衡，則該它可以被認為是分散決策下n個零售商供應鏈博弈的預期結果.接下來將證明該供應鏈博弈的Nash均衡是唯一的.

引理1 2E[ui(πi(X，Qi，Q-i))]/QiQ-i<0.

證明



2E[ui(πi(X，Qi，Q-i))]QiQ-i=(p-g)(Qi-Q-i)Q3[∫Q0xf(x)dx+(λ-1)∫q1(Q)0xf(x)dx]

-QiQ[(p-g)f(Q)+(λ-1)(ω-g)2p-gf(q1(Q))].

當n≥2時，Qi≤Q-i，從而2E[ui(πi(X，Qi，Q-i))]/QiQ-i<0.證畢.

由引理1可知，在其他零售商最優訂購量增加的情況下，零售商i的最優訂購量是嚴格減少的.根據CachonNetessine(2003)^[17]的定義3，該博弈是一個次模(submodular)博弈.下面將利用壓縮映射(contract mapping)原理來證明該博弈的純策略Nash均衡是唯一的.

定理2 在n個零售商的供應鏈博弈中存在唯一的對稱純策略Nash均衡.

證明 由于2E[ui(πi(X，Qi，Q-i))]/QiQ-i和2E[ui(πi(X，Qi，Q-i))]/Q2i都小于0.因此在n個零售商博弈的供應鏈中的最優反應映射為

QiQ-i=2E[ui(πi(X，Qi，Q-i))]/QiQ-i2E[ui(πi(X，Qi，Q-i))]/Q2i=-2E[ui(πi(X，Qi，Q-i))]/QiQ-i-2E[ui(πi(X，Qi，Q-i))]/Q2i.

因為-2E[ui(πi(X，Qi，Q-i))]/QiQ-i-(-2E[ui(πi(X，

Qi，Q-i))]/Q2i)=-(p-g)Q2[∫Q0xf(x)dx+(λ-1)∫q1(Q)0xf(x)dx]<0，

所以得到

-2E[ui(πi(X，Qi，Q-i))]/QiQ-i-2E[ui(πi(X，Qi，Q-i))]/Q2i<1，

因此有QiQ-i<1.即該供應鏈博弈中的最優反應映射在整個策略空間上是壓縮映射.于是，根據CachonNetessine(2003)^[17]的定理4和定理5，在n個零售商博弈的供應鏈中存在唯一的純策略納什均衡.證畢.

由命題定理1和定理2可知，該博弈的納什均衡必須滿足零售商的一階必要條件.記Q*i為第i個零售商的最優訂購量，*=Q*i+Q*-i=nQ*i為n個零售商的總的最優訂購量.通過簡單的代數運算，可以將一階必要條件式(6)改寫為

G(*，ω，g，n，λ)=n-1n1*∫*0(p-g)xf(x)dx+(p-w)-(p-g)F(*)

+(λ-1)[n-1n1*∫q1(*)0(p-g)xf(x)dx-(ω-g)F(q1(*))]=0 (8)

定理3 在本文研究的供應鏈中，零售商間的競爭使得總訂貨量上升，即*/n>0;零售商的損失規避效應使得總訂貨量下降，即*/λ<0.

證明 由式(8)，經計算可得

G*=-n-1n1*2∫*0(p-g)xf(x)dx-1n(p-g)f(*)

-(λ-1)[n-1n1*2∫q1(*)0(p-g)xf(x)dx-1n(ω-g)2p-gf(q1(*))]<0，

Gn=1n21*(p-g)[∫*0xf(x)dx+(λ-1)∫q1(*)0xf(x)dx]>0，

Gλ=n-1n1*∫q1(*)0(p-g)xf(x)dx-(ω-g)*F(q1(*))

<1*∫q1(*)0[(p-g)x-(ω-g)*]f(x)dx<0.

因此，根據隱函數定理可得

*n=-G/nG/*>0，*λ=-G/λG/*<0.證畢.

定理4 在本文研究的供應鏈中，零售商的最優訂購量與供應商制定的批發價ω成反比，即*/ω<0;與供應商制定的回購價格成正比，即*/g>0.

證明 類似地，由式(8)經計算可得

Gω=-1-(λ-1)[1n(ω-g)(p-g)*f(q1(*))+F(q1(*))]<0，

Gg=F(*)-n-1n1*∫*0xf(x)dx+(λ-1)[F(q1(*))

-n-1n1Q*∫q1(*)0xf(x)dx+1n(ω-g)(p-ω)*(p-g)2f(q1(*))]

>1nF(*)+(λ-1)[1nF(q1(*))+1n(ω-g)(p-ω)*(p-g)2f(q1(*))]>0.

因此，根據隱函數定理可得

*/ω=-G/ωG/*<0，*/g=-G/gG/*>0.證畢.

由此知道，“雙重邊際”效應是由于定價過高使得市場需求萎縮，引起零售尚訂購量下降;而損失規避效應則是由于市場需求的不確定性使得零售商因害怕產品供過于求而成為呆滯庫存，從而減少訂購量.兩者引起的訂購量下降進一步使得供應鏈整體收益下降，供應鏈效率低下.當供應商面對多個相互之間存在競爭且損失規避的零售商時，定理3指出雖然損失規避效應仍然使得零售商的總訂貨量下降， 但競爭的存在卻使得總訂貨量上升，同時也為供應鏈達到協調狀態提供了可能性.

4 供應鏈協調性分析

在供應鏈成員間引入契約的目的在于平衡供應鏈成員的決策激勵，使各個成員間實現協調同步，如果供應鏈各成員從自身利益最大化角度所采取的行動策略能夠使得整個供應鏈系統利益達到最大，那么整個供應鏈就達到了協調.

