運用“幾何畫板”進行數(shù)學實驗

黃勇彬

“幾何畫板”能迅速準確地畫出各種圖形和各類函數(shù)的圖像，能方便地讓圖形運動、變化、拆分、轉換，能用參數(shù)控制曲線……這些功能改變了研究數(shù)學只用紙和筆的傳統(tǒng)方式。它豐富和發(fā)展了“數(shù)學實驗”的內涵，為數(shù)學實驗教學的開展提供了有效的手段和良好的工具。特別是利用“幾何畫板”做實驗，可使我們從起始的混亂中觀察、捉摸有規(guī)則的結構，這是數(shù)學靈感和數(shù)學發(fā)現(xiàn)的源泉，也是數(shù)學研究的有效方法。下面闡述利用“幾何畫板”來進行數(shù)學實驗的意義。

一、運用“幾何畫板”進行數(shù)學實驗是開展探究式教學的需要

在探究式教學中，對復雜而抽象的圖象、圖形進行研究，如果只靠傳統(tǒng)的筆、紙是很難開展的，而利用“幾何畫板”設計數(shù)學實驗能夠幫助學生在動態(tài)中觀察、探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律和結論，豐富探究的內涵。

例一：“函數(shù)y=A sin(ωx+ψ)的圖象”一課。通過觀察計算機給出的動態(tài)變化圖象知道，對于給定的三角函數(shù)關系式，x取某個區(qū)間的值時，圖象就被確定在某個位置，從而找出函數(shù)表達式所對應的函數(shù)圖象。教師事先用“幾何畫板”等軟件制作好課件，上課時學生上機實驗。

這一節(jié)課的教學設計可分為幾個環(huán)節(jié)。第一個環(huán)節(jié)是讓學生觀察函數(shù)y=A sin(x)的圖象，通過改變A，觀察函數(shù)圖象的變化，記錄縱坐標的變化。第二個環(huán)節(jié)是讓學生觀察函數(shù)y=sin(ωx)的圖象，通過改變ω，觀察函數(shù)圖象的變化，記錄橫坐標的變化。第三個環(huán)節(jié)是讓學生觀察函數(shù)y=sin(x+ψ)的圖象，通過改變ψ，觀察函數(shù)圖象的變化，記錄圖象的平移變化。第四個環(huán)節(jié)是讓學生通過小組討論，利用計算機得出函數(shù)y=A sin(ωx+ψ)的圖象，總結變化規(guī)律。學生基于對實驗現(xiàn)象的觀察提出猜想，小組代表作口頭回答，學生發(fā)表意見，老師給予評價，從而成功完成“函數(shù)y=A sin(ωx+ψ)的圖象”一節(jié)的教學。

實驗使學生實現(xiàn)從“聽數(shù)學”到“做數(shù)學”的轉變，學生作為研究者，參與包括發(fā)現(xiàn)、探索在內的獲得知識的全過程。

二、利用“幾何畫板”進行數(shù)學實驗，有助于學生理解與掌握數(shù)學結論

運用“幾何畫板”的動態(tài)數(shù)據更新與動態(tài)圖形變換功能，可使實驗者能直觀地看到數(shù)學結論的形成過程，從而能促進對其理解和掌握。

例二：對數(shù)函數(shù)的圖象和性質教學。傳統(tǒng)教學由于受手段限制，對函數(shù)y=log_ax的圖象隨著底數(shù)。的變化而變化，只能用特例來說明。通常都是通過比較y=log₂x、y=log₃x、y=log_1/2x、y=log_1/3的圖象總結出一般結論，學生會有點以偏代全的感覺。學生對為什么要把底數(shù)a分為01兩種情加以討論不一定理解，學習過程比較被動。為解決這個問題，可使用“幾何畫板”做這樣的實驗研究：

先引導學生用“幾何畫板”作出以動點A的縱坐標作為底數(shù)的函數(shù)y=log_ax的圖象，通過拖動點A，改變底數(shù)a，觀察函數(shù)y=log_ax的圖象隨著底數(shù)的改變而變化。在此過程中，學生可清楚地看到底數(shù)。如何影響并決定著函數(shù)y=log_az的性質。由于函數(shù)的圖象隨著a在01這兩個區(qū)間自然聚集，學生可以清楚地看到a=1是一條分界線，而對函數(shù)的定義域、值域、單調性、特殊點(1，0)等更是一目了然。還可以把點A拖到x軸上方和x軸下方，讓底數(shù)a為零和負數(shù)，觀察圖象如何變化。

實驗充分地向學生展示了“為什么要求底數(shù)a>0且a≠1”和“過點(1，0)為什么要作為性質之一”等，讓學生理解了有關數(shù)學結論的形成。

三、利用“幾何畫板”進行數(shù)學實驗。能激發(fā)創(chuàng)造意識和創(chuàng)新欲望

亞里士多德說過：“思維從對問題的驚訝開始?！笔褂谩皫缀萎嫲濉弊鰧嶒灒梢詣?chuàng)設一些傳統(tǒng)教學手段難以模擬的問題情境，使學生產生這種“驚訝”，在教學內容和學生求知心理之間創(chuàng)造一種“不協(xié)調”，從而激發(fā)學生的好奇心，增強他們的求知欲。

例三：問題“有一個長為a，寬為6，高為c的房子(a>b>c)，一只螞蟻要從地面的角落A爬到對面天花板的角落c'，選擇怎樣的路線能使得爬行距離最短?”

由于A點到c點的空間路線要經過幾個平面，每個平面的路線又有不確定性，從而增加了問題的復雜性，致使學生思路受阻。(如下圖)

用“幾何畫板”設計出長、寬、高三個方向的展開圖，讓學生分別計算螞蟻按路線A→R→C(圖1)、路線A→s→c(圖2)、路線A→T→C(圖3)爬行時的最短距離是多少，從而得出從A到c的最短距離方案。

利用“幾何畫板”開展數(shù)學實驗的意義，不僅在于使學生掌握必要的數(shù)學知識，更重要的是在于提高學生學習數(shù)學的積極性和數(shù)學應用意識，培養(yǎng)了學生獨立思考的學習品質和探索精神，提高了學生分析和解決問題的能力。