淺談等腰三角形的幾種解法

等腰三角形是三角形中的一種特殊圖形，它與人們的生產(chǎn)生活密切相關(guān).因而，中考中有關(guān)等腰三角形的試題也常常出現(xiàn).例如:在網(wǎng)格中，以一條線段為一邊作等腰三角形;運(yùn)動(dòng)中構(gòu)成等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)或線段的長;在平面內(nèi)作各種等腰三角形，等等.筆者就其相關(guān)內(nèi)容作了潛心研究，下面僅就相關(guān)例題談一談此類問題的解法及應(yīng)用.

例1 如圖，在5 × 5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都為1，請?jiān)谒o的網(wǎng)格中，畫出以AB為邊的一個(gè)等腰三角形ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，且另兩邊的長都是無理數(shù).

解法一 當(dāng)AB為腰時(shí)，可作△ABC1，△ABC2(均不符合題意).當(dāng)AB為底時(shí)，可作△ABC3， △ABC4， △ABC5， △ABC6，只有△ABC3，△ABC6符合題意.

解法二 當(dāng)A為頂角頂點(diǎn)時(shí)，等腰三角形ABC圖中不存在.當(dāng)B為頂角頂點(diǎn)時(shí)，可作△ABC1， △ABC2(均不符合題意).當(dāng)C為頂角頂點(diǎn)時(shí)，可作△ABC3，△ABC4，△ABC5，△ABC6，只有△ABC3，△ABC6符合題意.

解后語 由上題的兩種解法，可知由一條已知線段作等腰三角形時(shí)，首先要進(jìn)行分類討論:第一種方法以腰和底來分類討論;第二種方法以頂角頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論.而在解較復(fù)雜的題時(shí)，第二種方法比第一種方法要簡單些.

試一試:(2007年重慶市中考題)已知:如下左圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A(10，0)，C(0，4)，點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng).當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .

解 如上右圖:

(1) 當(dāng)∠POD為頂角時(shí)，OP = OD = 5，P1(3，4).

(2) 當(dāng)∠PDO為頂角時(shí)，OD = DP = 5，當(dāng)∠PDO為銳角時(shí)，P2(2，4);當(dāng)∠PDO為鈍角時(shí)，P3(8，4).

例2 (2007年長春市中考題)如圖，Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3，以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上.請?jiān)趫D①，圖②，圖③中分別畫出一個(gè)符合條件的等腰三角形，且三個(gè)圖形中的等腰三角形各不相同，并在圖中標(biāo)明所畫等腰三角形的腰長(不要求尺規(guī)作圖).

解法一 以腰和底進(jìn)行分類討論.

(1) 若BC邊為腰，可作如圖1#65380;圖2#65380;圖7.

(2) 若BC邊為底，可作如圖3.

(3) 若AC邊為腰，可作如圖4.

(4) 若AC邊為底，可作如圖5.

(5) 若AB邊為腰，圖形不存在.

(6) 若AB邊為底，可作如圖6.

解法二 以頂角頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論.

(1) 當(dāng)C為頂角頂點(diǎn)時(shí)，可作如圖1和圖2.

(2) 當(dāng)B為頂角頂點(diǎn)時(shí)，可作如圖7.

(3) 當(dāng)A為頂角頂點(diǎn)時(shí)，可作如圖4.

(4) 當(dāng)D為頂角頂點(diǎn)時(shí)，可作如圖3#65380;圖5和圖6.

解后語 此類題的解法，實(shí)質(zhì)考查學(xué)生用分類討論的思想解決問題.只要分類清楚問題就能迎刃而解.

試一試:(2007年沈陽市中考題)已知在矩形ABCD中，AB = 4，BC = ，O為BC上一點(diǎn)，BO =，如圖所示，以BC所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，M為線段OC上一點(diǎn).

(1) 若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，0)，如圖①，以O(shè)M為一邊作等腰三角形△OMP，使點(diǎn)P在矩形ABCD的一邊上，則符合條件的等腰三角形有幾個(gè)?請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

(2) 若將(1)中的點(diǎn)M的坐標(biāo)改為(4，0)，其他條件不變，如圖②，那么符合條件的等腰三角形有幾個(gè)?求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3) 若將(1)中的點(diǎn)M的坐標(biāo)改為(5，0)，其他條件不變，如圖③，請直接寫出符合條件的等腰三角形有幾個(gè)?(不必求出點(diǎn)P的坐標(biāo))

解 (1)符合條件的等腰三角形OMP只有1個(gè)，點(diǎn)P坐標(biāo)為 ，4.

(2)符合條件的等腰三角形OMP有4個(gè)，其坐標(biāo)分別為- ， ，(0，4)，(2，4)，(4，4).

(3) 若M(5，0)，則符合條件的等腰三角形有7個(gè).

例3 等腰三角形兩邊長分別為3和6，它的周長是 .(答案:15)

試一試:等腰三角形周長為16，腰與底的差為2，其三邊長為 .(答案:6，6，4或， ， ).

解后語 由兩條已知線段作等腰三角形時(shí)，要考慮以腰和底進(jìn)行分類討論，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)行取舍，最后得出結(jié)論.

上述通過幾個(gè)例題闡述了等腰三角形相關(guān)問題的解法，旨在起到以點(diǎn)代面#65380;拋磚引玉的作用，僅供大家參考.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文#65377;”