從“怎么想到的”談面積公式推導的教學落腳點

一、平行四邊形，怎么想到割補化歸

在平行四邊形的面積公式推導中，老師會開門見山地問學生：你有辦法把平行四邊形轉化成長方形嗎?

學生有時候看過書，會說剪掉一只角拼過去，就是長方形，老師就會說：大家來試試看。于是全體學生來一番操作演示，學生明白了，平行四邊形確實是可以轉化為長方形的，記住公式，問題就解決了。

但成功的教育后面掩蓋著這樣一個問題：為什么要把平行四邊形轉化為長方形?你是怎么想到把平行四邊形轉化為長方形的呢?這個問題，是平行四邊形這一推導過程有別于長方形面積公式推導的數學價值所在。

這個問題怎么來解決呢?我提供如下過程：

環節一：用面積板來討論平行四邊形的面積。

問題：這個平行四邊形的面積是多少？

意圖：在長方形面積公式的推導中，曾經安排學生用兩平方厘米的單位來擺一擺，這就形成了面積板這一教學用具的表象。事實上，所有圖形的面積方法都只是在面積板無法解決時的變通方法。

環節二：討論：你是怎么數的。

問題：半個、小半個怎么數呢?

意圖：讓學生在數的過程中意識到將上面不完整的三角補到下面那個三角，正好是三個面積單位。

環節三：重復這個過程，在數方格中，強化移補的方法。

環節四：討論：剛才數方格的時候，同學們把一塊補到另一塊上，大家發現沒有，補之前與補之后有什么區別?

意圖：讓學生體會到數方格前是平行四邊形，數方格時其實已是長方形了。

環節五：討論：前面兩個圖形間的關系。（略）

以上環節想說明的是，學生的化歸思想緣于直觀的數方格，他們想把方格補完整再數就實施了這種樸素的化歸方法。因此，平行四邊形轉化為長方形，首先的剪拼模型是這樣的：

我們書上提供的剪拼方法是優化后的補方格方法：

因此，在平行四邊形的面積公式推導過程中，我們教師教學設計的落腳點，應該是讓學生在數方格中經歷方格割補湊整到圖形割補轉化的遞進，以此實現與學生經驗的無縫對接。

二、三角形面積，怎么想到加拼化歸

在學習完平行四邊形后，學習三角形面積公式的推導，讓學生對通過剪拼將三角形轉化為平行四邊形，是不難實現的，僅是方法的再一次應用。但是，通過對拼上一個完全一樣的三角形來實現轉化，基本上屬于任務驅動。這樣的結果只會又一次掩蓋三角形面積公式推導所蘊含的數學價值。

三角形面積公式的推導可以遷移平行四邊形的化歸方法，即割補法。但同時又有屬于它自己的化歸方法，即加拼法，而加拼法需要更多的空間想象能力。因此，三角形面積公式推導的數學要在這一點上有所凸現。

我在兩個完全一樣的三角形拼圖之前，增設了以下教學過程：

環節一：復習，看下列圖形，回答老師的問題。

問題：（1）這些圖形都是什么圖形?

（2）它們的面積各是多少個面積單位?

（3）怎么求它們的面積的?

意圖:復習平行四邊形面積公式的推導及應用，形成認識基礎。

環節二：請大家觀察老師的行為，回答老師的問題：

問題：（1）老師做了什么事?

（2）老師這樣做的結果是什么?

（3）你能在這個過程中得出什么結論嗎?

意圖：通過用對角線將平行四邊形分成了兩個完全一樣的三角形，從而得出結論：任何一個平行四邊形都是由兩個完全一樣的三角形組成的。

環節三：討論：是不是任何兩個完全一樣的三角形都可以拼成一個平行四邊形呢?

（以下略）

通過上面的復習觀察，在提出命題的過程中，學生們很自然地對加拼化歸這種方式產生了需要，而且在老師的幫助下，學生不知不覺地處于一種化歸方法的實踐之中。

三、梯形面積公式，化歸方法的實踐場

在學習梯形面積之前，學生已經學習了以下內容：

1.長方形面積公式推導（從實證到抽象）

2.平形四邊形的面積公式推導（從數數到剪拼化歸）

3.三角形的面積公式推導（從觀察發現到加拼化歸）

那么，梯形面積公式推導，有新的東西嗎?落腳點在哪里呢?

我個人認為，梯形面積公式推導是平面圖形面積公式推導教學環節中的一個實踐場地。

這個內容的教學，可以提供給學生一個充分的自主推導的過程，既可以割補推導，又可以加拼推導。以此強化學生對化歸方法的理解。因此，梯形面積公式的推導，落腳點在于學生的嘗試與討論上。

四、圓面積公式推導，方圓之間的突破

圓面積公式推導，是所有平面圖形面積公式推導中最困難的，它的困難不在化歸思想的應用上，而在于方圓之間的空間觀念上。學生通常把圓和方截然分開，它對圓轉化為方始終心存疑惑。因此，圓面積公式的推導，落腳點不在于演示轉化過程，而在于突破學生頭腦中方圓之間的障礙。那么，如何突破呢?我提供以下材料：

材料一：

請觀察：

問題：圓是幾邊形?

材料二

請觀察：

問題：圓是由幾個等腰三角形組成的?

這兩份材料的作用，就是使學生在觀念上將方和圓融合在一起，方在一定狀態下成為圓，圓里蘊含著許多個方。因此，圓可以轉化為方。圓是由無數個等腰三角形組成的，自然可以通過分割為等腰三角形來轉化。

有了這個觀念作準備，圓面積公式的推導難度就降下來了，學生將圓轉化為方的思路也就順暢起來了。