極限思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

極限思想方法是用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想，通過對(duì)問題的極端狀態(tài)的討論，避開了抽象復(fù)雜的演算，優(yōu)化了解題過程和解題方法，降低了解題難度。本文以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)討論了極限思想在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用，以開闊學(xué)生的視野，提高學(xué)生解題的技巧。

1.利用極限思想，簡(jiǎn)化解題，深化思維

在求不等式的解集和變量的取值范圍問題中，利用極限思想來尋求解題的途徑，常常能達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算過程，化難為易，深化思維，使問題輕松獲解的效果。

例1（2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）：不等式+logx+2＞0的解集是（）。

A.［2，3）B.（2，3］C.［2，4）D.（2，4］

簡(jiǎn)析：本題為不等式解集問題，通常考查變數(shù)字母取其區(qū)間的端點(diǎn)和端點(diǎn)的極限情況。當(dāng)x趨近2時(shí)，左邊結(jié)果趨近，且當(dāng)x=2時(shí)，不等式有意義，排除B、D，又當(dāng)x趨近于4時(shí)，不等式成立，排除A，因此答案選C。

例2（2004年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川賽區(qū)試題）：已知不等式m+（cosθ-5）m+4sinθ＞0恒成立，則參數(shù)m的取值范圍是（）。

A.0≤m≤4B.1≤m≤4C.0≤m或m≥4D.m≤0或m≥1

簡(jiǎn)析：本題為參變量的取值范圍問題，當(dāng)m趨近∞時(shí)，左邊結(jié)果大于0，排除A、B，又當(dāng)m趨近1時(shí)，不等式不一定成立，排除D，因此答案選C。

評(píng)注：極限思想是特殊值法的延伸，它提供了從變量變化中研究趨勢(shì)的數(shù)學(xué)方法。減少計(jì)算量是使問題迅速、準(zhǔn)確獲解的關(guān)鍵；利用極限思想，著眼于問題的極限狀態(tài)是減少計(jì)算量的重要途徑。

2.利用極限思想，優(yōu)化解題，活化思維

在立體幾何問題中，利用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)對(duì)最大、最小、最近、最遠(yuǎn)等特殊位置進(jìn)行極端位置的考察，以達(dá)到發(fā)現(xiàn)問題的解題思路和問題結(jié)果的目的，活化思維，培養(yǎng)思維的靈活性。

例3（1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）：設(shè)四面體的四個(gè)面

的面積分別為S，S，S，S，它們中的最大值為S，記 ，

則λ一定滿足（）。

A.2＜λ≤4B.3＜λ＜4C.2.5＜λ≤4.5D.3.5＜λ＜5.5

圖1

簡(jiǎn)析：如圖1，不妨設(shè)底面ABC的面積最大，若四面體為正四面體，則λ取最大值為4；當(dāng)頂點(diǎn)P無限趨近底面ABC時(shí)，則側(cè)面PAB、PBC、PCA無限趨近底面，則λ無限趨近于2。因此從以上兩種情況可得出結(jié)論，答案為A。

例4（1995全國年高中聯(lián)賽試題）：設(shè)O是正三棱錐P-ABC底面△ABC的中心，過O的動(dòng)平面與正三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱或其延長線的交點(diǎn)分別記為Q，R，S，則和式++（）。

A.有最大值而無最小值

B.有最小值而無最大值

C.既有最大值又有最小值，且最大值與最小值不等

D.是一個(gè)與平面QRS位置無關(guān)的常量

圖2

簡(jiǎn)析：如圖2，考查動(dòng)平面QRS，當(dāng)動(dòng)平面QRS無限趨近底面ABC，則和式++趨近++（定值）；當(dāng)動(dòng)平面QRS的點(diǎn)Q趨近A，R趨近PB的中點(diǎn)，則動(dòng)平面QRS與直線PC平行，相交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，和式++趨近+（定值）。因此綜合以上兩種極限情況可得出結(jié)論：和式++是一個(gè)定值，答案為D。

例5（2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）：在正n棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是（）。

A.（π，π）B.（π，π）

C.（0，）D.（π，π）

圖3

簡(jiǎn)析：如圖3，設(shè)側(cè)面所成的二面角為α，當(dāng)頂點(diǎn)無限接近底面時(shí)，α趨于π；當(dāng)頂點(diǎn)離底面無限遠(yuǎn)時(shí)，側(cè)棱無限趨于與底面垂直，此時(shí)，α無限趨于底面正n邊形內(nèi)角π，所以，二面角α的取值范圍為π＜α＜π。本例棱錐高不定，可將頂點(diǎn)看作是運(yùn)動(dòng)變化的，運(yùn)用極限思想，考慮兩種極限位置，從而使問題得到解決。

評(píng)注：將某些點(diǎn)或量看成是運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，應(yīng)用極限思想考查運(yùn)動(dòng)變化的極限情況，使問題獲解。

3.利用極限思想，化動(dòng)為靜，內(nèi)化思維

在對(duì)于定點(diǎn)、定值等的平面幾何、解析幾何問題中，利用極限思想對(duì)條件的某種極限狀況進(jìn)行考查，往往能探索出問題的結(jié)論，再將問題從極端情況過渡到一般情況，使復(fù)雜問題迎刃而解。

