微積分的產生與發展

黃永梅 桑志英 王 翔

微積分是數學的一個基礎學科,是微分學和積分學的總稱,它的數學思想方法源遠流長。其中“無限細分”是微分,“無限求和”是積分。微積分是與實際應用聯系發展起來的,共經過了4個階段。

1 雛形時期

公元前3世紀,古希臘阿基米德在他的數學著作中用“窮竭法”探討圓的周長和體積公式,他數學研究的最大功績是“平衡法”,體現了積分的基本思想。在他的《論螺線》一書中,給出確定螺線在給定點處的切線的方法。可以說,阿基米德開創了微積分的先河。比阿基米德晚幾年的阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中討論過圓錐曲線的切線。

公元3世紀,我國魏晉時期的劉徽用“割圓術”求出π的近似值,在求球體體積與牟合方蓋體積之比時,用到“卡瓦列里”原理,只是沒有將它們進行總結。劉徽的“割圓術”和他的體積理論的思想是定積分理論的雛形。劉徽的思想由祖沖之和他的兒子祖暅之推進和發展,他們將劉徽創立的特殊形式的不可分量方法用于球的體積問題上,取得突破性進展,使球體積問題得以解決。

2 醞釀時期

16世紀末17世紀初的歐洲,文藝復興促進人們思維方式的改變。為解決天文、力學等方面的問題,必須提供必要的數學工具,這時產生的4類問題即求即時速度、求曲線的切線、求函數的最值和求積問題向數學提出新的挑戰。由于4類問題的產生,使得微積分的問題被提上日程。17世紀許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述4類問題作了大量的研究工作,如法國的費馬、笛卡爾,英國的巴羅、瓦里士,德國的開普勒,意大利的伽利略、卡瓦列里等人都提出許多很有建樹的理論,為微積分的創立做出貢獻。

意大利數學家卡瓦列里發展了系統的不可分量方法,又利用不可分量建立不可分量原理,使早期積分學突破體積計算的現實原型而向一般算法過渡。

笛卡爾在《幾何學》中提出求切線的“圓法”,在推動微積分的早期發展方面有很大的影響,牛頓就是以笛卡爾圓法為起跑點而踏上研究微積分的道路的。費馬在1637年提出求極值的代數方法,這種方法幾乎相當于現今微分學中所用的方法。笛卡爾與費馬所創立的解析幾何方法的出現與發展,使數學的思想和方法的發展發生質的變化,為17世紀下半葉微積分算法的出現準備了條件。

3 創立時期

17世紀下半葉,在前人工作的基礎上,英國科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成微積分的創立工作,他們把切線問題和求積問題聯系在一起。牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮,萊布尼茨卻是側重于幾何學來考慮的。

牛頓對微積分的研究始于1664年秋,1666年10月整理成《流數簡論》,這是歷史上第一篇系統的微積分文獻,標志著微積分的誕生。他在《流數簡論》中提出面積計算與求切線問題的互逆關系,建立“微積分基本定理”。在《流數簡論》的其余部分,牛頓將他建立的統一算法應用于求曲線切線、曲率、拐點,求積,求引力等16類問題,展示了他算法的極大普遍性與系統性。

萊布尼茨于1684年發表了他的第一篇微分學論文《一種求極大與極小和求切線的新方法》,這是數學史上第一篇正式發表的微積分文獻。他在這篇論文里定義了微分并廣泛采用微分記號,陳述他在1677年已得到的函數和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式。萊布尼茲還得出復合函數的鏈式微分法則,后來又將乘積微分的“萊布尼茲法則”推廣到高階情形。牛頓雖然也發現并運用了這些法則,但卻沒有去陳述一般公式,他更大的興趣是微積分方法的直接應用,在文獻《一種求極大與極小和求切線的新方法》中還包含了微分法求極大、極小值,求拐點以及光學等方面的廣泛應用。

1686年,萊布尼茲又發表了他的第一篇積分學論文《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》,初步論述積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關系。在這篇論文中,積分號第一次出現在出版物上。萊布尼茲所創設的微積分符號,遠遠優于牛頓的符號,這對微積分的發展有極大的影響。現在人們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。

微積分學的創立,極大地推動了數學的發展,被譽為“人類精神的最高勝利”。

4 發展時期

18世紀,微積分進一步深入發展,在數學史上,把這一世紀稱為“分析的時代”。在英國,泰勒和麥克勞林繼承了牛頓的學說,把函數展開成冪級數,為微積分的發展提供了有力的武器。但麥克勞林之后,英國的數學處于停滯狀態。萊布尼茲的學說,由他的學生雅各布·伯努利和約翰·伯努利在擔當,他們二人的工作構成現今所謂初等微積分的大部分內容。18世紀微積分最重大的進步是由歐拉作出的,他的著作《無限小分析引論》《微分學》和《積分學》是微積分史上里程碑式的著作。

到19世紀初,法國科學家以柯西為首,對微積分的理論進行認真研究,建立極限的理論。后來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化,使極限理論成為微積分的堅定基礎。

微積分是與科學應用聯系發展起來的,推動了近代數學的發展,也極大地推動了自然科學、社會科學及應用科學各個分支的發展,并在這些學科中有越來越廣泛的應用。