巧用定比分點公式解題

定比分點公式是平面解析幾何中的重要公式，在解析幾何中的應用非常廣泛. 在平面直角坐標系中分點的坐標是以二維變量(x，y)形式出現的，在數軸上定比及定比分點公式顯得更簡潔和新穎，分點的坐標是以一維變量x的形式出現的. 所以在高中數學的其他章節內容中，若能靈活運用定比及定比分點公式求解，既能拓展學生的解題思路，開闊視野，又能培養學生的創造性思維.

例1 設x =，a < b且c < 0，c ≠ -1，求證:x?埸[a，b].

證明 如下圖，在數軸上取點A，B，坐標分別為a，b點x分有向線段 所成的定比λ = c，即= λ ，由定比分點公式得x == .

∵c < 0即λ < 0，所以點X為線段 的外分點，即x?埸[a，b]

例2 已知|a| <1，|b| < 1，求證:<1 .

證明 設-1， ，1分別對應數軸上的三點P1，P，P2且P是有向線段 的分點，則由|a| <1，|b| < 1知P分有向線段 的定比λ = = > 0，因此P是有向線段 的內分點，從而-1 < < 1，所以以上結論成立.

例3 已知a + b < 2c且a > 0，求證:c - < a < c +.

分析 該題與例2證明方法相同，如下圖，P分有向線段 所成的定比 λ > = = > 0.

所以P是有向線段 的內分點，即結論成立.

評注 以上三題都巧妙地構造了數軸上的定比分點，運用定比的概念及定比分點公式進行運算，利用定比λ值的符號以及內分點，外分點的概念巧妙地證明了以上不等式.

例4 已知a，b∈N*，試判斷 距離 與哪個更近?并說明理由.

分析 本題需要判斷 -與-的值哪一個更小一些. 若聯想定比分點，利用定比λ>1或0 < λ < 1判斷分點距有向線段的兩個端點的遠近很容易解決問題.

解 設 ， 與 分別對應數軸上的三點 P1，P，P2且P分有向線段 所成的比為 λ ，則 λ = =#8226;= ( + 1)1 + > 1. 所以P為有向線段 的內分點，且離P2更近，即距 更近.

例5 設方程mx2 - 2x - m + 1 = 0對于m∈(-2，2)的一切m有解，求x的取值范圍.

分析 該題運用代數的方法，通過構造一次函數 f(m) = (x2 - 1)m + (1 - 2x)，利用數形結合很容易求解，但通過構造定比分點，利用定比進行運算思路顯得很新穎.

解 由題意知當x = ±1時m無解，所以x2≠1，則由方程mx2 - 2x - m + 1 = 0，得m= . 如下圖， -2，m，2分別對應數軸上的三點 P1，P，P2且P分有向線段 所成的比為λ. 顯然依題知P為內分點即λ > 0 . 由定比分點公式得:

評注 通過以上幾題的解答，強化了對定比及定比分點公式的理解，增強了數學學科內知識的交會，對于拓展學生思維，提高應用知識解決問題的能力很有幫助.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”