試談古典概率教學(xué)中的解題思路和方法

【摘要】 對(duì)于古典概率，大部分學(xué)生感到它的基本概念#65380;基本方法不易掌握，是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn). 其問(wèn)題就在于古典概率是處理隨機(jī)現(xiàn)象的，思維方法與其他數(shù)學(xué)學(xué)科相比有它的獨(dú)特之處，解決問(wèn)題時(shí)更重視要領(lǐng)與思路，學(xué)生一下子不易領(lǐng)會(huì). 因此在進(jìn)行古典概率的教學(xué)時(shí)，注重思考方法及問(wèn)題解法的講授是十分重要的.

由于中專教材一般都沒(méi)有提及樣本空間#65380;樣本點(diǎn)的概念. 我們將隨機(jī)事件A的概率計(jì)算公式表示為:

P(A) =，這樣就更通俗易懂，學(xué)生也容易理解和接受. 下面就此對(duì)古典概率的計(jì)算進(jìn)行一些探討，并提出一些方法.

【關(guān)鍵詞】概率 問(wèn)題 方法 應(yīng)用

1. 建立適當(dāng)?shù)母怕视?jì)算模型

求事件的概率時(shí)，許多學(xué)生往往不知怎么入手，這就要求教師根據(jù)題中所給條件，通過(guò)聯(lián)想#65380;轉(zhuǎn)化#65380;抽象，找到問(wèn)題的關(guān)鍵所在. 如能建立適當(dāng)?shù)母怕视?jì)算模型，既新穎又巧妙，就能使問(wèn)題迎刃而解. 在古典概率的計(jì)算中，通常有球入盒子模型#65380;抽樣檢查模型#65380;電路開(kāi)關(guān)模型等.

例1 求參加某次集會(huì)的n 個(gè)人中生日都不相同的概率(1 ≤ n ≤ 365).

分析 這就是概率論歷史上一個(gè)頗為有名的問(wèn)題. 在解題中我們建立球入盒子的數(shù)學(xué)模型. 把一年的365天看做365個(gè)盒子，n個(gè)人看做n個(gè)球. 每只盒子投球數(shù)不限，即每個(gè)人的生日是隨機(jī)的，可以是365天中的任意一天. 若n 個(gè)人的生日都不相同，也就是每個(gè)球都要投入一個(gè)盒子且每個(gè)盒子只能投入一個(gè)球.

解 設(shè)事件A = {n個(gè)人中生日都不相同}，基本事件總數(shù) = 365n ，事件A所包含的基本事件數(shù)= P . 故所求的概率P(A) = . 當(dāng)n = 23時(shí)，P(A) ≈ 0.4927，接近0.5;當(dāng)n = 50時(shí)，P(A) ≈ 0.0296，這個(gè)概率是意外的小，有點(diǎn)超出我們的想象. (說(shuō)明:用Excel來(lái)計(jì)算上面的結(jié)果非常方便簡(jiǎn)單)

2. 運(yùn)用概率公式將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化

兵法云:“正面攻不上，側(cè)面攻.” 對(duì)于較為復(fù)雜的事件，有時(shí)很難劃分成幾個(gè)簡(jiǎn)單的事件，難以進(jìn)行有關(guān)概率的計(jì)算. 這就有必要運(yùn)用概率的某些性質(zhì)，將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為較少的幾個(gè)簡(jiǎn)單的事件之和，從而使所求概率問(wèn)題變得清晰起來(lái). 最常用的性質(zhì)有:逆事件的概率公式，概率的加法公式和乘法公式，全概率公式等.

例2 在裝有n個(gè)產(chǎn)品的箱子中，有m個(gè)次品. 現(xiàn)從箱中取k個(gè)產(chǎn)品，問(wèn):其中有次品的概率是多少?(m < n，k < n - m )

分析 從箱中取得k個(gè)產(chǎn)品中有次品的事件，情況比較復(fù)雜;如考慮它的對(duì)立事件，即k個(gè)產(chǎn)品中沒(méi)有一個(gè)次品，就比較容易.

解 設(shè)事件A = {k個(gè)產(chǎn)品有次品 }，則它的對(duì)立事件 A = {k個(gè)產(chǎn)品沒(méi)有一個(gè)次品}.

P(A) =，故所求事件的概率P(A) = 1 -.

3. 力求一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力

在學(xué)習(xí)古典概率時(shí)，學(xué)生普遍反映不易掌握其規(guī)律，習(xí)題難做. 即使好不容易找到了一種解法，其結(jié)果一般也不好驗(yàn)證. 這就要求教師在概率的教學(xué)中，拓廣思維空間，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，引導(dǎo)學(xué)生一題多解#65380;一題多用. 如能通過(guò)多種解答得出相同答案，則答案是正確的概率就相當(dāng)大了.

例3 袋中有a只黑球，b只白球，它們除顏色不同外，沒(méi)有其他差別，現(xiàn)在把球隨機(jī)地一只一只摸出來(lái)，求第k次摸出的球是黑球的概率(1 ≤ k≤ a + b).

