根據(jù)一道高考試題來(lái)淺析二面角求法

在立體幾何中，二面角的求法多種多樣，教師盡可能地把所有的方法教給學(xué)生，并多次訓(xùn)練，應(yīng)該說(shuō)學(xué)生掌握的方法越多，在考試中會(huì)更靈活，得分率會(huì)比較高。根據(jù)多年考試結(jié)果的總結(jié)，事實(shí)上并非如此。是什么原因造成的呢？可能是方法太多而無(wú)從下手，該怎么辦呢？方法的選擇應(yīng)該有主有次。下面我結(jié)合2004年的全國(guó)卷一的一道試題為例來(lái)分析一下：

如圖，已知四棱錐P—ABCD，PB⊥AD，側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°。

（I）求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；

（II）求面APB與面CPB所成二面角的大小。

解：（I）如圖，作PO⊥平面ABCD，垂足為點(diǎn)O。連結(jié)OB、OA、OD、OB與AD交于點(diǎn)E，連結(jié)PE。

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，

∵PA=PD，∴OA=OD，

于是OB平分AD，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD。

由此知∠PEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角，

∴∠PEB=120°，∠PEO=60°。

由已知可求得PE= ，

∴PO=PE·sin60°= × = ，

即點(diǎn)P到平面ABCD的距離為 。

（II）采用傳統(tǒng)的A本和向量思想的B本來(lái)分析、解決。

方法一：傳統(tǒng)的“作、證、算”。

如圖，取PB的中點(diǎn)G，PC的中點(diǎn)F，連結(jié)EG、AG、GF，則AG⊥PB，F(xiàn)G∥BC，F(xiàn)G= BC.

∵AD⊥PB，

∴BC⊥PB，F(xiàn)G⊥PB，

∴∠AGF是所求二面角的平面角。

∵AD⊥面POB，

∴AD⊥EG.

又∵PE=BE，

∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.

在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°= 。

∵AE= AD=1，

于是tan∠GAE= = ，

又∠AGF=π－∠GAE，

所以所求二面角的大小為π－arctan 。

本方法的步驟是：

（1）找或作出二面角的平面角。作二面角時(shí)，一般有三種方法：定義法、三垂線定理法、垂面法。

（2）證明其符合定義，確定某角為二面角的平面角。

（3）通過(guò)計(jì)算求出二面角的平面角的大小。常用的求角的方法有直角三角形內(nèi)三角函數(shù)定義、余弦定理等。

以上采用的方法可以看作是定義法，可是在求解二面角時(shí)先找二面角∠AGF與∠GAE的關(guān)系，看起來(lái)容易，做起來(lái)難度相對(duì)有點(diǎn)大。直觀的方法是可以直接用余弦定理求∠AGF，過(guò)程如下：

如圖，取PB的中點(diǎn)G，PC的中點(diǎn)F，連結(jié)AG、GF、AC，則AG⊥PB，F(xiàn)G∥BC，F(xiàn)G= BC=1，連結(jié)AF。

∵AD⊥PB，

∴BC⊥PB，F(xiàn)G⊥PB，

∴∠AGF是所求二面角的平面角。

∵PO= ，PE=BE，∠PEB=120°，

∴∠OBP=30°，

∴PB=2，PO=3，

∴PC= ，AG= .

∵AB=2AE，AE⊥BE，

∴∠DAB=60°，

∴AC=2 .

在△PAF中，cos∠APF= = ，

在△PAC中，cos∠APF= = ，

可得AF= ，

∴cos∠AGF= = =- ，

所以所求二面角的大小為π－arccos 。

可以看出整個(gè)過(guò)程運(yùn)算量不小，學(xué)生容易出錯(cuò)。那么，運(yùn)用三垂線定理可以證明該問(wèn)題嗎？答案是肯定，如下過(guò)程：

如圖，過(guò)點(diǎn)A向平面PBC、PB分別作垂線，垂足分別為H、G，連接HG、EG，由三垂線定理可知HG⊥PB，所以∠AGH是所求二面角的平面角的補(bǔ)角。

∵AP=AB，AG⊥PB，

∴G為PB中點(diǎn)。

又∵PE= =BE，

∴EG⊥PB且∠PEG=60°.

在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°= .

∵AD⊥OB，

∴BC⊥OB.

由三垂線定理知，EG⊥BC。

∴EG⊥平面PBC，

∴EG∥AH，

∴A、E、G、H四點(diǎn)共面。

又∵AE∥BC，

∴AE∥平面PBC，

∴AH=EG，

∴四邊形AEGH為矩形，

∴AH= ，GH=AE= AD=1。

于是tan∠AGH= = ，

又∠AGF=π-∠AGH。

所以所求二面角的大小為π-arctan 。

可以看出，整個(gè)過(guò)程運(yùn)算量小，較易判斷。所以運(yùn)用三垂線定理求二面角問(wèn)題是我們最常用的方法，大部分求二面角問(wèn)題都可以應(yīng)用該方法，但在近幾年的高考試題的答案中，作二面角的方法很少用三垂線定理的方法，如2005年定義法，2008年垂面法，事實(shí)上應(yīng)用三垂線定理也可以簡(jiǎn)單完成，關(guān)鍵是大家認(rèn)為垂線段的長(zhǎng)不好算，不妨試一下等體積求高的方法。如上題求AH時(shí)，可以利用V =V ，即 × BC×PB×AH= × BC×BE×PO，AH就能輕松算出，因而一定要熟練地掌握它。

