合情推理——數(shù)列問題求解的快捷鍵

合情推理不能作為嚴(yán)密推理論證的一種推理形式，但是如果能夠依據(jù)題目的條件和特征及時地運用合情推理，對解題將有很大的幫助. 本文從數(shù)列中的有關(guān)合情推理的運用方面闡述這一觀點，請各位同仁指正.

一#65380;與數(shù)列前n項和公式#65380;通項公式有關(guān)的問題

例1 (2004年江蘇省高考題)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn =(對于所有n ≥ 1)，且a4 = 54，則a1的數(shù)值是 .

分析 本題的一般求解思路是將n = 2，3，4分別代入Sn =得到關(guān)于a1，a2，a3的三個等式，由此得到一個三元一次方程組，解出 a1即可，不過這種方法的計算量很大. 但是通過仔細(xì)觀察所給公式，只需將其略作變形:Sn = =，不難發(fā)現(xiàn)，該表達(dá)與等比數(shù)列的前n項和公式完全吻合，因此，完全有理由猜測，滿足題意的數(shù)列{an}是一個首項為a1，公比為3的等比數(shù)列，再由a4 = 54，即得a1的數(shù)值是2. 但注意用合情推理解題必須要進行檢驗.

說明 若題目中出現(xiàn)的一些等式和我們學(xué)過的公式或性質(zhì)在形式上相似，此時就要注意一些合情推理的運用，這樣可以借助已經(jīng)熟悉的內(nèi)容來求解我們生疏的內(nèi)容，這也是一種轉(zhuǎn)化的方法，這種方法在有關(guān)新定義的問題中運用效果更佳，如問題:對于任意兩個復(fù)數(shù)z1 = x1 + y1i，z2 = x2 + y2i(x1，y1，x2，y2∈R)定義運算“⊙”為:z1⊙z2 = x1x2 + y1y2，設(shè)非零復(fù)數(shù)w1，w2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為P1，P2，點O為坐標(biāo)原點，如果 w1⊙w2 = 0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小為 .

二#65380;與數(shù)列的存在性有關(guān)的問題

例2 (2007年江蘇高考題)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列，a1 = b1，a2 = b2≠a1，記Sn為數(shù)列{bn}的前n項和.

(1) 若bk = am(m，k是大于2的正整數(shù))，求證:Sk-1 = (m - 1)a1;

(2) 若b3 = ai(i是某個正整數(shù))，求證:q是整數(shù)，且數(shù)列{bn}中的每一項都是數(shù)列{an}中的項;

(3) 是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列{bn}中有三項成等差數(shù)列?若存在，寫出一個q的值，并加以說明;若不存在，請說明理由.

分析 本題的第三小題是一個數(shù)列的存在性問題，這類問題的解題思路很難尋找，這時不妨退一步，先找一個特殊的滿足題意的數(shù)列去研究，然后進行類比，尋找解題思路. 滿足題意的最簡單的兩個數(shù)列分別是an = 1 + (n - 1)(q - 1)，bn = qn-1，這樣該題轉(zhuǎn)化成研究方程 2qm = qn + qk(m，n，k∈N)，是否有實數(shù)解，當(dāng)n = 2，m = 1，k = 0時，方程有唯一解1，不合題意;當(dāng)n = 3，m = 1，k = 0時，方程有實數(shù)解，至此，本題的解題思路就基本明了了.

說明 在解有關(guān)存在性問題時，特別是比較抽象的存在性問題，應(yīng)注意通過一些相應(yīng)的簡單情況進行研究，以便尋找解題思路. 值得一提的是，此時簡單問題的解題過程往往是較為抽象問題的解題過程的特殊化，反之，則可以類比簡單問題的求解過程，探求較為抽象問題的解題過程;對數(shù)值較大的問題也可以通過數(shù)值較小的來類比解決，特別是數(shù)值較大的且具有一般性的問題的求解，此法顯得更優(yōu)，如問題:(2004年重慶高考題)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項a1 > 0，a2003 + a2004 > 0，a2003a2004 < 0，則使前n項和大于0的最大自然數(shù)n是 .

A. 4005B. 4006C. 4007D. 4008

(本題只需研究等差數(shù)列:1，1 + d，1 + 2d，1 + 3d，…，且1 + d > 0，1 + 2d < 0對應(yīng)的情況進行類比即可得出答案.

三#65380;與即時定義有關(guān)的問題

例3 (2007年上海市高考題)如果有窮數(shù)列a1，a2，a3，…，an(n為正整數(shù))滿足條件a1 = an，a2 = an-1，…，an = a1，即ai = an-i+1(i = 1，2，…，n)，我們稱其為“對稱數(shù)列”.例如，由組合數(shù)組成的數(shù)列C，C，…，C就是“對稱數(shù)列”.

(1) 設(shè){bn}是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，其中b1，b2，b3，b4是等差數(shù)列，且b1 = 2，b4 = 11.依次寫出{bn}的每一項;

(2) 設(shè){cn}是項數(shù)為2k - 1(正整數(shù)k > 1)的“對稱數(shù)列”，其中ck，ck+1，…，c2k-1是首項為50，公差為-4的等差數(shù)列.記{cn}各項的和為S2k-1.當(dāng)k為何值時，S2k-1取得最大值?并求出S2k-1的最大值;

(3) 對于確定的正整數(shù)m > 1，寫出所有項數(shù)不超過2m的“對稱數(shù)列”，使得1，2，22，…，2m-1依次是該數(shù)列中連續(xù)的項;當(dāng)m > 1500時，求其中一個“對稱數(shù)列”前2008項的和S2008.

分析 本題求解的關(guān)鍵是正確理解“對稱數(shù)列”這個概念，因此就要注意題目中的一句話——由組合數(shù)組成的數(shù)列C，C，…，C就是“對稱數(shù)列”，還可以舉例:數(shù)列1，2，3，4，3，2，1 是對稱數(shù)列，數(shù)列1，2，3，4，4，3，2，1 也是對稱數(shù)列，這樣本題的第一小題就沒有難度了;而第二小題仍可以用數(shù)列1，2，3，4，3，2，1 的求和類比出S2k-1 = 2(c1 + c2 + … + ck)-ck;第三小題則可以用數(shù)列1，2，3，4，4，3，2，1的求和類比出S2008的表達(dá)式，這樣第二#65380;三小題的思路就很清晰了.

說明 與即時定義有關(guān)的問題的難點是理解題意，對于這類即時定義問題的題意理解，比較有效的方法就是要舉一些滿足題意要求的簡單例子，采用類比的方法，加深對即時定義的概念的本質(zhì)理解.這是一種化生疏為熟悉，以簡喻繁的思想方法.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文#65377;”