快速解答目標函數的最優解

線性規劃與非線性規劃的區別是:如果線性規劃的最優解存在，其最優解只能在其可行域的邊界上達到(特別是可行域的頂點上達到);而非線性規劃的最優解存在，則可能在其可行域的任意一點達到. 并且若目標函數的可行域為R，則有以下正確結論:

(1) 可行域R可能會出現多種情況. R可能是空集也可能是非空集合，當R非空時，必定是若干個半平面的交集(除非遇到空間維數的退化). R既可能是有界區域，也可能是無界區域.

(2) 當R非空時，線性規劃既可以存在有限最優解，也可以不存在有限最優解(其目標函數值無界).

(3) R非空且目標函數有有限最優解時，最優解可以唯一或有無窮多個.

從以上結論可看出，若目標函數有可行解，則可行域一定是一個凸多邊形. 對于不是求最優整數解的線性規劃問題，若存在有限最優解，最優解一定在凸多邊形的頂點或可行域的邊緣上找到. 下面以近年來的高考題為例說明這個問題.

一#65380;不需畫可行域的目標函數的最優解問題

線性規劃的可行域一般是凸多邊形，其最優解在頂點處或是可行域的邊緣線上取得，當最優解在頂點處取得時，可將頂點的坐標代入目標函數計算，比較大小即可得最優解. 而頂點坐標實質是可行域中的直線的交點，故約束條件不多(特別是由三個一次不等式構成)，且目標函數的最優解比較明確時可以不畫可行域，只需把條件中所給約束條件的直線方程兩兩聯立求解，然后把這些點的坐標代入目標函數計算，最大的便是其最大值，最小的便是其最小值，并且目標函數的范圍夾在其最大值與最小值之間.

例1 已知變量x，y滿足x ≥ 1，y ≤ 2，x - y ≤ 0，則x + y的最小值是 ( ).

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

解析 由x = 1y = 2?圯(1，2);x = 1x - y = 0?圯(1，1) ;y = 2x - y = 0?圯(2，2) .

分別將以上三個點的坐標代入z = x + y驗證知其值分別為2，3，4，故x + y的最小值是2. 故選C.

點評 因目標函數z = x + y與可行域中的任意一條直線都不平行，且可行域的頂點有三個，故目標函數z = x + y 的最值只可能在頂點處取到，所以不需畫可行域便可求出結論.

例2 設實數x，y滿足x - y - 2 ≤ 0，x + 2y - 4 > 0， 則 的最大值是 2y - 3 ≤ 0，.

解析 將約束條件中的直線方程兩兩聯立求解，得頂點坐標分別為 ， ，1， ， ，.

分別將以上三個點的坐標代入z =計算得值分別為 ， ， .所以z =的最大值是 .

點評 依題意知可行域是一個三角形，而目標函數實質是求可行域中的點(x，y)的縱#65380;橫坐標的比，此點一定在凸三角形的頂點處取到，故只需把頂點坐標代入驗證便可. 當然此題若畫可行域分析，則 可看做是可行域中的點(x，y)與坐標原點的連線的斜率，進而求取其最大值. 對比可知不畫圖肯定比畫圖快.

二#65380;需畫可行域的目標函數問題

若所問問題不具體#65380;不確切，或線性約束條件由多個一次不等式構成，則必須作出可行域依具體問題分析. 因分析線性規劃問題最基本的方法是先畫出線性約束條件的可行域，在線性目標函數所表示的一組平行線中，利用平移的方法，找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線，然后根據要求求出所分析的問題.

例3 若實數x，y滿足x - y + 1 ≤ 0，x> 0，則 的取值范圍是 ( ).

A. (0，1)B. (0，1]

C. (1，+∞ ) D. [1，+∞ )

解析 如圖，作出可行域，令= z，則y = zx，這是一條以z為斜率且過坐標原點的直線，當z取最小值時，它應與直線x - y + 1 = 0平行，所以z的最小值為1，但當z = 1時直線為y = x顯然與可行域無交點，故選C.

點評 令z = ，得y = zx，故目標函數z =可看做是直線y = zx的斜率，而可行域R是無界區域，所以目標函數z =的最值應在可行域的邊緣線上取得，由圖形可直觀得出其范圍. 因可行域R是無界區域，所以不能代頂點坐標求取其最值，故必須作圖分析.

例4 在平面直角坐標系中，不等式組x + y - 2 ≤ 0，x - y + 2 ≥ 0， y ≥ 0表示的平面區域的面積是 ( ).

A. 4 B. 4C. 2D. 2

解析 如圖得可行域為一個等腰三角形，所以其面積 S = × 4 × 2 = 4，故選B.

點評 可行域R雖說可確定是三角形，但是是什么樣的三角形不好觀察出，所以得畫圖分析.

例5 若不等式組x - y + 5 ≥ 0，y ≥ a，0 ≤ x ≤ 2表示的平面區域是一個三角形，則a 的取值范圍是 ( ).

A. a < 5 B. a ≥ 7

C. 5 ≤ a < 7 D. a < 5或 a ≥ 7

解析 如圖，作出可行域，從圖上可以直觀的觀察出當5 ≤ a < 7時能構成一個三角形，故選C.

點評 僅由約束條件不易分析出結果，故須畫可行域分析，由圖易得出結論.

由以上結論可以看出解答線性規劃問題時，若所問問題具體#65380;確切，并且約束條件是由三條或四條直線構成的凸三邊形或者四邊形，一般可不畫可行域，直接根據所給線性約束條件中的直線，兩兩聯立求出凸頂點的坐標，代入目標函數驗證便可，這樣做顯然比畫圖#65380;平移#65380;求交點的常規方法做得快，這類問題在歷屆高考中出現的概率最大. 反之，若所問問題不具體#65380;不確切，或線性約束條件由多個一次不等式構成，則必須作出可行域依具體問題分析. 總之，畫不畫可行域應依題而定.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”