方法二：向量的方法。

如圖建立直角坐標(biāo)系，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸平行于DA。

P（0，0， ），B（0， ，0），PB中點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0， ， ），連結(jié)AG。

又知A（1， ，0），C（-2， ，0）。由此得到： =（1，- ，- ），

=（0，- ，- ）， =（-2，0，0），

于是有 · =0， · =0。

所以 ⊥ ， ⊥ ， 和 的夾角θ等于所求二面角的平面角，

于是cosθ= =- ，

所以所求二面角的大小為π-arccos 。

本方法的步驟是：

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在兩個(gè)半平面中找出兩個(gè)與二面角的棱分別垂直的向量，兩向量對(duì)應(yīng)的直線不一定相交，以最易判斷端點(diǎn)坐標(biāo)為好，并確定二面角的大小與向量夾角的關(guān)系；

（3）計(jì)算出向量坐標(biāo)，利用夾角公式求出二面角的大小。

有的人認(rèn)為，不管什么樣的二面角問(wèn)題，我都采用萬(wàn)能方法：利用兩個(gè)半平面的法向量關(guān)系判斷二面角的大小，如下：

如圖建立直角坐標(biāo)系，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸平行于DA，

P（0，0， ），B（0， ，0），連結(jié)AG，又知A（1， ，0），C（-2， ，0），由此得到：

=（0， ，- ）， =（-2，0，0）， =（-1， ，0）。

令平面PAB的一個(gè)法向量為 =（1，y ，z ），

∵ · =0×1+ y - z =0，

· =-1×1+ y +0×z =0，

得到y(tǒng) =- ，z =-1，

∴ =（1，- ，-1）.

∵平面PBC與x軸平行，

∴平面PBC法向量的橫坐標(biāo)為0，

∴可令平面PBC的一個(gè)法向量為 =（0，1，z ）。

由 · =0×0+ ×1- z =0可得z = ，

∴ =（0，1， ）.

根據(jù)兩個(gè)向量 ， 的位置關(guān)系可以判斷 ， 的夾角θ等于所求二面角的平面角，

于是cos= =- ，

所以所求二面角的大小為π-arccos 。

利用法向量來(lái)判斷可以說(shuō)確實(shí)直觀，不用“費(fèi)腦子”，但是這種方法要遇到兩個(gè)問(wèn)題：一是求法向量時(shí)，假設(shè)時(shí)要注意哪些坐標(biāo)為0，哪些不為0，并且運(yùn)算易出錯(cuò)；二是法向量求出之后還要判斷法向量的夾角與二面角的大小關(guān)系，是相等，還是互補(bǔ)。

針對(duì)本題來(lái)說(shuō)，當(dāng)然還可以不用建立空間直角坐標(biāo)系，直接利用封閉向量來(lái)求，如下：

如圖，取PB的中點(diǎn)G，連結(jié)AG、AC，則 ⊥ ，

∴ · =0。

∵ ⊥ ，

∴ ⊥ ，

∴ · =0，

∴ ， 的夾角θ等于所求二面角的平面角。

∵| |= ，| |=| |，∠PEB=120°，

∴∠OBP=30°，

∴| |=2| |=3，

∴ | |= ，| |= .

∵| |=2| |，∴ ⊥ ，

∴∠DAB=60°，∴| |=2 .

∵ = + + ，

∴ = + + +2 · +2 · +2 · ，

∴| | =| | +| | +| | +2 ·

=| | +| | +| | -2 ·

=| | +| | +| | -2| |·| |cosθ，

∴12= + +4-2× ×2cosθ.

于是cosθ=- ，

所以所求二面角的大小為π-arccos 。

利用封閉向量來(lái)求二面角雖然也是我們常用的方法，但缺陷是題型比較單一，并且要求的線段長(zhǎng)較多，不利于運(yùn)算的準(zhǔn)確性。所以，筆者認(rèn)為，要用向量的方法去求二面角時(shí)，最好尋找在兩個(gè)半平面中與棱垂直的向量，大家可能認(rèn)為垂足的坐標(biāo)不好確定，事實(shí)并不難，一方面可以用定比分點(diǎn)公式，另一方面可以用共線、垂直來(lái)判斷，并且向量夾角與二面角的大小關(guān)系也好判斷。

根據(jù)歷年高考試題中的二面角問(wèn)題，我們不難發(fā)現(xiàn)，為了滿足使用不同版本教材的學(xué)生的公平性，問(wèn)題的設(shè)置是有限的，解決的方法看似不同，實(shí)質(zhì)上都類(lèi)似，只要把握重點(diǎn)方法，在實(shí)際應(yīng)用中定會(huì)戰(zhàn)無(wú)不勝。