例6（1990年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）：設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)是F，F(xiàn)，左右頂點(diǎn)為M，N，若△PFF的頂點(diǎn)P在雙曲線上，則△PFF的內(nèi)切圓與FF邊的切點(diǎn)位置是（）。

A.在線段MN的內(nèi)部B.在線段FM內(nèi)部或FN內(nèi)部C.點(diǎn)M或點(diǎn)ND.不能確定

簡(jiǎn)析：如圖4，F(xiàn)，F(xiàn)，M，N為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線上移動(dòng)。當(dāng)P無限趨于M或N時(shí)，則△PFF的內(nèi)切圓與邊FF的切點(diǎn)位置無限趨于M或N；又當(dāng)∠FPF=時(shí)，可計(jì)算出FP的長度等于F到△PFF的內(nèi)切圓切線的長度，故猜想得C。本例為客觀題，有選擇性，采取上述方法簡(jiǎn)化討論過程，當(dāng)然此題可用常規(guī)方法，但運(yùn)算量較大。

圖4

例7（IMO1959-2）：在定線段AB上任取一點(diǎn)M，在AB的同一側(cè)以AM，BM為邊，作正方形AMCD，BMEF，設(shè)這兩個(gè)正方形的外接圓的圓心分別為P，Q，這兩個(gè)圓交于M，N，求證：MN過某定點(diǎn)。

圖5

簡(jiǎn)析：如圖5，設(shè)動(dòng)直線MN過定點(diǎn)T，由于T的位置不知，可以考慮M的特殊位置。若M為AB的中點(diǎn)，則T必在線段AB的中垂線上；若M無限趨近于A，則N也無限趨近于A，圓P退化為點(diǎn)A，割線MN逐漸趨近于AB為弦的圓的切線AT。綜合分析，得出T的位置應(yīng)是以AB為直徑的半圓弧的中點(diǎn)。結(jié)論改證：M、N、T三點(diǎn)共線。可證得N、C、B共線，得出∠ANB=，N在AB為直徑的圓上，又∠ANM=∠MNB=，得出要證明的結(jié)論。

評(píng)注：通過對(duì)研究對(duì)象的特殊位置和運(yùn)動(dòng)過程的動(dòng)態(tài)分析，尋求出變化中的不變量，以獲得有益的啟示，做出合理的判斷，達(dá)到以靜制動(dòng)、動(dòng)中求靜的目的。

4.利用極限思想，化動(dòng)為靜，催化思維

在研究未指明形狀和位置的軌跡問題時(shí)，通過對(duì)一些特殊點(diǎn)和極限點(diǎn)等情況的研究來判斷軌跡的大致輪廓，是探求軌跡的一個(gè)極其重要的方法。

例8（2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）：過拋物線y=x上的一點(diǎn)A（1，1）作拋物線的切線，分別交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在拋物線上，點(diǎn)E在線段AC上，且滿足=λ，點(diǎn)F在線段BC上，且滿足=λ，且λ+λ=1，線段CD與EF的交于點(diǎn)P，當(dāng)C在拋物線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程。

圖6

解析：如圖6，由題意計(jì)算知D為AB的中點(diǎn)，題目中涉及兩個(gè)變量λ，λ，考查問題的特殊情況和極限情況：（1）當(dāng)λ=λ=時(shí)，則==，EF∥AB，點(diǎn)P為三角形ABC的重心；（2）當(dāng)λ趨近于（等于）0，λ趨近于（等于）1，或當(dāng)λ趨近于（等于）1，λ趨近于（等于）0時(shí)，點(diǎn)P仍為三角形ABC的重心。因此可以得出結(jié)論：點(diǎn)P為三角形ABC的重心。

圖7

對(duì)點(diǎn)P為三角形ABC的重心的證明也比較容易，如圖7，過A，B分別作EF的平行線交CD于H，N，則==λ，==λ，λ+λ=1，故+==1，DP=PC，點(diǎn)P為三角形ABC的重心。再根據(jù)重心的性質(zhì)求出點(diǎn)P的軌跡方程為y=（3x-1），（x≠）。

評(píng)注：極限點(diǎn)、臨界點(diǎn)、特殊點(diǎn)是軌跡上的“靜點(diǎn)”，其他點(diǎn)看成是“動(dòng)點(diǎn)”，通過對(duì)“靜點(diǎn)”的情況研究來把握“動(dòng)點(diǎn)”的變化，以求“動(dòng)中求靜，以靜窺動(dòng)”。

極限思想是一種基本而又重要的數(shù)學(xué)思想，從某種意義上體現(xiàn)了“量”變到一定程度轉(zhuǎn)化為“質(zhì)”的變化過程。無限趨近的概念和性質(zhì)雖然超出高中課本知識(shí)，但在教學(xué)過程中，教師應(yīng)有意識(shí)讓學(xué)生掌握和運(yùn)用極限思想，如此既可以加深對(duì)極限概念的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、收斂思維和邏輯思維能力，又可以開闊學(xué)生眼界，增強(qiáng)其創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。

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