警惕“形式化”的數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)

在一次校級(jí)研討課中，一位青年教師執(zhí)教了國(guó)標(biāo)蘇教版的“找規(guī)律簡(jiǎn)單的搭配”一課，引發(fā)了教研組對(duì)數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的進(jìn)一步討論與思考。現(xiàn)將教學(xué)案情描述如下：

【教學(xué)案情】

師：在我們的生活中存在各種搭配現(xiàn)象，例如衣物搭配，在幾件上衣和幾條褲子中各選一個(gè)，組成一套；再如食物搭配，在這些搭配現(xiàn)象中存在著一定的規(guī)律，今天我們就一起來尋找簡(jiǎn)單搭配中的規(guī)律。

老師拿出一張某食堂星期一的菜譜。出示菜譜，讀菜譜。（二葷三素）

師：如果讓你只選一種葷菜，你有幾種選擇？如果讓你每次只選一種素菜呢？如果一葷一素搭配，你會(huì)怎樣選擇呢？（學(xué)生回答）

師：看來我們有多種搭配的方法，一共有幾種呢？先猜一猜。（學(xué)生回答）

師：到底有幾種呢？每個(gè)同學(xué)動(dòng)手驗(yàn)證一下自己的答案，可以寫一寫，也可以畫一畫。

學(xué)生練習(xí)，教師巡視。

小組交流：將你的搭配方法說給小組里的同學(xué)聽一聽，比比誰的方法好。

全班交流。

師：通過交流，你覺得哪種方法比較簡(jiǎn)便？

學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)，圖形表示法、符號(hào)表示法比用文字列舉要簡(jiǎn)便得多。

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組討論：

1.怎樣選配才能做到既不重復(fù)，又不遺漏？

2.葷菜的種類、素菜的種類與共有多少種搭配方法有什么關(guān)系？

學(xué)生討論后進(jìn)行全班交流。

師：怎樣做才能做到既不重復(fù)，又不遺漏？

根據(jù)學(xué)生回答，教師板書總結(jié)。（要有序）。

師：通過剛才的驗(yàn)證及練習(xí)，你覺得葷菜的種類、素菜的種類與共有多少種搭配方法有什么關(guān)系嗎？(多數(shù)學(xué)生覺得有些困難，一陣沉寂之后，終于有學(xué)生舉了手。)

生：葷菜的種數(shù)×素菜的種數(shù)=搭配方法的種數(shù)。

師：根據(jù)這個(gè)規(guī)律，你能列式解答嗎？

生：3×2=6（種）。

……

【診斷分析】

教師在教學(xué)中理應(yīng)給學(xué)生提供充分從事探究學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法。然而，由于教師對(duì)數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)理解的偏頗或不到位，使得探究學(xué)習(xí)陷入了一種“形式化”的誤區(qū)。

教研組的老師在進(jìn)行課堂評(píng)價(jià)的時(shí)候，提出這樣三點(diǎn)看法：

1.在上述案例中，教者試圖通過與學(xué)生生活聯(lián)系密切的菜譜搭配來喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，這樣的設(shè)計(jì)確實(shí)能夠在一定程度上激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。然而，本課的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律，簡(jiǎn)而言之，關(guān)鍵在于一個(gè)“找”字。而如何讓學(xué)生在自主探究的過程中“找”到這個(gè)規(guī)律呢？顯然，教者在這個(gè)“找”字上花的工夫太少。

2.教師在讓學(xué)生經(jīng)歷了“葷菜、素菜搭配”這一個(gè)例子后，沒有對(duì)例子作進(jìn)一步的拓展就急于讓學(xué)生概括規(guī)律，導(dǎo)致學(xué)生在概括規(guī)律時(shí)顯得有些困難。這是因?yàn)椋叭澆说姆N類”、“素菜的種類”與“共有多少種搭配的方法”之間關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，是通過不完全歸納得到的，但進(jìn)行不完全歸納時(shí)，必須提供給學(xué)生足夠豐富的例子，而不是通過簡(jiǎn)單的一兩個(gè)例子就總結(jié)概括出來。因此，案例中教師設(shè)計(jì)的探究學(xué)習(xí)素材過于單薄，學(xué)生自然也就無法從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這樣就使探究學(xué)習(xí)陷入了“形式化”的誤區(qū)。

3.本課的另一個(gè)教學(xué)目標(biāo)，是讓學(xué)生在列舉的過程中體驗(yàn)到“有序”，即 “怎樣做才能做到既不重復(fù)，又不遺漏？”其實(shí)關(guān)于這個(gè)問題，不是通過簡(jiǎn)單的思考就可以得出結(jié)論的，它更強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生的一種體驗(yàn)，即自己真切感受、體驗(yàn)到只有“有序”才能做到既不重復(fù)，又不遺漏。這種體驗(yàn)的獲得并不在于教師如何設(shè)計(jì)精心的提問，而在于讓學(xué)生在“無序”和“有序”的比較中獲得，也就是說，教者可以通過展現(xiàn)學(xué)生在解決問題過程中的“無序列舉”和“有序列舉”，讓學(xué)生對(duì)兩種方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)只有“有序列舉”才能做到既不重復(fù)，又不遺漏。

