新中考下創新能力題教學案例探析

王忠海

自初中新課程標準實施以來，能力的培養一直是課程標準中的主線，分析近年來浙江省各市實施新課標的中考卷，都呈現出考查基礎、注重過程、滲透思想、突出能力、強調應用、鼓勵探究和創新的特點．中考數學試卷從試題結構到內容設計，題型活潑，情景新穎，不在計算技巧和知識立意的試題上過分糾纏，而是注重各種題型的結合和題量的適度，深化能力立意，出現了很多探究性、操作實踐性、閱讀理解和開放性等考查創新能力的好試題．

現把近年來中考中出現的新題型從教學的角度做一個歸納，希望能對中考復習的師生有所幫助．

一、探究性試題

開展探究性學習，不僅是為了適應當前中學課程改革中產生的研究性課程教學，

更重要的是為培養學生的創新精神和實踐能力，真正實現素質教育的需要．

【例1】 如圖1，這些等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把這與正三角形的接近程度稱為“正度”．在研究“正度”時，應保證相似三角形的“正度”相等．

設等腰三角形的底和腰分別為a，b，底角和頂角分別為α，β．要求“正度”的值是非負數．

同學甲認為：可用式子|a-b|來表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；

同學乙認為：可用式子|α-β|來表示“正度”，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．

探究：（1）他們的方案哪個較合理，為什么？

（2）對你認為不夠合理的方案，請加以改進（給出式子即可）；

（3）請再給出一種衡量“正度”的表達式．

點評：數學探究性教學模式要樹立新的教學觀和學生觀——教學過程的意義不僅在于使學生獲得知識，更重要的是使每一個學生都能獲得身心的充分發展，體味到學習樂趣，從而激發學生主動學習和興趣．

二、開放性試題（問題變式教學）

開放題是中考題多樣化和時代發展要求的產物，單一的題型和測試目標限制了考生應用知識解決實際問題的能力，不利于激發學生的創造性．開放性試題能為考生提供更大的考慮問題的空間，在解題途徑方面也是多樣的，這樣的試題是十分有利于考生發揮水平，也有利于考生創新意識的培養．

1.條件開放與探索

條件開放探索題的明確特征是缺少確定的條件，問題所需補充的條件不是得出結論的必要條件，所需補充的條件不能由結論推出．

【例2】 已知：∠MAN＝30°，O為邊AN上一點，以O為圓心，2為半徑作⊙O，交AN于D，E兩點，設AD＝x．

（1）如圖2-1，當x取何值時，⊙O與AM相切；

（2）如圖2-2，當x為何值時，⊙O與AM相交于B，C兩點，且∠BOC＝90°．

點評：解答這類問題往往是把結論反過來當條件用，本例可利用圓的切線性質和垂徑定理，構造特殊直角三角形，使問題得以求解．

2.結論開放

【例3】 已知矩形ABCD和點P，當點P在邊BC上任一位置（如圖3-1所示）時，易證得結論：PA²＋PC²＝PB²＋PD²，請你探究：當P點分別在圖3-2、圖3-3中的位置時，PA²、PB²、PC²和PD²又有怎樣的數量關系？請你寫出對上述兩種情況的探究結論，并利用圖3-2證明你的結論．

點評：本題也是一道結論開放題，通過閱讀題目已知條件及要求，不難探究出正確結論，但是說明理由時，有一定的難度．正確作出輔助線，創造性地使用勾股定理的條件，是解決問題的關鍵．

3.綜合開放

【例4】 如圖4，直線AC∥BD，連結AB，直線AC，BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分，規定：線上各點不屬于任何部分．當動點P落在某個部分時，連結PA，PB，構成∠PAC，∠APB，∠PBD三個角．（提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是0°角．）

（1）當動點P落在第①部分時，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）當動點P落在第②部分時，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？

（3）當動點P在第③部分時，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系，并寫出動點P的具體位置和相應的結論．選擇其中一種結論加以證明．

點評：開放題的特征很多，如條件的不確定性，它是開放題的前提；結構的多樣性，它是開放題的目標；思維的多向性，它是開放題的實質；解答的層次性，它是開放題的表象；過程的探究性，它是開放題的途徑；知識的綜合性，它是開放題的深化；情景的模擬性，它是開放題的實踐；內涵的發展性，它是開放題的認識．過程開放或結論開放的問題能鼓勵學生多角度、多側面、多層次地思考問題，有助于充分調動學生的潛在能力．

三、操作性問題

《數學課程標準》在描述空間觀念的主要表現時，提到了“能從復雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關系”，學生是否能達到這樣一個要求，與其頭腦中的圖形表象有著密切的關系．事實上，學生形成圖形概念的過程就是一個圖形的表象不斷積累，并對這些積累的表象不斷加工提煉的過程．如何不斷積累圖形的表象，特別是涉及其大量變式的表象，經歷與圖形有關的各種操作活動是一個非常重要的途徑．在認識圖形的過程中，學生不斷做出所要認識的各種圖形，教師也不斷將各種圖形提供給學生操作，學生更是通過相互間的交流看到了更多的圖形，這種對首次感知的強化和大量的圖形表象的積累為學生進一步提升對圖形的理性認識奠定了基礎．

【例5】 （2007，紹興）學習了平行線后，小敏想出了過已知直線外一點畫這條直線的平行線的新方法，她是通過折一張半透明的紙得到的（如圖5-1～5-4）：

從圖中可知，小敏畫平行線的依據有（）．

①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內錯角相等；

③同位角相等，兩直線平行；④內錯角相等，兩直線平行．

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【例6】 （2007，浙江）如圖6-1，小明將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片（如圖6-2），量得他們的斜邊長為10@cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖6-3的形狀，但點B、C、F、D在同一條直線上，且點C與點F重合（在圖6-3至圖6-6中統一用F表示）.

小明在對這兩張三角形紙片進行如下操作時遇到了[HJ0.85mm]三個問題，請你幫助解決．

（1）將圖6-3中的△ABF沿BD向右平移到圖6-4的位置，使點B與點F重合，請你求出平移的距離；

（2）將圖6-3中的△ABF繞點F順時針方向旋轉30°到圖6-5的位置，A1F交DE于點G，請你求出線段FG的長度；

（3）將圖6-3中的△ABF沿直線AF翻折到圖6-6的位置，AB1交DE于點H，請證明：AH=DH.

四、閱讀理解、規律探索題（合情推理問題）

【例7】 （2007，溫州）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一組數：1，1，2，3，5，8，13，…，其中從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和．現以這組數中的各個數作為正方形的長度構造如下正方形：

再分別依次從左到右取2個、3個、4個、5個，正方形拼成如下矩形并記為①、②、③、④，相應矩形的周長如下表所示：

若按此規律繼續作矩形，則序號為⑩的矩形周長是________．

【例8】 （2007，紹興）如圖甲，正方形被劃分成16個全等的三角形，將其中若干個三角形涂黑，且滿足下列條件：

（1）涂黑部分的面積是原正方形面積的一半；

（2）涂黑部分成軸對稱圖形．

如圖乙是一種涂法，請在圖7-1～7-3中分別設計另外三種涂法．（在所設計的圖案中，若涂黑部分全等，則認為是同一種涂法，如圖乙與圖丙）

“創新是一個民族的靈魂，是國家興旺發達的不竭源泉”．而實際上不少學生的知識結構單一，應用意識淡薄，創新能力較弱．為此我們有必要補充創新試題，這也正是解決這一弊端的有力手段．

［責任編輯：金 鈴］