模糊環境下美式看跌期權的定價研究

摘 要 應用模糊集理論將無風險利率和波動率進行模糊化，以梯形模糊數替代精確值，將美式期權的定價模型擴展到美式期權模糊定價模型.得到了模糊風險中性概率表達式，并在此概率測度下推導出多期二叉樹模糊定價模型，以及二叉樹上各節點以梯形模糊數表示的模糊期權價值，以數值模擬演示了美式看跌期權的模糊定價過程.最后分析了不同風險偏好投資者在不確定環境下的套利決策行為，結果表明風險偏好大的投資者具有較高的置信水平、較小的主觀模糊期權價格以及較大的無風險套利區間.

關鍵詞 模糊數;美式看跌期權;二叉樹定價模型

中圖分類號 O159， F830.9文獻標識碼:A

1 引 言

在BlackScholes期權定價公式和CRR^[1]二叉樹定價模型中，股票現價、執行價格、到期剩余時間、無風險利率和波動率是5個重要的變量.其中，執行價格在期權合約定價的時候是確定的，股票現價和到期剩余時間隨著時間的變化在每個時期也是確定的.而無風險利率和波動率在市場上并非直接可交易的產品，其數值通常是由其他產品決定的.前者由貨幣市場交易的債券等決定，后者則由標的資產的歷史數據的波動率或是由歐式期權價格的隱含波動率計算得到.這造成了在定價模型中無風險利率和波動率的不確定性.由于不確定性包含隨機性和模糊性兩個部分，二者不能互相替代.概率理論可用來描述事件的隨機性，但無法解決不確定中的模糊性問題.模糊理論的產生為描述市場信息的不確定性提供了有用工具.正是考慮到金融市場上存在隨機和模糊的不確定性因素，研究者開始考慮對經典的期權定價理論進行改進.

由于無風險利率和波動率的非確定性違背了BlackScholes期權定價公式和CRR^[1]二叉樹定價模型對這兩個變量是常數的假設，因此，在定價模型中用模糊數替代這兩個變量的確定數值，將對投資決策有更好的指導作用.本文則是在CRR^[1]二叉樹定價模型的基礎上，引入梯形模糊無風險利率和梯形模糊波動率，推導美式看跌期權二叉樹模糊定價模型，并得到美式看跌期權的模糊價格.

將模糊數學和模糊集理論應用到期權的定價研究最早始于Muzzioli和Torricelli^[2]和Yoshida^[3].Yoshida^[3-6]給出了股票價格服從的模糊隨機過程，在模糊決策目標函數下，以模糊期望函數計算出離散和連續的美式期權的定價模型歐式期權價格.Wu^[7-8]研究了模糊利率、模糊波動率和模糊股票價格下歐式期權的定價，并計算出期權價格對應的置信度.Yoshida等^[9] 在模糊測度中引入加權函數，提出了計算模糊數均值的新方法，并在其基礎上研究美式看跌期權的定價.Muzzioli和Torricelli^[10]以及Muzzioli和Reynaerts^[11]分別研究了模糊波動率下歐式和美式期權的二叉樹定價模型，并以DAX指數期權價格數據做了實證分析.Buckley和Eslami^[12] 除研究期權的模糊定價外，還研究了遠期和期貨的模糊定價.Liu^[13] 研究了模糊利率、模糊波動率和模糊匯率下歐式外匯期權的定價，并以EUR/USD、GBP/USD和 JPY/USD 的期權價格歷史數據做了實證研究.綜述已有研究，從已有文獻來看，模糊期權定價的研究主要考慮的是模糊波動率，很少考慮模糊利率，這與實際市場中期權定價的多個變量具有模糊性的事實相背;在模糊數選擇方面，由于三角模糊數在計算中比較簡單，所以大多文獻采用該類模糊數，但與梯形模糊數相比，其反映的信息量較少，僅有Muzzioli和Reynaerts^[11]采用的是梯形模糊數，但該研究僅考慮模糊波動率，并未考慮模糊利率.