【教學(xué)思考】

筆者以為，教研組老師的評(píng)價(jià)是比較中肯的，也比較準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)了課例中存在的主要問題。在此基礎(chǔ)上，筆者作了進(jìn)一步的思考，即數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)到底應(yīng)該提供給學(xué)生怎樣的探究學(xué)習(xí)材料？怎樣利用這些材料引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)？數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的體驗(yàn)從何而來？

一、 該給學(xué)生提供怎樣的探究學(xué)習(xí)材料

數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的過程必然是一個(gè)不斷經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、思辯的過程，而探究學(xué)習(xí)材料是學(xué)生進(jìn)行有效探究的基礎(chǔ)和前提，有效的探究教學(xué)首先表現(xiàn)在學(xué)習(xí)材料的優(yōu)質(zhì)上。在探究學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)該給學(xué)生提供怎樣的探究學(xué)習(xí)材料呢？筆者以為，探究學(xué)習(xí)的材料必須是結(jié)構(gòu)化的，具有內(nèi)在邏輯關(guān)系的。

比如上述課例中，在學(xué)生充分探究“兩種葷菜、三種素菜的搭配種數(shù)”之后，我們可以改變例題的條件，讓學(xué)生再次經(jīng)歷解決問題的過程，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和感性認(rèn)知。為學(xué)生提供這樣兩組的探究材料：

第一組：

1.如果有兩種葷菜，四種素菜，葷素各選一種，共有幾種搭配方法？

2.如果有三種葷菜，三種素菜，葷素各選一種，共有幾種搭配方法？

3.如果有兩種葷菜，五種素菜，葷素各選一種，共有幾種搭配方法？

4.如果有三種葷菜，四種素菜，葷素各選一種，共有幾種搭配方法？

第二組：

1.某人有兩套不同的西裝和三條不同顏色的領(lǐng)帶，問共有多少種不同的搭配方法？

2.有兩個(gè)軍官和三個(gè)士兵，現(xiàn)由一個(gè)軍官和一個(gè)士兵組成巡邏隊(duì)，問共有多少種不同的組成方式？

3.某女士外出旅行時(shí)帶了三件不同顏色的上衣和四條不同顏色的裙子，問共有多少種不同的搭配方法？

4.有三個(gè)軍官和四個(gè)士兵，現(xiàn)由一個(gè)軍官和一個(gè)士兵組成巡邏隊(duì)，問共有多少種不同的組成方式？

這兩組探究材料的設(shè)計(jì)，第一組注重?cái)?shù)學(xué)材料內(nèi)在的層次性和邏輯性，有利于學(xué)生自主探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律；第二組注重內(nèi)在的結(jié)構(gòu)性，即呈現(xiàn)的問題情境和第一組不一樣，但問題的內(nèi)部表征是相同的，進(jìn)而引領(lǐng)學(xué)生在經(jīng)歷問題探究的過程中理解數(shù)學(xué)情境的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的思維遷移能力。

二、 怎樣利用探究材料引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)

當(dāng)探究材料具有內(nèi)在的結(jié)構(gòu)性和邏輯性的時(shí)候，我們?cè)鯓永眠@些材料進(jìn)行有效的探究學(xué)習(xí)呢？我想，所謂有效，是指學(xué)生在探究學(xué)習(xí)的過程中，能夠自主探索、積極思考，發(fā)現(xiàn)探究材料具有一定的內(nèi)在的結(jié)構(gòu)性，進(jìn)而探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。正如上述課例中，由“兩葷三素”的搭配到“兩葷四素”、“三葷三素”、“三葷四素”的搭配，這樣的拓展的目的不僅僅是為了讓學(xué)生能夠通過不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，更重要的是為了讓學(xué)生較好地實(shí)現(xiàn)由具體問題向相應(yīng) “數(shù)學(xué)模式“的過渡。

而在這一過程中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考是尤為重要的。第一組的探究材料，注重引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)搭配的規(guī)律，可以這樣提問：通過剛才的變化，你有沒有發(fā)現(xiàn)，搭配的總數(shù)和什么有關(guān)系？有什么樣的關(guān)系呢？第二組的探究材料，重在讓學(xué)生與第一組材料進(jìn)行比較，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題情境的內(nèi)部表征是相同的。可以這樣設(shè)計(jì)：觀察這兩組探究材料，你覺得它們?cè)诒举|(zhì)上一樣嗎？什么地方是相同的？

三、 數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的體驗(yàn)從何而來

探究性學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)體驗(yàn)從何而來？是教師啟發(fā)、誘導(dǎo)就能得到的嗎？筆者以為，體驗(yàn)是置身特定情境下的感受，當(dāng)然它是真切的、發(fā)自內(nèi)心的。比如課例中教師讓學(xué)生進(jìn)行小組討論“怎樣選配才能做到既不重復(fù)又不遺漏？”目的在于讓學(xué)生體驗(yàn)到選配時(shí)要“有序”，也就是要有條理地操作或思考。然而，如果沒有充分的探究活動(dòng)，學(xué)生關(guān)于“有序”的體驗(yàn)又從何而來，而事實(shí)上，學(xué)生只有經(jīng)歷或感受了“無序”的繁雜與慌亂，才能體驗(yàn)到“有序”的便捷與從容。沒有比較，又哪來的體驗(yàn)。進(jìn)而，在探究學(xué)習(xí)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生“置身”于探究情境之中，而非游離于探究情境之外；教師要善于比較與甑別，體驗(yàn)與感悟，從而在數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的過程中不斷豐富自己的數(shù)學(xué)體驗(yàn)。