培養數學創新思維，提高學生綜合素質

摘 要： 以問題解決為核心的數學教學，在培養學生創新思維方面具有得天獨厚的優勢。本文從切實加強基礎知識教學，奠定創新思維的培養基礎；注重培養學生的形象思維、抽象思維、求同思維、求異思維、邏輯思維、直覺思維、收斂思維、發散思維、正向思維、逆向思維等方面闡述了培養學生的數學創新思維，提高學生的綜合素質的問題。

關鍵詞： 數學教學 創新思維 實踐能力

教育教學的最終目的，是促進學生各方面的發展，努力培養學生的創造意識和實踐能力，為學生的終身學習打下基礎。創新思維是創造力的核心，它具有獨特性、求異性、批判性等思維特征。這種思維能力經過培養，正常人完全可以具備。盡管培養學生的創新思維是所有學科教學的重點，但是以問題解決為核心的數學教學，在培養學生創新思維方面具有得天獨厚的優勢。因此，我們要在數學新課程改革中努力營造和諧的氛圍，激發學生主動參與的興趣，給學生創造主動參與的條件，讓學生真正地參與到知識發生、發展的過程中，把創新思維和實踐能力的培養落實到數學課堂教學中，從而全面提高學生的整體素質。

一、切實加強基礎知識教學，奠定創新思維的培養基礎

知識是思維的基礎，人們總是通過知識去揭示、探索和認識未知事物。因此，扎實的基礎知識、清晰的基本概念

和定理，以及思考問題的經驗技巧等都是創新思維的基礎。我們必須扎實抓好數學基礎知識的教學。當然，在搞好基礎知識、基本技能的教學中，也要貫穿創新思維的培養。例如我在教學“勾股定理”時，精心創設了如下的問題情境，以激發學生思維的積極性：“請同學們任意畫一個直角三角形，報出兩條直角邊的長度，老師就能算出斜邊的長度。”學生積極嘗試向我挑戰，果真如我所言。此時學生頭腦中便會產生“老師為什么能知道斜邊的長度”的疑問，這就促使學生萌發強烈的求知欲，迫切想知道這種計算方法。依據學生好奇的特點，以奇引趣，可以促進學生樂學。學生通過探索自己發現定理，探索的過程即是培養學生創造力的過程。

二、形象思維與抽象思維相結合

對于那些抽象的概念、定理、公式，直接給出時的效果總不太理想。在教學中，只有引導學生的思維從形象逐步過渡、上升到抽象，才能在獲取知識的同時發展能力。例如，在教學《軸對稱圖形》時，教師首先在一張紙上畫出直線L和△ABC，然后沿直線L對折，用一根針戳穿A、B、C三點，在L的另一側留下三個對應孔A′、B′、C′。導出軸對稱定義后，提出作軸對稱圖形方法，是不是每次都對軸呢?讓學生在紙上動手試一試。通過直觀教學和實踐活動，給了學生具體形象的感知，在此基礎上，進行觀察、分析、比較、推理等抽象思維過程，學生很容易抓住軸對稱的本質，提出AA′被L垂直平分。通過直觀因素解決抽象問題，進行形象思維與抽象思維結合的訓練，不但激發了學生的學習興趣，而且提高了學生的觀察和概括能力，對培養學生的創造性思維，無疑有莫大的促進作用。

三、求同思維與求異思維相結合

在創造性思維活動中，求異思維占主導地位，也有求同的成分，而且兩者是密切結合的。在教學中，只有引導學生進行同中求異與異中求同的反復結合，才能使其思維流暢、變通、新奇。例如，在證明“三角形內角和定理”時，因三個內角位置分散，大家一致認為必須添加適當的輔助線使角集中起來，這是思維的求同；至于如何添加輔助線，這便是思維的求異點。學生勇于探索，各抒己見。有學生提出：過一頂點作對邊的平行線；也有學生認為：過一頂點作射線平行對邊；還有學生想到：在一邊上取一點后，分別作另兩邊的平行線。多種方法能夠解決問題，學生的求異思維十分活躍。然后通過比較，異中選優，大家認為“過一頂點作射線平行對邊”較為簡潔。長期的數學教學實踐證明，求異度越高，求同性越好，學生解決新問題，探索新規律的能力就越強，創造性思維的水平就越高。