本文在已有的研究基礎上，在二叉樹定價模型中，選擇更為復雜的梯形模糊數表示無風險利率和波動率，研究美式看跌期權的模糊定價模型.通過計算風險中性的模糊概率測度，得到標的資產(股票)價格的模糊二叉樹路徑，計算出美式看跌期權的模糊價格.本文最后還研究了以主觀置信度衡量的不同風險偏好投資者，在不確定環境下的主觀模糊期權價格和套利決策行為，這是已有研究并未涉及的.

2 美式期權二叉樹模糊定價模型

經 濟 數 學第 27 卷

第2期于孝建:模糊環境下美式看跌期權的定價研究

CRR^[1]二叉樹定價模型是在美式期權定價中廣泛采用的模型.本文將該模型擴展到美式看跌期權的模糊定價模型.首先考慮一個單期的二叉樹模型，令時間t = {0，1}，以及兩種基礎證券，即貨幣市場賬戶B和股票S.貨幣市場賬戶B在初期 t = 0 時價值為1，在t = 1時價值為1+r.由于貨幣市場無風險利率r是一個估計值并非精確值，用一個梯形模糊數=(r1， r2， r3， r4)來描述無風險利率.股票價格在初期 t = 0 時是可觀察到的確定值S0，在t = 1時股票價格未知，而通常用股價波動率來計算該時點的股價.由于股價的波動率多由股價歷史數據估計或是由歐式期權隱含波動率預測得到，并非對應時點上的確定值，因此，在本文中，同樣采用一個梯形模糊數=(σ1，σ2，σ3，σ4)來描述股價波動率.

采用CRR^[1]的方法，假設股價在t = 1時若上漲，則上漲到uS0，若下跌，則下跌到dS0.其中，u和d分別是上漲因子和下跌因子，可通過市場歷史數據來估計上漲因子和下跌因子，通常由股價波動率計算得出，即u=exp (σΔt)，d=1/u.在模糊環境下，得到:

定理1 給定梯形模糊波動率=(σ1，σ2，σ3 σ4)，則上漲因子和下跌因子分別是梯形模糊數=(u1，u2，u3，u4)=(eσ1Δt，eσ2Δt，eσ3Δt，eσ4Δt)和=(d1，d2，d3，d4)=(1/u4，1/u3，1/u2，1/u1).

根據模糊數的四則運算法則易證^[14].

定理2 在無套利機會的假設下，無風險利率1+滿足<1+<，即

d4≤1+r1≤1+r2≤1+r3≤1+r4≤u1.(1)

證明 根據CRR^{[1]}在無套利機會的假設滿足d<1+r

由于u1≤u2≤u3≤u4且d1≤d2≤d3≤d4，因此必須滿足d4≤1+r1且1+r4≤u1.否則，當d4≥1+r1則會出現套利機會，或是當1+r4≥u1時，也會出現套利機會.因此，d4≤1+r1≤1+r2≤1+r3≤1+r4≤u1.證畢

在二叉樹定價模型中還需要確定風險中性概率，即分別對應于上漲因子和下跌因子的上漲概率pu和下跌概率pd.可通過求解以下方程組得到風險中性概率:

pu+pd=1，

upu+dpd=1+r.(2)

由于u、d 和 r 分別為模糊數、和，因此方程組(2) 變換為模糊方程組:

ud=1，ud=1.(3)

定理3 模糊方程組(3)的解為

u=1+r1-d4u4-d4，1+r2-d3u3-d3，1+r3-d2u2-d2，1+r4-d1u1-d1，d=u1-1-r4u1-d1，u2-1-r3u2-d2，u3-1-r2u3-d3，u4-1-r1u4-d4.(4)

證明 采用Buckley和Qu ^[15]求解線性模糊方程組的方法，將求解模糊方程組(3)轉換為求解最大最小值問題:

max u，d，r(resp.min u，d，r)pu=1+r-du-d，max u，d，r(resp.min u，d，r)pd=u-1-ru-d，(5)

其中，u的取值范圍為{u1，u2，u3，u4}，d的取值范圍為{d1，d2，d3，d4}，r的取值范圍為{r1，r2，r3，r4}.

