數(shù)列美賞析

一、不變美

等差數(shù)列、等比數(shù)列作為項數(shù)ｎ的函數(shù)，其項的大小是隨項數(shù)的變化而變化的，但變化中卻存在很多不變.

在等差數(shù)列﹛ａｎ﹜中，任意相領(lǐng)兩項之差不變，由此有“兩項和”的不變性：

Ａ１ ＋ ａｎ ＝ ａ２ ＋ ａｎ－１ ＝ ａ３ ＋ ａｎ－２ ＝ …（１）

在等比數(shù)列﹛ａｎ﹜中，任意相領(lǐng)兩項之比不變，由此有“兩項積”的不變性：

Ａ１ａｎ ＝ ａ２ａｎ－１ ＝ ａ３ａｎ－２ ＝ …（２）

由（１），（２）又可推出更一般的不變：

如果 ａｍ，ａｎ，ａｐ，ａｑ是等差數(shù)列﹛ａｎ﹜的任意四項，且滿足ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ，那么ａｍ ＋ ａｎ ＝ ａｐ ＋ ａｑ.

如果 ａｍ，ａｎ，ａｐ，ａｑ是等比數(shù)列﹛ａｎ﹜的任意四項，且滿足ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ，那么ａｍａｎ ＝ ａｐａｑ.

二、對稱美

從等差、等比數(shù)列的定義不難得到如下性質(zhì)：

（１）在等差數(shù)列中：

① 分別與首末兩項“等距離”的兩項之和相等；

② 關(guān)于某項對稱的前后兩項之和相等.

（２）在等比數(shù)列中：

① 分別與首末兩項“等距離”的兩項之積相等；

②關(guān)于某項對稱的前后兩項之積相等.

（１）、（２）體現(xiàn)了等差、等比數(shù)列的對稱性，這些對稱性?？捎脕砗喕承?shù)列問題的求解過程，比如：已知三數(shù)成等差數(shù)列，它們和為２１，它們的平方和為１９７，求此三數(shù). 若利用等差數(shù)列的對稱性，設(shè)此三數(shù)為ａ － ｄ，ａ，ａ ＋ ｄ，則可大大地簡化解題過程. 等差數(shù)列與等比數(shù)列的任意相鄰有限項均可表示成對稱式：

（１） 若等差數(shù)列的項數(shù)ｎ為奇數(shù)時，可設(shè)為對稱式：ａ －ｄ，ａ －ｄ，…，ａ － ｄ，ａ，ａ ＋ ｄ，ａ ＋ｄ，ａ ＋ｄ.

若等差數(shù)列的項數(shù)ｎ為偶數(shù)時，可設(shè)為對稱式：

Ａ － （ｎ － １）ｄ，ａ － （ｎ － ３）ｄ，…，ａ － ３ｄ，ａ － ｄ，ａ ＋ ｄ，ａ ＋ ３ｄ，…，ａ ＋ （ｎ － ３）ｄ，ａ ＋ （ｎ － １）ｄ．

（２） 若等比數(shù)列的項數(shù)ｎ為奇數(shù)時，可設(shè)為對稱式：

Ａｑ ，ａｑ ，…，ａｑ－１，ａ，ａｑ，…，ａｑ ，ａｑ .

若等比數(shù)列的項數(shù)ｎ為偶數(shù)時，可設(shè)為對稱式：

Ａｑ－（ｎ－１），ａｑ－（ｎ－３），…，ａｑ－１，ａｑ，…，ａｑｎ－３，ａｑｎ－1.

三、相似美

從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列是定義在正整數(shù)集 Ｎ＊（或它的有限非空子集｛１，２，…，ｎ｝）上的函數(shù)ｆ（ｘ），這樣我們通過函數(shù)來研究數(shù)列的一些相似性質(zhì). 比如由于等差數(shù)列是項數(shù)ｎ的一次函數(shù)，因而從一次函數(shù)的特性不難找到等差數(shù)列的相似特性；……