四、邏輯思維與直覺思維相結合

邏輯思維是創新思維的橋梁，因此必須扎實抓好邏輯思維的培養，這是培養學生創新思維的一個方面。另一方面，還需要重視培養學生的直覺思維。正如數學教育家G.波利亞所說：“一個想把數學作為他終身事業的學生必須學習論證推理，這是他專業也是他那門科學的特殊標志；然而，為了取得真正的成就，他還必須學習合情推理，這是他的創造性工作所賴以進行的那種推理。”（《數學與猜想》第一卷序言）為了培養學生的創造精神，我們在訓練學生的邏輯思維的同時，應該有意識地加強培養學生的直覺思維，讓學生逐步學會猜測、想象等非邏輯思維，以此開發學生的創造性思維。直覺思維是創新活動達到高潮后想出的一種最富有創新性的飛躍思維，常常以“一閃念”的形式出現，使創新活動成為一個質的轉折點。事實上，很多著名的數學定理就是經過先猜想后證明得出來的。正如著名數學家徐利治指出：“數學創造往往開始于不嚴格的直覺思維，而繼之以嚴格的邏輯分析思維。”在數學教學中鼓勵學生進行大膽猜想是訓練學生直覺思維的好時機。所謂猜想是指在理解了學習課題后，通過觀察、計算、實驗、分析等各種途徑和手段，根據已得信息或者新得到的信息提出解決課題的假設。例如：已知（z-x）²-4（x-y）（y-z）=0，求證：x+z=2y。證明：整體思考發現已知等式的左邊有判別式△=b²-4ac的形式，于是由直覺猜想：引入一元二次方程來解決問題。設有方程（x-y）t²+（z-x）t+（y-z）=0，方程的系數之和為0，于是t=1是方程的根。又由已知，方程的判別式△=（z-x）²-4（x-y）（y-z）=0，∴t=1為方程的二重根，由韋達定理可知，二根之積（y-z）/（x-y）=1×1，∴x+z=2y。這樣不僅調動了學生的邏輯思維，而且調動了學生直覺思維，引導學生經歷了由直覺發現到邏輯證明的科學家對問題的解決過程，極大地誘發了創造性思維。

其實，數學猜想大量地存在于義務教育教材，幾何中的量量畫畫、疊疊比比觀察驗證的實驗幾何，需要猜想方能上升為概念、基本性質、公理，這種猜想有助于充分揭示幾何知識的發展過程，有助于把握知識的來龍去脈，有利于提高想象力，從而增強直覺（靈感）的思維能力。代數中從“特殊”到“一般”，由“具體”到“抽象”的描述性定義，通過猜想，能提高概括能力，讓學生積累經驗，促使其知識的飛躍升華。盡管學生的猜想、直覺可能是錯誤的，甚至是可笑的，但只要其思想有一點可以借鑒的地方，就要鼓勵、支持，以保護學生大膽探索的精神，并把它引導啟發到正確的數學思想方法上來，努力培養他們勤于探索思考、勇于打破常規的創新精神，切不可對學生的錯誤進行挖苦、嘲笑，扼殺學生進行創造性思維的積極性。

五、收斂思維與發散思維相結合

在創造性思維過程中，發散思維起著主導作用，是創造性思維的核心。唯有“發散”，才能多角度、多層次地從不同方面思考，才能深刻地理解、鞏固并靈活運用知識，培養學生的創造思維能力。例題的講解應該注意一題多解、一題多變，強調思維的發散，增強思維的靈活性。數學題目，由于其內在規律，或思考的途徑不同，可能會有許多不同的解法。在例題教學中，引導學生廣開思路，探求多種解法，在發散思維的同時，比較各種解法，找出最佳的、新穎的或巧妙的解法，激發創造性思維。例如，證明“三角形內角平分線定理”，可以利用作平行線來證明，方法達七、八種之多；也可以用面積法證明。其中以面積法較為巧妙別致。在解題時，不要滿足于把題目解答出來便完事大吉，而應向更深層次探求它們的內在規律，可以變化題目的條件，或變化題目的結論，或條件結論同時作些變化，配成題組，從而加深對題目之間規律的認識。例如，“正三角形內任意一點到三邊距離之和為定值”。這個命題不難用面積法證明。該題證明后，可以變換角度，廣泛聯想，訓練發散思維。將“任意一點”變到“形外一點”，將“正三角形”變為“正n邊形”，或者將“正三角形”變為“任意三角形”，研究結論如何變化。可以看出，對數學問題的回味與引申，使學生從不同角度處理問題，增加學生總結、歸納、概括、綜合問題的意識和能力，培養了思維的靈活性、變通性。在教學中，我們教師應該有意識地引導學生對課本中的習題進行多種解法的探索，并分析各種解法的合理性。例如：甲、乙二人同時從張莊出發，步行15千米到李莊，甲比乙每小時多走1千米，結果比乙早到半小時，二人每小時各走幾千米？經過充分討論，集思廣益，我們師生探究出此題有9種解法。