由于puu=d-(1+r)(u-d)2<0，pud=(1+r)-u(u-d)2<0，pur=1u-d>0，則

①當u=u1，d=d1，r=r4同時滿足時，pu取最大值;

②當u=u4，d=d4，r=r1同時滿足時，pu取最小值.

同樣地，由于pdu=1+r-d(u-d)2>0，pdd=u-(1+r)(u-d)2>0，pur=-1u-d<0，則

①當u=u4，d=d4，r=r1同時滿足時，pd取最大值;

②當u=u1，d=d1，r=r4同時滿足時，pd取最小值.

根據模糊數的四則運算^{[14]}，得到模糊方程組(3)的解是式(4).證畢

由式(4)可知，風險中性概率在不確定環境下是由模糊數表示的.在本文中，上漲概率和下跌概率均為梯形模糊數.本文借鑒Muzzioli和Reynaerts^[11]的方法，并擴展到雙模糊變量(模糊利率和模糊波動率)下美式看跌期權的二叉樹模糊定價模型.

假設將時間等分為N份，美式看跌期權合約對應的標的是股票，期初價格為S0，執行價格為K，期權的價值函數為n()(n=N，N-1，…，0)，u和d是風險中性概率，由式(4)計算得到，則二叉樹模糊定價的算法步驟為:

①計算二叉樹上各節點的股價，計算公式為

n，i=S0()i()n-i，其中，i=0，1…，n，n=1，2，…，N.

②先計算終點的期權價值，計算公式為

N(N，i)=max (K-N，i，0)，

其中，i=0，1…，N.

③再向后回推計算各節點的期權價值，計算公式為:

n(n，i)=max {Kn，i，[un+1(n，i)dn+1(n，i)]1+}，

其中，n=N-1，N-2，…，0，i=0，1…，n.

3 期權模糊定價模擬

以數值模擬演示如何使用二叉樹模糊定價模型對美式看跌期權進行定價.假設一個以股價為標的的美式看跌期權合約的期限T為一個月，即T =30/360，合約初期股價 S0 = 100，執行價格K = 102.股價的波動率用一個梯形模糊數表示，即=[0.125， 0.135， 0.140， 0.150].梯形模糊波動率表示對股價未來波動率存在不確定的預期.由于貨幣市場利率每日經常波動，也存在預期的不確定性，因此，同樣引入梯形模糊數表示無風險利率.此處使用一個月的年化無風險利率，即=[3.25， 3.45， 3.54， 4.16].假設用于定價的二叉樹是一個三期包含4個時間點，即N = 3，Δt=10/360，則對應每期的無風險利率是=Δt=[0.000 902 8， 0.000 958 3， 0.000 983 3， 0.001 155].

根據定理1，可得到上漲因子和下跌因子:

= [1.021 1， 1.022 8， 1.023 6， 1.025 3]，= [0.975 3， 0.976 9， 0.977 8， 0.979 4].

將、和代入公式(4)，可以得到風險中性概率:

u= [0.468 5， 0.506 1， 0.524 8， 0.565 0]，d= [0.435 0， 0.475 2， 0.493 9， 0.531 5].利用上文計算二叉樹各節點股價的方法，得到股票價格的二叉樹模糊價格路徑，如圖1所示.

圖1 股票價格的二叉樹模糊價格路徑

S0= 100，

u1= [102.11， 102.28，102.36， 102.53]，

d1= [97.53， 97.69， 97.78， 97.94]，

uu2= [104.25， 104.60， 104.78， 105.13]，

ud2= [99.58， 99.92， 100.08， 100.42]，

dd3= [95.12， 95.44， 95.60， 95.92]，

uuu3= [106.45， 106.98， 107.25， 107.79]，

uud3= [101.68， 102.19， 102.45， 102.96]，

udd3= [97.13， 97.61， 97.86， 98.35]，

ddd3= [92.77， 93.24， 93.47， 93.94].

