運算律教學應關注什么

運算律是四則混合運算的基本內容之一，包括加法交換律和結合律，乘法交換律、結合律和分配律。《義務教育數(shù)學課程標準》（實驗修訂稿）在“數(shù)與代數(shù)”的具體目標中指出：探索和理解運算律，能運用運算律進行一些簡便運算。運算律教學的價值何在，怎樣進行運算律教學，如何引導學生運用運算律，都是我們在新課程背景下需要關注的問題。

一、運算律的教育價值

理解運算律的教育價值是進行運算律教學的前提，明確了教育的價值，才能使教學有的放矢，使教學目標得到全面而具體的落實。

1.優(yōu)化算法，培養(yǎng)思維靈活性。在數(shù)學學習的意義上，運算律教學的價值更多體現(xiàn)在應用上，它具有很強的工具性，即運算律是學生靈活處理運算程序、使運算過程簡單但又不會改變運算結果的重要依據(jù)。“簡便計算”是立足于“運算律”基礎上的算法簡單化的過程，學生可以根據(jù)運算和數(shù)據(jù)的特點，靈活選擇運算方法，以提高運算的速度。

2.廣泛應用，提供算理支撐。學生在認識運算律前就已廣泛使用運算律。如口算43+56時，40+50=90，3+6=9，90+9=99，其中不知不覺地運用了加法的交換律和結合律。口算43×12時，先算43×2，再算43×10，最后將兩部分結果相加，在此過程中乘法分配律提供了重要的算理支撐，只不過學生不知道這就是“乘法分配律”而已。小學學習初步代數(shù)時，有這樣的規(guī)定：數(shù)與字母相乘，省略中間的乘號，數(shù)要放在字母的前面。這就是乘法交換律在起作用。通過運算律的教學，可以對以前學習的知識進行解釋，提高學生的理性認識。進入中學以后，在代數(shù)學習中，運算律也有很多運用，如因式分解時提取公因數(shù)等。

數(shù)學運算律是數(shù)學運算的通性，是運算固有的最基本的性質，對于自然數(shù)而言，它是與加法和乘法運算同在的。在教學時要讓學生充分地感悟到其實今天所揭示的運算律早已根植在自然數(shù)的算法中，早已存在于已有的經(jīng)驗之中。

3.形成過程，滲透思想方法。運算律的形成過程是建模的過程，建模過程也是分析、綜合、抽象概括的過程，學生在其間領略到數(shù)學建模的方法以及符號化的模型表達方式，受到算式“形變”而結果“不變”的辯證思想的啟蒙，在運用運算律的過程中還能體會到“化歸”思想的魅力所在。如78×2．1+2．2×21可以轉化成78×2．1+22×2．1進而轉化成（78+22）×2．1即100×2．1。

二、運算律的建模過程

下面的幾個問題值得我們思考：

1.學生學習運算律的起點是什么？

學生對運算律的認識不是一張白紙。前面已經(jīng)分析，計算數(shù)學、解決問題教學時已經(jīng)滲透了運算律，只是學生的理解是建立在加法、乘法運算的意義之上，并沒有涉及運算律這一概念，但它們在本質上是相同的。從這個意義上講，運算的意義是運算律存在的基礎，運算律是運算意義的拓展和延伸。因此，運算律的建模過程要建立在學生已有的知識基礎和認知經(jīng)驗之上。如果不顧及這一點，那么運算律的教學就要另起爐灶。如45+68=68+45，學生在一年級時就知道結果相同并能熟練運用，如果教師不了解學情，把學生當做一張白紙，就不能激發(fā)學生主動地進行認知的建構。

2.運算律形式的探究是我們追求的目標嗎？

教材編排的意圖以及教師的教學，大都采用“猜想——驗證——歸納”的模式進行組織，即從一個實際問題的解決引出兩個結果相同的算式，提出猜想，再通過舉例驗證猜想，從而歸納出運算律的內容。我們不難發(fā)現(xiàn)，在這一過程中學生、教師關注的只是式子的本身，而并非式子的意義，不利于學生對運算律的內化以及遇到實際問題時的靈活運用。事實上兩個式子相等是客觀存在的，無需通過計算來證明，如“學生在操場做操，每行12人，有18行。做操的學生一共有多少人?”12×18和18×12都表示做操的人數(shù)，應該相等。這是不用計算就能知道的，表述的是一種意義的理解，而不是因為它們都等于216，所以相等。形式要與內容相統(tǒng)一，表達形式是內容抽象的結果。因此，運算律的建模要從“形式”探究走向“意義”建構。

3.對運算律內容的語言表述還需要嗎？

新教材中運算律內容是用字母形式表示的，如加法交換律a+b=b+a，代替了舊教材的語言敘述：兩個數(shù)相加，交換兩個加數(shù)的位置，和不變。教材中刪去運算律語言表述的內容，教師就理直氣壯地不重視了。那么是不是意味著不需要語言參與呢?答案是否定的。事實上，在對規(guī)律的探究過程中學生是離不開語言的，語言是思維的外殼，語言能清晰地反映學生對內容表達的狀況以及理解的程度，語言表達能力是學生數(shù)學素養(yǎng)的重要方面，需要引起我們高度重視。我們反對機械的結語背誦，提倡學生在建構中理解，在理解中表達。