在本節中，將證明在一定的條件下，供應商運用回購契約可以使得整個供應鏈系統達到協調.即供應商可通過確定回購價g使零售商的最優訂購量*等于Q*，亦即Q*需滿足一階必要條件式 (8)

G(g)=n-1n1Q*∫Q*0(p-g)xf(x)dx+(p-w)-(p-g)(p-c)p-v

+(λ-1)[n-1n1Q*∫q1(Q*)0(p-g)xf(x)dx-(ω-g)F(q1(Q*))]=0.

記λ(n)=1+(p-ω)-1n(p-c)-n-1n1Q*∫Q*0F(x)dxn-1n(p-v)Q*∫q1(Q*)0F(x)dx+(ω-v)nF(q1(Q*))，表示臨界損失厭惡水平，則有定理:

定理5 當λ>λ(n)時，存在唯一的回購價格g*∈(v，ω)使*=Q*，即整個供應鏈能夠達到協調.反之，若λ≤λ(n)，則Q*<*.

證明 從定理4的證明中知，G/g>0， 即對任一g∈(v，ω)，G(g)是一個嚴格遞增的函數.當g=ω時，有

G(ω)=n-1n1Q*∫Q*0(p-ω)xf(x)dx+(p-w)(c-vp-v)

+(λ-1)[n-1n1Q*∫q1(Q*)0(p-ω)xf(x)dx]>0.

經計算，當g=v時，有

G(v)=(p-ω)-1n(p-c)-n-1n1Q*∫Q*0F(x)dx

-(λ-1)[n-1n(p-v)Q*∫q1(Q*)0F(x)dx+(ω-v)nF(q1(Q*)).

因此，若令λ(n)=(p-ω)-1n(p-c)-n-1n1Q*∫Q*0F(x)dxn-1n(p-v)Q*∫q1(Q*)0F(x)dx+(ω-v)nF(q1(Q*))+1，則當λ>λ(n)時，有G(v)<0，從而存在唯一的g*∈(v，ω)，使得Q*=Q*.又因為當λ≤時，有G(v)>0，從而Q*<*.證畢.

根據定理5，若每個零售商的損失規避水平高于臨界損失規避水平，則存在唯一的回購價格使得供應鏈可以達到協調.反之，若每個零售商的損失規避水平低于臨界損失規避水平，則由于競爭的需求偷竊效應將比損失規避效應更加顯著，從而使得供應鏈系統的最優存貨高于沒有競爭時的最優存貨.此外，在均衡狀態時，由式(5)易知供應商的期望效用是零售商數目n的增函數.因此，當給定供應商的批發價ω時，隨著零售商數目的增加，供應商的期望效用將獲得提高，從而在一定程度上提高供應商進行供應鏈協調的主動性.同時，容易驗證定理5中λ(n)是n的增函數，即當n增大時，也就是零售商間的競爭激烈時，只有在零售商擁有較大的損失厭惡程度時，才存在回購價格使整個供應鏈達到協調.圖1給出了銷售價格p=5，批發價ω=3，產品成本價c=2，產品殘值v=1，回購價格g=2，需求x的概率密度函數f(x)為[0，10]區間內均勻分布的情況下，λ(n)隨n的變化曲線.

圖1 λ隨n的變化曲線

5 結束語

本文設計了競爭環境下由單個風險中性的供應商和多個損失規避的零售商構成的兩級供應鏈的回購契約.明顯發現，在這種供應鏈博弈中存在唯一的納什均衡，并且競爭使得總訂購量增加，而零售商的損失規避則使總訂購量減少.存在一個臨界損失規避水平，當零售商的損失規避程度低于該水平時，競爭環境下整個供應鏈系統的最優總訂購量要大于不存在競爭時的總訂購量.同時還發現，零售商的最優訂購量隨供應商制定的批發價增大而增大，隨回購價格的增大而減少.研究表明，傳統的在風險中性假設下得到的由于競爭導致供應鏈庫存過多的結論，在本文所討論的競爭環境下的損失規避供應鏈模型中不一定成立.本文的主要貢獻在于將回購契約應用到具有多個損失規避型零售商的供應鏈結構中，分析了競爭和零售商的損失厭惡偏好對其最優訂購決策以及整個供應鏈協調性的影響.本文的研究對現代市場環境下的供應鏈管理問題具有一定的理論和現實意義.

值得指出的是，本文假設多個零售商是同質的，而在實際生活中由于零售商自身地位等條件不同，很可能面臨不同的契約條款，因此未來的研究可以考慮供應商提供給各零售商的契約參數不盡相同時，多個零售商之間的訂購量與價格競爭問題.

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Study on Buyback Contract with Competition between Multiple Lossaverse Retailers

HU Zhijun，WANG Yongli，XIANG Shuwen

( College of Science， Guizhou University， Guiyang，Guizhou 550025， China)

Abstract This paper considered a twostage supply chain composed of a riskneutral supplier and multiple competing retailers， and investigated the combined impact of competetion and retailer's loss aversion attitiude on the decisionmaking behavior of retailer and the coordination of supply chain with buyback contract. Based on game theory， it shows that in this supply chain game， there exists a unique pure strategy Nash equilibrium， and the whole system's optimal order quantity increases as the degree of competition increases but decreases as the loss aversion increases. Meanwhile，the competition weakens the effect of loss aversion on coordination of the whole supply chain.It also shows that the lossaversion retailer's optimal order quantity decreases asthe increase ofthe wholesale price and the decrease ofthe buyback credit .Moreover， the supply chain can achieve coordination with a buyback contract.

Keywordssupply chain;competition; buyback contract ; loss aversion; Nash equilibrium