應用美式看跌期權的二叉樹模糊定價算法，可以得到美式看跌期權的模糊價格路徑為:

3(Suuu3)= [0， 0， 0， 0]，

3(Suud3)= [0， 0， 0， 0.319 4]，

3(Sudd3)= [3.652 9， 4.143 4， 4.387 7， 4.874 5]，

3(Sddd3)= [8.058 7， 8.527 2， 8.760 6， 9.225 7]，

2(Suu2)= [0， 0， 0， 0.169 6]，

2(Sud2)= [2.0833， 2.1651， 2.4158， 2.7687]，

2(Sdd2)= [6.559 5， 6.623 5， 6.877 1， 7.650 6]，

1(Su1)= [0.905 1， 1.027 8， 1.192 1， 1.565 9]，

1(Sd1)= [4.306 3， 4.469 0， 4.660 1， 5.625 4]，

0(S0)= [2.2945， 2.641 1， 2.924 5， 3.871 1].

圖2描繪了美式看跌期權在二叉樹各節點上的模糊價格，每個價格用梯形模糊數表示.在初始節點的期權價格0(S0)用模糊數表示為[2.294 5， 2.641 1， 2.924 5， 3.871 1]，表明美式看跌期權最可能(百分之百)的取值位于區間[2.641 1， 2.924 5]，模糊下界和模糊上界分別為2.2945和3.8711.

由圖2可以看出，通過將無風險利率和波動率的信息以模糊數的形式引入定價模型，得出的以梯形模糊表示的期權價格，為投資者提供了期權價格的可能集合，極大地反映了市場的各種信息.投資者可根據模糊期權價格進行投資決策.以上述得出的美式看跌期權價格為例，若市場上的期權價格小于2.2945，期權被低估，那么投資者可以進行無風險套利買入期權，獲得百分之百的無風險收益;反之，若市場上的期權價格大于3.8711，投資者可以進行無風險套利賣出期權，獲得百分之百的無風險收益.

圖2 美式看跌期權的二叉樹模糊價格路徑

4 不確定環境下投資套利決策分析

在前文得到的美式看跌期權的價格路徑的基礎上，進一步分析在不確定環境下投資者的決策行為.利用α截集的概念來分析不同風險偏好的投資者套利決策行為.認為具有不同風險偏好的投資者在不確定的環境下進行投資，對價格區間具有不同的主觀置信度.若投資者主觀上以某個置信水平確信價格位于某個區間，則在這個區間以外都可以進行無風險套利.

定義1 假設置信水平α∈[0，1]是投資者的主觀置信度，且唯一度量投資者的風險偏好，模糊期權價格稱為客觀模糊期權價格，其α截集α則是投資者主觀模糊期權價格，那么α的補集Cα(在實數域上)則是投資者的無風險套利區間.

根據定義，風險偏好小的投資者，投資行為更加謹慎，進行無風險套利的區間應該較小，因此有:

定理4 對于不同的置信水平α1和α2，滿足0≤α2<α1≤1，則風險偏好大的投資者具有較大的置信水平α1，風險偏好小的投資者具有較小的置信水平α2.

證明 假設客觀模糊期權價格用梯形模糊數表示為(v1，v2，v3，v4)，v1，v2，v3，v4∈R.

根據α截集的定義，α1截集為:α1=[Lα1，Uα1]=[v1+α1(v2-v1)，v4-α1(v4-v3)]，α2截集為:

α2=[Lα2，Uα2]=[v1+α2(v2-v1)，v4-α2(v4-v3)].

由于α2<α1，所以Lα2>Lα1，Uα2<Uα1，即，α1∈α2，其補集滿足Cα2∈Cα1.

