能密鋪嗎

一、背景介紹

數學新課標倡導學生在教師指導下主動地、富有個性地學習。《課標》指出，“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手操作、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式”，也就是說教師應以學生的主體實踐活動為主線展開教學，使教學過程充滿主動性、能動性和創造性。 《平面圖形的密鋪》這一課，選自北師大版義務教育課程標準實驗教科書(八年級上)第四章第七節。這節課讓學生經歷探索多邊形密鋪條件的過程，進一步發展學生的合情推理能力、合作意識和一定的審美情趣，進一步體會平面圖形在顯示生活的廣泛應用。通過探索平面圖形的密鋪，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以密鋪，并能運用這幾種圖形進行簡單的密鋪設計。平面圖形的密鋪是體現多邊形在現實生活中應用價值的一個方面，也是開發、培養學生創造性思維的一個重要渠道。

二、情境描述

在上課鈴聲中，我走上講臺。在輕柔的音樂背景下，我用課件向學生徐徐展現粘貼著地磚的家里衛生間、廚房，排列著藍色和白色墻磚的學校外墻及人行道上鋪成一片的彩磚等圖片。然后提問：說出它們由什么幾何圖形組成的。我的話音剛落，馬上有學生舉手回答，我繼續引導：“這些能夠鋪成一片的地磚、墻磚的圖形形狀，大小有什么特點?它們之間組合在一起的形式有什么特點?”學生們經過討論，紛紛舉手回答，它們的形狀完全相同，大小完全一樣：圖形之間是一個個排列在一起，相鄰的瓷磚之間沒有空隙也不重合。我高興地說：“是的，隨著生活水平的提高，許多人喜歡用花磚來鋪設地面，裝飾住房，這在數學里是一門學問，叫平面圖形的密鋪，也叫平面圖形的鑲嵌。即用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片。”

做一做：什么樣的圖形可以密鋪呢?這時，同學們的情緒已經被調動起來了。多媒體給出教材113頁“做一做”中的(1)、(2)。讓學生分別做。學生們拿出一些課前已準備好的全等的三角形、全等的四邊形，開始按要求動手操作，學生有的在自己的座位上拼，有的幾個人一起研究，熱情非常高。我在教室中巡視、鼓勵、指導。幾分鐘后，學生們自己得出結論，三角形與四邊形可以密鋪。這時，我馬上啟發學生思考：“通過自己動手實踐，大家驗證了三角形和四邊形都可以密鋪，你能說明為什么這兩種圖形可以密鋪嗎?”學生討論，幾分鐘后，沒有結果。我只得提示：“觀察一下，在三角形的密鋪圖形中，每個拼接點，有幾個角?三角形的內角和是多少?”有個學生站起來說：“每個拼接點有六個角，它們可以組成兩組三角形的內角和。”可能受這個同學的啟發，有幾個同學爭先恐后地說：“在四邊形的密鋪圖形中，每個拼接點有四個角，它們分別是四邊形的四個內角，由于四邊形的內角和是360°，便可以密鋪了。”我及時表揚了同學們這種善于觀察、思考，肯鉆研的學習精神，孩子們的臉上洋溢著成功的喜悅。

