平面向量與解析幾何的結合在高考中的考查

平面向量具有代數與幾何的雙重身份，是數形結合#65380;轉化的橋梁與紐帶，平面向量與解析幾何的結合，充分體現了高考命題的“既要綜合考查數學基礎知識，在知識網絡的交會點上設計試題，又要考查數學思想方法”這一指導思想. 現從以下兩個方面舉例說明，供讀者借鑒.

一#65380;向量問題幾何化:根據向量的模#65380;向量加#65380;減法法則，數量積的幾何意義，將其運算用圖形表示，使問

題直觀明了地刻畫出來，得以解決. 例1 在?荀ABCD中，若|+| = |-|，則必有 ( ).

A. = 0 B.= 0或= 0

C. ABCD是正方形D. ABCD是矩形

解 作圖略，根據向量加#65380;減法法則及模的定義，結合對角線相等的平行四邊形是矩形，故選 D.

二#65380;向量運算的坐標化:平面向量與解析幾何問題的綜合及應用通常涉及向量共線#65380;垂直#65380;向量的模#65380;向量相等及數量積的運算，結合圓錐曲線的相關知識，將解析幾何問題坐標化#65380;數量化，從而解決圓錐曲線中求軌跡方程#65380;最值，參數的范圍及與參數有關的綜合問題. 例2 (2004年全國)給定拋物線C:y2 = 4x，F是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A，B兩點.

(Ⅰ) 設l的斜率為1，求 與 的夾角的大小;

(Ⅱ) 設 =λ ，若λ∈[4，9]，求l在y軸上截距的變化范圍.

解 (Ⅰ)C的焦點為F(1，0)，直線l的斜率為1，所以l的方程為y = x - 1.

將y = x - 1代入方程y2 = 4x，并整理得x2 - 6x + 1 = 0 .

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1 + x2 = 6，x1x2 = 1.

#8226;= (x1，y1)#8226;(x2，y2) = x1x2 + y1y2 = 2x1x2 - (x1 + x2) + 1 = -3.

| || | =#8226;=

=.

cos( ， ) = = - .

所以 與 夾角的大小為-arccos .

(Ⅱ) 由題設= λ 得(x2 - 1，y2) = λ(1 - x1，-y1)，即x2 - 1 = λ(1 - x1)， ①y2 = -λy1.②

由②得y22 = λ2y12.

∵y12 = 4x，y22 = 4x2，∴x2 = λ2x1. ③

聯立①，③解得x2 = λ，依題意有λ > 0.

∴ B(λ，2 )，或B(λ，-2 ).

又F(1，0)，得直線l方程為(λ-1)y = 2 (x - 1)或(λ - 1)y = -2 (x - 1)，當λ∈[4，9]時，l在y軸上的截距為 或- .

由= +，可知 在[4，9]上是遞減的，

∴ ≤ ≤ ，- ≤ ≤- ，直線l在y軸上截距的變化范圍為- ，- ∪ ， .

例3 (2006年全國)在平面直角坐標系xOy中，有一個以F1(0，-)和F2(0， )為焦點1離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在P處的切線與x軸#65380;y軸的交點分別為A，B，且向量 =+. 求

(Ⅰ) 點M的軌跡方程;

(Ⅱ) ||的最小值.

解 橢圓方程可寫為:+ = 1(a > b > 0) ， 且a2 - b2 = 3，=，得a2 = 4，b2 = 1，

所以曲線C的方程為:x2 + = 1 (x > 0，y > 0).

y = 2 (0 < x < 1)，y′ = - .

設P(x0，y0)，因為P在C上，有0 < x0 < 1，y0 = 2， y′ |=-，得切線AB的方程為:

y = -(x - x0) + y0. 設A(x，0)和B(0，y)，由切線方程得 x = ， y = .

由= +得M的坐標為(x，y)， 由x0，y0滿足C的方程得點M的軌跡方程為:

+= 1 (x > 1，y > 2).

(Ⅱ)||2 = x2 + y2，y2 = = 4 +，

∴ ||2 = x2 - 1 + + 5 ≥ 4 + 5 = 9.

且當x2 - 1 =即x =時，上式等號成立， 故||的最小值為3.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”