根據對無風險套利區間的定義，得出無風險套利區間Cα1對應是風險偏好大的投資者，Cα2對應是風險偏好小的投資者，即風險偏好大的投資者具有較大的置信水平α1，風險偏好小的投資者具有較小的置信水平α2.證畢

本文利用前文數值模擬計算得到的美式看跌期權的模糊價格，分析了不同風險偏好的投資者進行投資決策時的主觀模糊期權價格.表1給出了不同置信水平α對應的模糊價格，也即不同風險偏好的投資者的主觀模糊期權價格.當置信水平α為0.9時，期權的價格區間縮小到[2.606 4， 3.019 2]，而α為0.5時，期權的價格區間則相對較大，為[2.467 8， 3.397 8].這表明較高的置信水平對應較小的價格區間，也即意味著風險偏好大(α= 0.9)的投資者的主觀模糊期權價格要小于風險偏好小(α= 0.5)的投資者的主觀模糊期權價格.從進行套利操作的方面來解釋，即風險偏好大的投資者進行無風險套利操作的區間要大于風險偏好小的投資者.比如當市場價格v = 2.55時，該值落入風險偏好小的投資者的主觀模糊期權價格區間[2.467 8， 3.397 8]，當在風險偏好大的投資者的主觀模糊期權價格區間[2.606 4， 3.019 2]之外.風險偏好小的投資者主觀上認為目前不存在無風險套利機會，而對風險偏好大的投資者而言，則認為v = 2.55是進行無風險套利的時機.這反映出相同的市場價格，風險偏好小的投資者操作更為謹慎，風險偏好大的投資者更愿意冒風險.

考慮極端的情況，當置信水平α趨于1時，主觀模糊期權價格縮小到期權最可能的價格區間[2.641 1， 2.924 5]，對應置信水平α為1的投資者，則是極度自信且最偏愛風險的投資者;而當置信水平α趨于0時，主觀模糊期權價格被放大到最模糊的價格區間[2.294 5， 3.871 1]，此類投資者則是非常不自信且極度謹慎的投資者.

5 結 論

本文擴展了當前的模糊期權定價研究，考慮了更為復雜包含信息更多的梯形模糊數，通過同時引入梯形模糊無風險利率和梯形模糊波動率，研究了美式看跌期權的模糊定價，將二叉樹定價模型擴展到二叉樹模糊定價模型，并分析了不確定環境下投資者的套利決策行為.本文給出了模糊風險中性概率計算公式以及計算二叉樹各節點股票模糊價格和美式看跌期權模糊價格的算法步驟，并通過數值模擬，演示了采用二叉樹模糊定價模型對美式看跌期權定價的過程.結合計算得出的期權價格，解釋了投資者如何利用模糊期權價格做套利投資決策.本文最后分析了不確定環境下，不同風險偏好的投資者的無風險套利決策.通過以主觀置信度衡量不同風險偏好投資者，可以將客觀模糊期權價格轉換投資者為在不確定環境下的主觀模糊期權價格.在給定期權市場價格下，投資者可根據各自的主觀模糊期權價格，選擇是否進行套利.分析結果表明風險偏好大的投資者具有較大的置信水平，從而選擇較大的套利區間;而風險偏好小的投資者具有較小的置信水平，其套利區間也較小..

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Pricing American Put Option under Fuzzy Environments



YU Xiaojian1，2

(1.Research Center of Financial Engineering， South China University of Technology， Guangzhou Guangdon 510006，China;

2.School ofEconomics and Commerce， South China University of Technology ，Guangzhou，Guangdong 510006， China)

Abstract This paper adopted thefuzzy set theory to extend the pricing model of the American put option into the fuzzy option pricing model case by fuzzifying both riskless interest rate and volatility with the input parameters replaced by the trapezoidal fuzzy numbers. For this purpose， this paper first presented the expression of the fuzzy riskneutral probabilities. Then the riskneutral valuation of the American put option was performed in a multiperiod binomial model，and the price of the option at each step was also expressed by a trapezoidal fuzzy number. Furthermore， a numerical example was illustrated how to price the American put option based on fuzzy techniques. Finally， the arbitrage decision behaviors of investors with different risk appetite were analyzed under uncertain environments. The results indicate that the investor with a high degree of risk appetite has a high confidence level， a wide interval for riskless arbitrage but a small subjective fuzzy option price.

Keywordsfuzzy number;American put option;binomial pricing model