議一議：在這種充滿探究的氣氛下，我趁熱打鐵：“是不是任意多邊形都可以密鋪呢?有哪些正多邊形可以密鋪?”多媒體給出“議一議”。(1)正五邊形、正六邊形、正八邊形能否密鋪?簡述你的理由。(2)還能找到能密鋪的其它正多邊形嗎?讓學生先想一想，再與小組同學互相討論。“做一做”的主題剛落下帷幕，“議一議”掀起熱潮。有的學生們拿出剪刀和紙，翻開書本109頁，復制書中的正五邊形、正六邊形、正八邊形，然后做出一組和它們全等的圖形。也有學生在紙上或畫、或量、或算。學生們開始自主探索、合作交流。大家一致肯定正六邊形能密鋪，而正五邊形、正八邊形拼接時，要么有一點空隙，要么有的部分重合。我及時提問：“為什么會有這樣的差異?正多邊形要滿足什么條件才能用來密鋪呢?”學生討論后，教師總結得出：當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角和加在一起恰好組成一個周角時，就可以密鋪。要是正多邊形能密鋪，必須要求這個多邊形的每個內角度數整除360°。正五邊形與正八邊形的每個內角分別是108°與135°，不能整除360°。而正六邊形的每個內角是120°，能整除360°。“大家自己能得出這樣的結論，我非常高興。按照這個結論，不難看出，超出六邊的正多邊形的每一個內角大于120°，小于180°，都不能整除360°。因此，都不能密鋪——我的話還沒說完，有一位同學站起來自豪地發言(激動地忘記舉手)：“老師，能密鋪的圖形只有三角形，四邊形，正六邊形，對嗎?”我充分肯定了他的結論與及時概括總結的精神。

試一試：“數學是科學，數學更是一門藝術”。和著一曲悠揚的音樂，我讓同學們欣賞一幅幅漂亮的密鋪圖案(多媒體展示)。有用兩種或兩種以上的正多邊形密鋪的圖案，有的用有規律的圖形密鋪的圖案，例如埃舍爾鑲嵌藝術作品。余興未盡，在“試一試”這個活動中，我用挑戰的語氣說道：“老師一個朋友家要裝修房子，同學們能自己設計一個可以密鋪的‘基本單位’圖案嗎?并拼出美麗的圖案。”同學們互相合作，有的剪，有的貼。

下課的鈴聲即將敲響，我不得不讓同學們停手，總結道：“在日常生活中，我們經常可以看到密鋪的圖案，它美化了我們的生活。我們要在生活中、活動中學習數學，為我們的生活和進一步的學習服務。”

三、問題討論

1 如何轉變學生的學習觀念，使之認識到實踐操作也是一種很好的學習方式?

2 為適應學生的心理特征和認識規律，該如何優化設計數學活動?

3 如何使學生的數學思維與實踐能力結合在一起?

4 小組活動中如何評價每位學生的學習能力?

四、教學反思

新課程的一大特色是實踐性，實踐是學生動手能力的培養過程，也是學生情感體驗的過程。數學教學應是數學活動的教學，是一個師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程，應從學生的實際出發，創設有助于學生自主學習的問題情景，引導學生經歷“做數學”的實踐過程，從而獲得知識，形成技能，發展思維，學會學習，促使學生在教師的指導下生動活潑地、主動地、富有個性地學習。為此，我在安排這節課的教學活動時，努力發揚民主，以學生數學活動的組織者、引導者、合作者的身份盡力激發學生的學習潛能，鼓勵學生大膽地創新與實踐。

八年級學生獨立思考和探究的愿望與能力有所提高，并能在探究過程中形成自己的觀點。根據這一特點，本節課教學從欣賞生活中的密鋪圖案開始，在學生探究得出三角形與四邊形能密鋪后，不失時機地將問題引申：是不是任意的多邊形都可以密鋪呢?有哪些正多邊形可以密鋪?把學生的思維引向深層的思考，把課堂探究氣氛推向高潮。在解決這個問題之后，利用多媒體展示利用有規律圖形拼出的圖案，埃舍爾鑲嵌藝術作品等，擴大學生的知識。而讓學生動手設計密鋪圖形，更大地調動學生的學習熱情，更好地培養學生的探究能力、動手能力和創造能力。

但是，受師生的多媒體操作熟練程度的限制，在使用電腦探究問題方面存在不足，學生動手操作占用了太多時間，所以最后的小結太倉促，學生無法完全釋放自己，暢所欲言。如果把“試一試”改為課后實踐作業，而將這一部分時間用來“小結”，讓學生學會自我檢查，通過反思自我調整，同時讓學生相互問交流思想，學會自我評價與相互評價，可能效果會更好。另外，在課堂程序的安排上，顯得放開不夠。這些，在今后的教學中要給以彌補和改變。 作者單位：浙江省文成二中