化歸之下的積分法

摘 要:積分法，包括有理函數(shù)和三角函數(shù)有理式的積分，都是對(duì)未知積分進(jìn)行變形，使之轉(zhuǎn)化為已知積分。這正是化歸的核心。因此，應(yīng)以化歸的思想統(tǒng)一認(rèn)識(shí)積分的方法，在化歸之下認(rèn)識(shí)積分法的整體性。

關(guān)鍵詞:積分法 整體性 化歸

積分法，各部分獨(dú)立性較強(qiáng)，內(nèi)容松散、相互關(guān)聯(lián)不多。初學(xué)者易只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林，不能構(gòu)成整體性認(rèn)識(shí)。其實(shí)，積分法，包括有理函數(shù)和三角函數(shù)有理式的積分，都是對(duì)未知積分進(jìn)行變形，使之轉(zhuǎn)化為已知積分。這正是化歸的核心。因此，應(yīng)以化歸的思想統(tǒng)一認(rèn)識(shí)積分方法，在化歸之下認(rèn)識(shí)積分法的整體性。本文擬從三個(gè)方面對(duì)此作一粗淺的討論。

一、關(guān)于化歸的方向

與用化歸法解決其他問(wèn)題一樣，求積分時(shí)，也是化未知為已知、化一般為特殊。例如，求有理函數(shù)的積分時(shí)，就是把一般的有理函數(shù)化歸為五種特殊類(lèi)型的有理函數(shù)的線(xiàn)性組合，因?yàn)檫@五種特殊類(lèi)型的有理函數(shù)的積分能夠解決，所以我們能解決一般的有理函數(shù)的積分。

至于化難為易、化繁為簡(jiǎn)則要具體問(wèn)題具體分析，不能僅從形式上來(lái)看。

值得注意的是，在解題時(shí)需要經(jīng)過(guò)多次的反復(fù)與嘗試，在實(shí)踐中接受反饋信息，選擇更為可取的化歸方向，以實(shí)現(xiàn)真正意義上的化歸。

二、關(guān)于變化的成分

一般地，用化歸法解決問(wèn)題時(shí)，既可以對(duì)整個(gè)問(wèn)題進(jìn)行變形，也可以對(duì)已知條件及未知結(jié)論中的某一方面進(jìn)行變形。積分中可供變化的成分有被積函數(shù)、被積表達(dá)式以及整個(gè)積分式。

1.對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形

對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形，可以把未知的積分化歸為能用基本積分公式解決的積分。基本積分法和直接積分法就是對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形的化歸法。

2.對(duì)被積表達(dá)式進(jìn)行恒等轉(zhuǎn)化

對(duì)被積表達(dá)式進(jìn)行恒等轉(zhuǎn)化的目的是把它化歸為標(biāo)準(zhǔn)形式的積分表達(dá)式。換元積分法就是把被積表達(dá)式作為可變成分的化歸法。

3.對(duì)整個(gè)積分式進(jìn)行恒等變換

運(yùn)用分部積分公式可以對(duì)整個(gè)積分式進(jìn)行恒等變換，從而把未知的積分化歸為已知的或比較容易、比較簡(jiǎn)單的積分。

正如求積分時(shí)，各種積分方法要交替使用一樣，對(duì)積分的三個(gè)成分進(jìn)行變形一般也是交替進(jìn)行的。

把積分法融于對(duì)積分的三個(gè)成分進(jìn)行變化的過(guò)程之中，由此來(lái)認(rèn)識(shí)積分法，顯示出積分法是一個(gè)統(tǒng)一的、連貫的整體。

三、關(guān)于化歸的方法

顯然，求積分的關(guān)鍵在于如何實(shí)現(xiàn)從未知積分向已知積分的轉(zhuǎn)化。用以實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法是比較多、比較靈活的。常用的有分割法、映射法和恒等變形法。

1.分割法

分割法就是把要解決的問(wèn)題按照可能和需要，分成若干部分，使它們更易求解。求積分時(shí)常用的對(duì)被積函數(shù)的分解就是分割法的一種。對(duì)被積函數(shù)的分割常被用到由一般向特殊的化歸上，比較典型的就是有理函數(shù)的積分。

分割的目的是為了實(shí)現(xiàn)化未知為已知、化難為易、化繁為簡(jiǎn)。

2.映射法

映射法是指在兩類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象或兩個(gè)集合的元素之間建立某種對(duì)應(yīng)關(guān)系。

例如，取余法與換元法，它們都是映射法。

用映射法求積分時(shí)，一般先通過(guò)映射將未知積分轉(zhuǎn)化為已知積分，求出這個(gè)積分后再通過(guò)映射求出原來(lái)的積分。

用映射法求積分時(shí)要注意兩個(gè)方面:轉(zhuǎn)化后的積分是已知的或比較容易、比較簡(jiǎn)單的;映射是可逆的。由于這第二方面的要求，我們往往對(duì)映射加上一些限制條件。

3.恒等變形法

對(duì)積分進(jìn)行化歸時(shí)，恒等變形法是經(jīng)常用到的，特別是代數(shù)式的恒等變形和三角函數(shù)的恒等變形。有理式的分解也可以看成是一種恒等變形。

進(jìn)行恒等變形的目的是為了通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兓鴮?shí)現(xiàn)化歸方向進(jìn)行的化歸。分部積分法就是就是利用恒等變形以求得變化的例子。

在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，上述三種化歸的方法也是交錯(cuò)進(jìn)行的，有時(shí)需要進(jìn)行多次的化歸。如三角函數(shù)有理式的積分就是一個(gè)二次化歸的例子，只不過(guò)在解題時(shí)把它們合并起來(lái)了。

綜上所述，以化歸的思想統(tǒng)一認(rèn)識(shí)積分方法，核心是以可變的觀念看問(wèn)題;關(guān)鍵是善于對(duì)所要解決的問(wèn)題進(jìn)行變換;值得注意的是要選擇好化歸的方向，以實(shí)現(xiàn)真正意義上的化歸。

為了求出積分，必須對(duì)其進(jìn)行化歸，本文粗淺地討論了把積分化歸成什么形式，對(duì)它的什么部分進(jìn)行化歸，以及怎樣化歸這樣三個(gè)問(wèn)題，不當(dāng)之處敬請(qǐng)諒解并加以指正。

作者單位:江蘇鹽城紡織職業(yè)技術(shù)學(xué)院