在數(shù)學教學中發(fā)揮數(shù)學名題效應

黃　孌

從古到今，各種類型的數(shù)學問題，內容精彩有趣，構思巧妙，深刻地反映了某種數(shù)學思想和數(shù)學方法，引導和促進了數(shù)學的發(fā)展，有流傳和鑒賞價值，更有數(shù)學教育的價值.因此，對數(shù)學名題進行系統(tǒng)研究，探索其歷史地位和影響，古為今用，會對當前數(shù)學教育改革有重要意義.

人類學和心理學的研究表明：在人的心靈深處，有多種根深蒂固的需要，那就是探究的需要、獲得新體驗的需要、獲得認可與欣賞的需要、承擔責任的需要等．而在青少年的精神世界里，這種需要尤為強烈．現(xiàn)在的初、高中數(shù)學課本漸漸出現(xiàn)了一些數(shù)學名題，滲透了數(shù)學名題的解題思路及其解題方法，但就數(shù)學名題的效應來說，從中學生的心理需要出發(fā)，教材中滲透的內容還遠遠不夠.教師在課堂上或課后適當介紹一些數(shù)學名題，既可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，又可以加深學生對教學內容的深刻理解，達到事半功倍的效果．經(jīng)過這兩年的教學實踐，筆者嘗試在課堂教學發(fā)揮名題效應，收到了一定的良好效果，也積累了一些經(jīng)驗.

一、引入新課采用數(shù)學名題導入法

在講等比數(shù)列求和公式時，筆者一上課就向學生講述“國際象棋發(fā)明者報酬”的故事：國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他有什么要求，發(fā)明者說：“請在棋盤的第1個格子放1顆麥粒，在第2個格子放2顆麥粒，在第3個格子放4顆麥粒，在第4個格子放8顆麥粒，依此類推，每個格子放的麥粒數(shù)都是前一個格子的2倍，直到第64個格子．請給我足夠的糧食來實現(xiàn)上述要求．”國王覺得這并非難事，就同意了.這實際就是個等比數(shù)列求和問題：各個格子里的麥粒數(shù)依次是1，2，2²，2³，…，2⁶³，則總數(shù)就是1+2+2²+2³+…+2⁶³.該故事激發(fā)了學生強烈的興趣，課堂教學效果非常好.

二、通過數(shù)學名題介紹解題方法

在學習等差數(shù)列的前n項和時，筆者向學生介紹的是中國一道記載在《張丘建算經(jīng)》中的“有女不善織”的古代算術題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖．問織幾何?”意思是；有位婦女不善織布，她每天織的布都比上一天要減少一些，減少的數(shù)量是相等的，她第一天織5尺，最后一天織1尺，一共織了30天，一共織了多少尺布?該題的難點在于除了第一天和最后一天，中間每天織的布都不是整數(shù)．《算經(jīng)》上記載的解決方法是“并初、末日尺數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得．”意思是：把第一天和最后一天織布的數(shù)目先相加再除以2最后乘于30．實際上我們可以運用對稱的思想這樣理解：假設有另一位姑娘與這位婦女織布的情況剛好相反，姑娘每天織的布都比上一天要增加一些，增加的數(shù)量是相等的，她第一天織1尺，最后一天

織5尺，也織了30天，由此可知，兩人所織布的總長度是相等的，且婦女織布每天減少的數(shù)量與姑娘織布每天增加的數(shù)量是相等的，因此每天兩人共織的布為6尺，三十天共織6×30=180尺，則每人織90尺．解法的巧妙之處在于將抽象的一組等差數(shù)列求和轉化為形象生動的形似回文數(shù)一般的對稱求和方法，運用對稱的思維來理解等差數(shù)列求和比單純推導求和公式要形象、生動得多，這種樸素直觀的算法是特別容易被學生體驗得到的，這樣一來，得到等差數(shù)列的前n項和公式那是很自然的，而更主要的是讓學生體會到了“類比”這種重要的數(shù)學思想方法.

三、把數(shù)學名題作為例題

在學習組合時，筆者向學生介紹了“合理分配賭金問題”．這個問題最早由意大利數(shù)學家帕喬利于1494年記載：假如在一次賭博中先贏6次為勝，兩個賭徒在一個贏5次，另一個贏2次的情形下，賭博因故中斷，那么總賭金應該如何分配才合理?帕喬利給出的答案是按5∶2分給兩個賭徒，似乎很合理，然而正確的答案應該是15∶l，是100多年后由帕斯卡和費馬得出的.帕斯卡用的是算術方法，如果賭博進行下去，最多再有4局就決出勝負，設第一個賭徒贏為[WTBX]A，第二個賭徒贏為B，則所有可能的結果為AAAA，AAAB，AABA，ABAA，BAAA，AABB，ABBA，ABAB，BABA，BBAA，BAAB，ABBB，BABB，BBAB，BBBA，BBBB．顯然，第一個賭徒有15種情形獲勝，而第二個只有1種情形獲勝，則賭金應按15∶1分配.費馬使用的是組合方法，4局中第一個賭徒贏一局、二局、三局或四局均為勝，第二個賭徒只有贏四局才為勝，因此應按（C¹₄+C²₄+C³₄+C⁴₄）=15∶1分配賭金.學生可以應用所學過的組合知識比較容易地解決這個看似普通卻在當時大大促進了概率論發(fā)展，使之成為數(shù)學科學的重要分支的問題．

從數(shù)學教育看，由于數(shù)學本身具有高度的抽象性，嚴密的邏輯性和廣泛的應用性等特點，因此，在教學中只單純地講解定義、定理和公式，很難取得理想的效果，在中學數(shù)學教學中引用數(shù)學名題可以增強學生的好奇心，激起學生學習數(shù)學的興趣，還可以加深學生對數(shù)學知識的理解與應用．

參考文獻:

［1］單蹲.數(shù)學名題詞典［M］.南京:江蘇教育出版社，2002.

［2］李艷紅.數(shù)學名題與數(shù)學教育［M］.沈陽:遼寧師范大學，2004.

［責任編輯：廖銀燕］