如何組織學生的建模活動呢?下面以乘法分配律為例，談談我們的做法。

1.提供現(xiàn)實問題背景，豐富建模資源

運算律與四則運算一樣，與現(xiàn)實生活有著密切的聯(lián)系。新教材在其背景的呈現(xiàn)上與舊教材相比雖有了一定的突破，但還不夠豐富，需要進一步拓寬，以豐富運算律的內涵。同時也為運算律的應用做好經(jīng)驗上的準備。

①蘇教版四年級下冊

將教材中問題改成：買5件夾克衫和4條褲子，一共要付多少元?列出算式：65×5+45×4。

接著出示教材中的問題：買5件夾克衫和5條褲子，一共要多少元?學生根據(jù)信息分別列出算式：方法一65×5+45×5，方法二（65+45）×5。

教師引導學生思考：為什么第二個問題可以用方法二，而第一個問題卻不可以?問題直接指向乘法分配律的本質特征：有一個相同的因數(shù)。從而得出（65+45）×5=65×5+45×5。從一般到特殊，在比較中凸顯特征。

②水果店運來蘋果18箱，香蕉22箱。兩種水果每箱都重15千克。運來的蘋果和香蕉一共重多少千克?

學生分別用兩種方法解答，即15×18+15×22和15×（18+22）

重點引導學生理解兩種方法的解題思路，突出第二種方法存在的基礎：兩種水果每箱都重15千克。得出15×（18+22）=15×18+15×22

③下圖的面積一共有多大?

學生交流得出：（5+2）×3=5×3+2×3。兩個長方形寬“相同”，構成了乘法分配律的幾何模型。

2.經(jīng)歷抽象過程，形成運算律模型

①上面三道等式，有什么規(guī)律?（抽取共同特征）

②（18+12）×7=18×7+12×7嗎?它解決的可能是一個什么問題?（猜想，并通過計算或舉例驗證）

學生可以通過計算得出結論，也可以將算式還原成具體的問題進行解釋，如某班有18名男生、12名女生，平均每人捐7元，全班共可捐多少元?

③你還能寫出幾組這樣的式子嗎?（加快推理的“速度”）

④如果用字母表示，這個規(guī)律可以怎樣表示?（形成模型）

⑤（a+b）×c=a×c+b×c，你能用自己的語言表述這個式子的意思嗎?（對模型進行描述）

3.建立聯(lián)系，實現(xiàn)新舊知識的遷移和貫通

引導學生回憶以前學習的知識，它與乘法分配律有什么聯(lián)系。比如，乘法豎式的計算過程：

這個過程用模型解釋，即45×12=45×（10+2）=45×10+45×2，從而突出數(shù)學知識之間的邏輯聯(lián)系以及數(shù)學原理的應用價值。

在后續(xù)學習中，還要將整數(shù)范圍的運算律遷移到小數(shù)、分數(shù)的運算中，以檢驗模型的適應性，培養(yǎng)學生合情推理的能力。

整個過程學生處于探究之中，不是純粹的數(shù)與數(shù)之間的運算游戲，而是將算式與實際問題相聯(lián)結，使運算律教學更有意義。

三、運算律的應用意識

當前，運算律運用存在的突出問題是學生應用的自覺性。主要表現(xiàn)在：一是如果題目沒有簡算的要求，學生就不用運算律進行簡便計算。究其原因，主要是在解決問題時，缺少體驗，沒有感覺到運算律給計算帶來的簡便、快捷，情感價值的認同缺失。二是運算律模型的建立與應用之間產(chǎn)生脫節(jié)，缺少鞏固及變式訓練，造成模型的關鍵特征在學生頭腦中表象不夠清晰。三是學生對相關數(shù)據(jù)的敏感程度較弱，如哪些數(shù)可以湊成整十、整百、整千等。為此，我們可以設計如下活動（以乘法分配律為例）。

1.變“封閉”為“開放”

根據(jù)乘法分配律在□里填上合適的數(shù)，在○里填上運算符號

①（42+35）×a=42×□+35×□

27×12+43×12=（□○□）×12

②□×26+□×14=□○（□○□）

③125×（800+80+2）=125×□+125×□+125×□

38×72+54×72+8×72=（□+□+□）×72

38×72-38×27=38×（□○□）

④37×99+37=37×（□○□）

37×101-37=□○（□○□）

①是基本模型再現(xiàn)，②是開放練習，等號左邊的兩個□里可以填相同的數(shù)，也可以填不同的數(shù)，③是拓展練習，從兩個數(shù)的和拓展到三個數(shù)的和，從加法拓展到減法，④是變式練習，突出特例的處理。通過練習，使分配律的模型“特征”得以強化，在學生頭腦中清晰牢固地建立起來。

2.變“訓練”為“選擇”

搶答：每組中兩題的結果分別是多少?

15×39+45×39

（15+45）×39

（28+32）×7

28×7+32×7

25×（40+4）

25×40+25×4

（a+b）×c與a×c+b×c，哪種更簡便些，是需要根據(jù)數(shù)據(jù)特點作出選擇的，通過題組的練習，感悟選擇的依據(jù)，培養(yǎng)自覺選擇運算方法的習慣，優(yōu)化算法。

3.變“指令”為“探索”

①計算8×98+2×98

②上圖中種茄子和辣椒的面積一共是多少?（單位：米）以上兩題沒有簡算的要求，學生自行計算后組織交流，比較不同算法的優(yōu)劣，進一步體會運算律的價值。

③65×5+45×4能運用乘法分配律進行計算嗎?引導學生探究得出（65+45）×5-45和（65+45）×4+65這兩種算法，從而實現(xiàn)一般與特殊之間的相互轉化，突出運算律的本質特征。