這里需要特別指出的是，解題時的分析是訓練學生聯想思維的好時機。聯想思維是發散思維的一種特殊形式，它往往從一件事情的觸發而遷移（想）到另一些事情上，通過大膽聯想，尋求正確的解答。聯想思維靈活多變，不受思維定勢限制，善于多角度多方位去觀察和思考問題。聯想的結果往往是從給定的信息中產生新的信息，發現新的方法，尋求新的規律，探索出新的科學。例如在解“AD是三角形ABC的中線，E是AD的中點，F是BE的延長線與AC的交點，求證：AF∶FC=1∶2”時，通過觀察、分析，由結論聯想證明比例式常用的方法有相似三角形和平行線，由條件中出現兩個中點D、E聯想到中位線，而中位線又具有平行線的倍數關系的特點，從而得出此題的證明途徑。因此富于聯想是思維靈活的表現。

六、正向思維與逆向思維相結合

對于概念、定理、公式、法則，往往習慣于正面看、正面想、正面用，極易形成思維定勢。在解決新問題面前，這種思維定勢是一種負遷移，作用是消極的。學生往往感到束手無策，寸步難行，所以，在重視正向思維的同時，養成經常逆向思維的習慣，“反其道而行之”，破除正向思維定勢的束縛。所謂逆向思維，是指在研究問題時，從反面觀察事物，去做習慣性思維方向完全相反的探索，順推不行時考慮逆推解決，探討可能性發生困難時，考慮探討不可能性，由此尋求解決問題的方法。因此我們應該自覺地、有目的地加強對學生逆向思維的訓練。

如何進行逆向思維的訓練呢?可以利用互逆因素進行逆向思維訓練，因為數學中充滿著互逆因素，如公式的互逆、定義的互逆、可逆定理的互逆，等等。具體策略是：（1）重視概念、定理、公式、法則的反方向教學：概念的互逆理解、公式的互逆記憶、可逆定理、性質和法則的互逆表述；（2）強調一些基本方法的逆用：從局部考慮不易，是否能整體處理；一般情況下不好辦，考慮特殊情況；前進有困難，退一步如何；“執果索因”與“由因到果”兩方面尋找解題途徑；直接證明不行，則考慮用間接證法，等等。例如，當是什么值時，對于兩個關于的方程x²+4mx+3-4m=0，x²+（m-1）x+m=0，至少一個有實根。如果從正面求解，會出現三種情況，不但計算量大而且容易出錯，而考慮其反面“兩個方程都沒有實根”，然后求得補集，解法很簡潔。這樣利用定義的可逆性，公式的雙向性、反證法、補集法等方法解的典型例題的剖析、演示，給學生以感性認識，并且把這種教學思想方法滲透于日常解題教學過程中，進一步訓練學生逆向思維的靈活性和創新性。

訓練學生逆向思維，從問題的反面揭示本質，彌補了單向思維的不足，使學生突破了傳統的思維定勢，大大促進了創造性思維的培養。

總之，培養具有創造性的人才，培養具有創新意識和創造能力的人才，是國家和民族的需要。數學是培養人的創造性素質的最佳途徑，我們教師應該根據數學學科特點和學生實際，不斷探索數學知識與創造性思維能力培養的結合點，積極鼓勵學生進行創造性學習，主動發展他們的創新思維。

參考文獻：

［1］閆承利.素質教育課堂優化模式［M］.教育科學出版社，2002.

［2］萬移生.數學創新思維能力的培養［J］.數學愛好者（教育學術），2008，（3）.

［3］王海燕.強化教學訓練 培養數學創新思維［J］.數學學習與研究（教研版），2008，（7）.