三角函數求最值

三角函數的最值問題是中學數學的一個重要內容，在高考的第一道解答題中經常出現，因此要加強這一內容的教學. 其實三角函數求最值是溝通三角#65380;代數#65380;幾何之間的聯系，不同的類型有不同的方法. 在三角函數求最值中主要有以下幾種類型，掌握這幾種類型后，幾乎所有的三角函數最值問題都可以解決.

一#65380;利用三角函數的有界性如|sinx|≤1，|cosx|≤1求三角函數的最值

例1 求函數y = cos2x - 3cosx + 2的最小值.

解 令t = cos x，t∈[-1，1]，

則y = t2 - 3t + 2 = t -2 -.

∵?埸[-1，1]，

∴函數在t∈[-1，1]上是減函數，

∴ t = 1時，ymin = 0.

點評 此題實質上是求二次函數的最值，但要注意，cosx∈[-1，1]這一范圍，以免造成誤解.

二#65380;利用y = asin α + bcos α =sin(α+φ)+c，即引入輔助角φtan φ =

例2 求函數y = sin x+ cos x，x∈- ， 的最值.

解 y = 2sinx +.

∵ -≤ x ≤，

∴ -≤ x + ≤ ，

∴ -≤ sinx + ≤ 1，

∴ sinx + = 1，

即x + =，x= 時，ymax = 2.

當sinx + = - ，即x + = - ，x=- 時，ymax = -1 .

點評 注意條件x∈- ， ，否則會認為sinx + = -1時，有最小值，產生誤解.

三#65380; y =型的函數

此函數常把y看做常數，化成y = A#8226;sin(ωx + ?準)的形式，利用有界性可得.

例3 求函數y =的最值.

解 sin x + y cos x = 2y - 1，

∴ sin(x + ?準) =.

∵ |sin(x + ?準)| ≤ 1，

∴ ≤1，得0 ≤ y ≤，

∴ ymax =，ymin = 0.

四#65380;y = a sin x#8226;cos x + b(sin x ± cos x) + c

此類函數可用換元法，設t = sin x ± cos x，化為二次函數y = + bt + c在閉區間t∈[- ， ]上的最值問題.

例4 求y = sin x#8226;cos x + sin x + cos x的最值.

解 令sin x + cos x = t，則sin x#8226;cos x =，t∈[- ， ]，則y = + 1 =(t - 1)2 - 1，

∴ 當t = 1時，ymin = 1;

當t =時，ymax =+.

點評 注意換元后參數t的范圍，若忽視t∈[- ， ]，會發生t = -1時，有最小值，而無最大值的情況.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”