分析一 把a(bǔ)只黑球及b只白球都看做是不同的，我們將所有球都一一摸出依次放在排成一直線的a + b個(gè)位置上，第k個(gè)位置只能被任一個(gè)黑球占據(jù).

解法一 設(shè)事件A = {第k次摸出的球是黑球}(下同)，基本事件總數(shù)=(a + b)!.

事件A所包含的基本事件數(shù)= (a + b - 1)!，故所求的概率P(A) == .

分析二 仍把a(bǔ)只黑球及b只白球都看做是不同的，只考慮前k次摸球，第k次摸到黑球.

解法二 基本事件總數(shù)= P . 事件A所包含的基本事件數(shù) = aP，故所求概率P(A) = = .

分析三 對(duì)同色球不加以區(qū)別，仍把摸出的球依次放在排成一直線的 a + b個(gè)位置上. 基本事件總數(shù)就是從a + b個(gè)元素中取出a個(gè)元素的組合，事件A所包含的基本事件數(shù)就是從 a + b - 1個(gè)元素中取出 a - 1個(gè)元素的組合.

解法三 基本事件總數(shù)= C ，事件A所包含的基本事件數(shù)為C ，故所求概率P(A) =.

分析四 顯然每一個(gè)球在第k被摸出是等可能的，只考慮第k次摸球情況.

解法四基本事件總數(shù)= a + b，事件A所包含的基本事件數(shù) = a ，故所求的概率P(A) = .

說(shuō)明 解法一#65380;解法二#65380;解法四是把球看做“有個(gè)性”的，因此考慮球的順序，用排列;而解法三對(duì)同色球不加區(qū)別，因此不考慮順序，用組合. 有趣的是本題的結(jié)果與k無(wú)關(guān)，這和我們平常生活經(jīng)驗(yàn)是一致的. 例如在體育比賽中進(jìn)行抽簽，對(duì)各隊(duì)機(jī)會(huì)均等，與抽簽的先后次序無(wú)關(guān). 本題是一個(gè)不放回的抽樣問(wèn)題，有一定的典型性. 這里的“白球”#65380;“黑球”可換為“甲物”#65380;“乙物”或“合格品”#65380;“不合格品”等.

4. 理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”. 隨著科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展，概率統(tǒng)計(jì)已被廣泛地應(yīng)用于各個(gè)科學(xué)分支和各個(gè)生產(chǎn)部門，并滲入到我們生活的諸多方面，因而它已成為全民文化素質(zhì)的一部分. 在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常接觸到如彩票#65380;玩撲克牌#65380;商場(chǎng)抽獎(jiǎng)等，我們都可以去計(jì)算一些概率問(wèn)題. 只有把所學(xué)到的知識(shí)運(yùn)用到實(shí)踐中去，才能真正體現(xiàn)它的價(jià)值，并且更能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

例4 某大型商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)銷售，20個(gè)乒乓球，10個(gè)上面寫上10分，10個(gè)上面寫上5分，抽獎(jiǎng)?wù)邚闹腥稳?0個(gè)，把乒乓球上面的分?jǐn)?shù)相加，求下面各等級(jí)中獎(jiǎng)的概率.

一等獎(jiǎng): 100分或50分;二等獎(jiǎng): 95分或55分;三等獎(jiǎng): 90分或60分;四等獎(jiǎng): 85分或65分;五等獎(jiǎng): 80分或70分;六等獎(jiǎng): 75分.

分析 一等獎(jiǎng)的發(fā)生:10分的乒乓球10個(gè)或5分的乒乓球10個(gè);二等獎(jiǎng)的發(fā)生:10分的乒乓球9個(gè)和5分乒乓球1個(gè)或5分的乒乓球9個(gè)和10分的乒乓球1個(gè)，其他各獎(jiǎng)的發(fā)生以此類推.

解 基本事件總數(shù) = C ，一等獎(jiǎng)包含的基本事件數(shù)= C +C =2C，二等獎(jiǎng)包含的基本事件數(shù)= CC + CC = 2CC.

一等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率:P(A 1) = =≈0.000010825，(約92378分之一);

二等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率:P(A2) =≈0.001082509.

同理，可求其他各等級(jí)中獎(jiǎng)概率，列表如下:

說(shuō)明 上表中五等獎(jiǎng)的概率大于中六等獎(jiǎng)的概率，是不是計(jì)算有錯(cuò)誤呢?只要仔細(xì)考慮就會(huì)清楚. 因?yàn)榭偡质?0分或是70分都可中五等獎(jiǎng)，它們的概率是相等的，實(shí)際上總分是80分或70分的概率是0.5×0.47739=0.238695，而只有總分是75分這一個(gè)分?jǐn)?shù)中六等獎(jiǎng). 因此，對(duì)于每一個(gè)不同分?jǐn)?shù)來(lái)說(shuō)，總分是75分的概率0.34372還是最大的.

因?yàn)槊總€(gè)分?jǐn)?shù)都能中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)率是100 %，即中獎(jiǎng)事件的發(fā)生是一個(gè)必然事件，因此各等級(jí)中獎(jiǎng)的概率之和等于1，基本上可以證明上表結(jié)果是正確的.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文#65377;”