一道易錯(cuò)題的解析

問題 已知兩直線l1:mx + y - 2 = 0和l2:(m + 2)x - 3y + 4 = 0與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是什么?

解析 這是高中數(shù)學(xué)練習(xí)冊(cè)中的一道習(xí)題，與其相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)很多，學(xué)生容易產(chǎn)生的知識(shí)困惑也很多，下面就對(duì)這道題的知識(shí)點(diǎn)作逐一分析.

一#65380;對(duì)角互補(bǔ)的四邊形必有外接圓

證明 四邊形ABCD可看成一個(gè)△ABC和一個(gè)點(diǎn)D.

∵ △ABC必有外接圓，∴只需證D在圓上.

(反證法)假設(shè)D不在圓上.

則∠ADC + ∠ABC必不等于二分之一(ABC弧 + ABC對(duì)弧)，

即∠ADC + ∠ABC ≠× 360° = 180°.

而已知∠ADC + ∠ABC = 180° 與已知矛盾，

∴ 點(diǎn)D必在圓上.

二#65380;內(nèi)接于圓的四邊形對(duì)角必互補(bǔ)

證明 ∵圓心角等于同弧圓周角的2倍，

∴ ∠BOD = 2∠C，360° - ∠BOD = 2∠A，

∴ ∠A + ∠C = 180°.

三#65380;下面對(duì)本道題作具體分析

兩直線與坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓，可分為兩大類:

1. 圓內(nèi)接四邊形中含有兩坐標(biāo)軸成角

如圖1，因?yàn)閳A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，所以必有l(wèi)1⊥l2 ，則有k1#8226;k2 = -1，即 -m #8226; = -1，所以m = -3或m = 1.

還要考慮一條直線斜率不存在，另一條直線斜率為零的特殊情況，但本題不存在這種情況.

2. 圓內(nèi)接四邊形中不含兩坐標(biāo)軸所成角

此類問題通常很容易被我們忽視，大多數(shù)情況下也是不成立的多，但此類問題確實(shí)有存在的情況.

如圖2所示，因?yàn)閳A內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角， 則必有α + β = 90° ，k1 #8226; k2 = 1.

-m #8226; = 1，此時(shí)m無解.

所以此題不滿足第二種情況.

但確實(shí)有符合題意的情況. 例如這樣的兩條直線: l1:y =x + 2;l2: y =x + 1就符合題意.

那么符合k1#8226;k2 = 1有解的直線都符合題意嗎?

不一定，如果將直線 下移至第四象限，它們與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形就是凹四邊形(如圖3). 所以，兩條直線必須在同一象限內(nèi).

那么是不是在同一象限范圍內(nèi)滿足k1#8226;k2 = 1的兩條直線都符合題意呢?也不是，如圖4，此時(shí)兩條直線與坐標(biāo)軸圍成的圖形也是凹四邊形，仍然沒有外接圓.

那么能否考慮一下什么時(shí)候它滿足題意呢?通過觀察圖像，我們能看出，在同一象限內(nèi)平移l2，當(dāng)l2在y軸上的截距小于l1在y軸的截距或者大于l2過D點(diǎn)時(shí)在y軸的截距，此時(shí)可以形成對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，從而有外接圓.

當(dāng)兩條直線的傾斜角為135°或45°時(shí)，兩條直線與坐標(biāo)軸圍成等腰梯形，有外接圓，仍滿足k1#8226;k2 = 1，是此時(shí)的兩種特殊情況. 如圖5#65380; 圖6.

經(jīng)過以上的分析，我們知道，再研究此類問題時(shí)，我們通常需要考查兩種情況，k1#8226;k2 = -1與k1#8226;k2 = 1都需要研究，但后者的限制條件更多一些，需要我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系中把求得的直線準(zhǔn)確描繪出來，然后根據(jù)相應(yīng)的位置關(guān)系判斷是否符合題意，進(jìn)行有效的取舍，這樣就能把問題考慮完整. 希望此文能對(duì)大家有所幫助.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文#65377;”